Anhang: Ungarische Methode

Transkript

1 Ungarische Methode 107 Anhang: Ungarische Methode Zum Schluss des Kurses soll noch der Algorithmus der Ungarischen Methode beschrieben werden. Wir lehnen uns hierbei eng an der Darstellung von DOMSCHKE (1981, S ) an. Zuerst benötigen wir zwei formale Definitionen. Definition A.1: (Unabhängige Nullen) Eine Menge UN von Nullen in einer Matrix C bezeichnen wir als unabhängige Nullen, wenn keine zwei Elemente aus UN in derselben Zeile oder derselben Spalte von C stehen. Damit muss bei einer zulässigen Zuordnung jede Zeile und jede Spalte von C mindestens eine Null besitzen, und in C muss eine Menge von n unabhängigen Nullen gefunden werden. Definition A.2 (Überdeckung) Eine Teilmenge der Zeilen und Spalten der Matrix C, in der sich sämtliche Nullen ( c ij = 0 ) von C befinden, nennt man eine Überdeckung. Die Zeilen und Spalten einer Überdeckung bezeichnen wir im Folgenden als Elemente der Überdeckung. Eine Überdeckung U einer Matrix C heißt minimal, wenn es keine Überdeckung U von C gibt, die weniger Elemente als U enthält. Der Vollständigkeit halber folgt an dieser Stelle die algorithmische Darstellung der Ungarischen Methode.

2 108 Anhang Algorithmus A.1: Ungarische Methode Schritt 1: Berechnung der reduzierten Matrix C u i j { c } := min (i = 12,,..., n) ij c$ : = c u (i, j = 12,,..., n) u ij ij i j i { cˆ } : = min (j = 12,,..., n) ij c : = c$ + u (i, j = 12,,..., n) ij ij j = ( c ij ) Schritt 2: Bestimmung einer Menge unabhängiger Nullen (UN) Durchsuche in C alle Spalten in der Reihenfolge 1,2,...,n. Findet man in Spalte j ein Element c ij = 0, und enthält Zeile i kein Element aus UN, so füge c ij zu UN hinzu. Wenn UN n Elemente enthält, ist das Verfahren beendet, ansonsten folgt Schritt 3. Schritt 3: Markierung Alle Zeilen i von C, die keine unabhängige Null enthalten, bekommen die Marke (-). M1 Betrachte eine markierte, aber noch nicht überprüfte Zeile i. Wähle in dieser Zeile eine Null, die nicht zur Menge UN gehört und in einer noch unmarkierten Spalte j steht. Markiere j mit (i). Enthält j keine der unabhängigen Nullen, so ist ein Durchbruch gelungen und die Anzahl der Elemente von UN kann erhöht werden; gehe zu Schritt 4. Kommt es nicht zu einem Durchbruch und sind alle Nullen dieser Zeile untersucht, wiederhole diese Untersuchungen für alle markierten, aber bisher noch nicht durchsuchten Zeilen. Danach gehe zu M2. M2 Wähle eine markierte, aber noch nicht überprüfte Spalte j. Falls darin eine unabhängige Null in Zeile i steht, so markiere i mit ( j ). Untersuche so alle markierten, aber noch nicht überprüften Spalten und gehe wieder zu M1. Falls dieser Markierungsprozess nicht fortgesetzt werden kann, nachdem alle Zeilen und Spalten überprüft wurden, gehe zu Schritt 5. Schritt 4: Korrektur der Menge UN Die Menge UN kann um ein Element vergrößert werden, indem man von der markierten Spalte j ohne unabhängige Null ausgehend die Kette der

3 Ungarische Methode 109 Markierungen zurückverfolgt. Dabei nimmt man jede bislang "abhängige" Null der Kette in die Menge UN auf, jede Null aus UN auf diesem Weg wird aus dieser Menge entfernt. Falls UN weiterhin weniger als n unabhängige Nullen enthält, folgt erneut Schritt 3, ansonsten wird das Verfahren beendet. Schritt 5: Korrektur der Dualvariablen und der Matrix C Es sei I := Menge der markierten Zeilen. J := Menge der markierten Spalten. η: = min{ cij i I und j J} Damit berechnet man folgende Änderung der Knotenpotentiale: ui + η für i I ui:= ui sonst u j uj + η für j J := uj sonst Entsprechend ändern sich die Werte für die reduzierten Kosten zu cij η für i I und j J cij:= cij + η für i I und j J cij sonst Gehe zu Schritt 3, lösche alle Marken und beginne erneut mit dem Markierungsprozess. Abbruchkriterium: n unabhängige Nullen wurden ermittelt.

4 110 Anhang Beispiel A.1 In Tabelle A.1wird die Kostenmatrix C = (c ij ) eines Rundreiseproblems angegeben. Tab.A.1: Kostenmatrix Die Schritte 1 und 2 des Algorithmus A.1 liefern die in Tabelle A.2 angegebenen Werte für die Matrix C der reduzierten Kosten sowie Knotenpotentiale u i und u j. Die mit ">" markier-ten Nullen bilden eine mögliche menge UN. Tab. A u i >0 2 2 > >0 2 1 u j In Schritt 3 wird zunächst die Zeile 3 mit (--) markiert; es folgen die Markierung der Spalte 1 mit (3) und der Zeile 2 mit (1 ). (vgl. Tab. (A.3)). Der Markierungsprozess ist damit abgeschlossen, da keine weitere Markierung möglich ist. Es folgt die Korrektur der Dualvariablen und der reduzierten Kosten in Schritt 5. Nach Durchführung des Markierungsprozesses kann eine minimale Überdeckung (vgl. Def. (A.2)) stets so angegeben werden, dass gilt: Es gehören nur die markierten Spalten und die unmarkierten Zeilen zur Überdeckung.

5 Ungarische Methode 111 Tab. A u i Marken >0 2 2 > (1 ) (--) >0 2 1 u j Marken (3) η = 1 Die Korrekturvorschriften in Schritt 5 lassen sich nach Angabe der Überdeckung wie folgt formulieren: Bestimme das Minimum aller nicht überdeckten Elemente der Matrix C (= η) Subtrahiere von allen nicht überdeckten Elementen den Wert η und addiere ihn bei allen doppelt überdeckten Elementen hinzu. Die einfach überdeckten Elemente bleiben unverändert. Für das Beispiel erhält man die in Tabelle A.4 angegeben Werte. Tab. A u i Marken >0 2 2 > >0 2 1 u j Marken Man beginnt gemäß Algorithmus erneut mit Schritt 3. Nach der Markierung von Zeile 3 können die Spalten 1 und 2 mit (3) markiert werden. Zeile 2 wird mit (1 ) markiert; Spalte 2 enthält keine Unabhängige Null, so dass hier der Durchbruch gelungen ist. Das mit " " gekennzeichnete Element kommt zur Menge UN hinzu, und es entsteht die Situation wie in Tabelle A.5 angegeben.

6 112 Anhang Tab. A u i Marken >0 2 2 > (1 ) (--) >0 2 1 u j Marken (3) (3) Da nun 4 unabhängige Nullen bestimmt sind, ist das Abbruchkriterium erfüllt und eine optimale Zuordnung gefunden. Der Zielfunktionswert ist 4 4 wmax = ui uj = 13. i= 1 j= 1