Vollständige Induktion

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Gert Fürst
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1 30. September 008

2 Gliederung 1 3 4

3 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger d.h. n : (n N! n N) III. 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl d.h. n (n = 0) IV. Verschiedene natürliche Zahlen besitzen verschiedene Nachfolger d.h. n, m N : (n = m m = n) V. Besitzt eine Menge S N die zwei folgenden Eigenschaften: 0 S und n N : n S n S so gilt S = N (Induktionsprinzip).

4 Addition und Multiplikation Die Addition kann folgendermassen definiert werden. n + 0 := n n + m := (n + m) Die Multiplikation kann folgendermassen definiert werden. n 0 := 0 n m := (n m) + n Das Induktionsaxiom garantiert jeweils, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Setzt man nun noch 1 = 0, ergibt sich n = n + 1.

5 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion beruht auf dem 5. Peano-Axiom für die Menge der natürlichen Zahlen N, dem Induktionsaxiom. Die vollständige Induktion dient dazu, eine Aussage der Form p(n) mit n N für alle Natürlichen Zahlen zu beweisen.

6 Das Beweisverfahren Um zu Beweisen, dass eine Aussage der Form p(n) für alle Natürlichen Zahlen gilt, sind die folgenden drei Schritte notwendig: Induktionsanfang: Es muss gezeigt werden, dass die Aussage p(n) für n = 0 (oder n = 1) wahr ist. Induktionsannahme: Man nimmt an, dass die Aussage für n gültig ist. Induktionsschluss: Man muss beweisen, dass wenn die Aussage für n gültig ist, sie auch für n + 1 gültig sein muss. Das 5. Peano Axiom sagt nun aus, dass die Aussage für alle n N gültig ist.

7 Beispiel 1 Behauptung: n i = n (n + 1) Induktionsanfang n = 1: 1 i = 1 (1 + 1) = 1 Induktionsannahme: Die Aussage gilt für n.

8 Beispiel 1 () Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n+1 i = = n i + (n + 1) n (n + 1) + (n + 1) Induktionsannahme = (n + 1)( n + 1) ausklammern = (n + 1)( n + ) Gleichnamigmachen (n + 1)((n + 1) + 1) = q.e.d.

9 Beispiel Behauptung: n N : n + n ist eine gerade Zahl (durch teilbar) Induktionsanfang n = 0: = 0 O.K. Null ist eine gerade Zahl. Induktionsannahme: Die Aussage gilt für n.

10 Beispiel () Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 (n + 1) + (n + 1) = n + n n + 1 = (n + n) + ( n + ) = (n + n) + (n + 1) Nach Induktionsannahme ist n + n gerade und (n + 1) ist auch gerade. q.e.d.

11 Beispiel 3 Behauptung: Die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis n 1 ist gleich dem Quadrat von n. Genauer gesagt: n ( i 1) = n Induktionsanfang n = 1: 1 ( i 1) = 1 O.K. Die Aussage stimmt. Induktionsannahme: Die Aussage gilt für n.

12 Beispiel 3 () Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n+1 n ( i 1) = ( i 1) + (n + 1) 1 = n + n + 1 Induktionsannahme = (n + 1) erste binomische Formelq.e.d.

13 Kein Induktionsanfang Behauptung: n i = n(n + 1) + 7 Wir nehmen an, dass die Aussage für n gilt. Dann gilt sie auch für n + 1 Beweis: n+1 n i = i + (n + 1) = n (n + 1) (n + 1) Induktionsannahme = (n + 1)( n + 1) + 7 ausklammern (n + 1)((n + 1) + 1) = + 7 q.e.d.

14 Kein Induktionsanfang () Im obigen Beispiel kann der Induktionsschluss bewiesen werden. Dies nützt aber nichts, da wir kein n N finden können, für das die Formel n i = n(n + 1) + 7 gültig ist.

15 Falscher Induktionsschluss Behauptung: Wenn sich unter n Tieren ein Elefant befindet, dann sind alle diese Tiere Elefanten. Induktionsanfang: n = 1 : Wenn von einem Tier eines ein Elefant ist, dann sind alle diese Tiere Elefanten. Induktionsvorausetzung: Die Behauptung sei richtig für alle natürlichen Zahlen kleiner oder gleich n.

16 Falscher Induktionsschluss () Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n Sei unter n + 1 Tieren eines ein Elefant. Wir stellen die Tiere so in eine Reihe, dass sich dieser Elefant unter den ersten n Tieren befindet. Nach Induktionsannahme sind dann alle diese ersten n Tiere Elefanten. 3 Damit befindet sich aber auch unter den letzten n Tieren ein Elefant, womit diese auch alle Elefanten sein müssen. Also sind alle n + 1 Tiere Elefanten. 4 q.e.d.

17 Falscher Induktionsschluss (3) Was daran falsch ist? Im Fall n + 1 = kann man den Elefanten zwar so stellen, dass er bei den ersten n = 1 Tieren steht. Folglich sind alle Tiere unter den ersten n = 1 Tieren Elefanten. In diesem Fall befindet sich unter den letzten n Tieren nicht notwendigerweise ein Elefanten. Der Induktionsschluss funktioniert nur für n > 1, denn nur dann können aus einem Elefanten zwei (oder mehr) werden und ist damit auch ein Elefant unter den letzten n Tieren. Die Induktionsvoraussetzung war aber für n = 1 gezeigt.

18 1 n 3 + n ist durch 3 teilbar 7 n n ist durch 47 teilbar 3 Für a, n 1 N gilt: an 1 a 1 4 n i = n(n+1)(n+1) 6 5 n n 1 > 0 für n 3 = n 1 i=0 ai 6 n Elemente kann man auf n! verschiedene Arten anordnen.

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