Konvergenz gegen einen Prozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen
|
|
- Gabriel Fuchs
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Konvergenz gegen einen rozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen Saskia F. Glaffig "Wiederholung" Definition (vgl. Jacod, Shiryaev, I.3.26: oissonprozess). Ein erweiterter oissonprozess auf (Ω, F, F, ) ist ein adaptierter unktprozess N mit den Eigenschaften (i) E(N t ) < für alle t 0, (ii) N t N s ist unabhängig von F s für alle 0 s t. Die Funktion a(t) = E(N t ) heißt Intensität von N. Ist a stetig, so nennen wir N einen oissonprozess. roposition. (vgl. Jacod, Shiryaev, VI.2.4) Die Funktion α sup t a α(t) sind stetig (bzgl. der Skorokhod-Topologie) an jedem unkt α mit a / J(α). Satz (Jacod, Shiryaev, VI.3.37). Seien X n, X wachsende rozesse, so dass entweder X stetig ist oder X und X 1, X 2,... unktprozesse sind. Gilt X n L(D) X für eine dichte Teilmenge D von R +, so folgt X n L X. Wir benötigen die folgenden (größtenteils schon eingeführten) Bezeichnungen: [β 5 D] B n t B t t D [γ 5 D] Cn t Ct t D [δ 5,i D] g ν n t g ν t t D, g C i (R d ) [Sup β 5 ] [ˆγ 5 D] sup Bs n B s 0 t R + s t Ĉ n t Ĉt t D [ˆδ 5 D] ν n ([0,t] { x > ɛ}) 0 t D, ɛ > 0. Weiter benötigen wir die Definitionen bzw. Darstellungen der Charakteristiken (B, C, ν) (für Semimartingale) bzgl. einer Abschneidefunktion h C d t und gegebenenfalls deren
2 Wiederholung Modifikationen: ˇX t (h) = s t( X s h( X s )), X(h) = X ˇX t (h) mit kanonische Zerlegung X 0 + M(h) + B(h), C ij = X i,c, X j,c, C ij = M(h) i, M(h) j = C i,j + (h i h j ) ν n t s. B i s B j s, (1) B = B + (x h(x)) ν, C ij = C ij + (x i x j ) ν s. B i s B j s = (X B ) i, (X B ) j, Ĉ ij = [ M i, M j] Für ein stetiges Semimartingal X mit unabhängigen und identische verteilten Zuwächsen und Semimartingale X n gilt die folgende Äquivalenz (Jacod, Shiryaev; VIII.3.5): { } [ˆδ 5 D] sup X s 0 für alle t D s t. (2) Dies folgt direkt aus VI.4.22 (s.a. Vortrag 2) und der Stetigkeit von X. Satz (vgl. Jacod, Shiryaev, VIII.3.8). Sei X ein stetiges d-dimensionales II-Semimartingal mit Charakteristiken (B, C, 0) und X n d-dimensionale Semimartingale. Weiter sei D eine dichte Teilmenge von R +. a) Falls X n X, so ist [ˆδ 5 D] erfüllt. b) Unter [Sup β 5 ] sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) X n L X, (ii) [γ 5 D] + [ˆδ 5 D], (iii) [ˆγ 5 D] + [ˆδ 5 D] 1. Konvergenz gegen einen oissonprozess In diesem Abschnitt sei X ein oissonprozess mit Intensität A. Die Charakteristiken von X werden mit (B, C, ν) bezeichnet und sind gegeben durch B t = h(1)a t, C t = 0, ν(dt, dx) = da t δ 1 (dx), (3) wobei δ 1 das Diracmaß am unkt 1 bezeichne und h C d t eine Abschneidefunktion sei. Theorem 1. Sei X ein oissonprozess mit Intensität A und für jedes n N sei X n ein unktprozess mit Kompensator A n. Weiter sei D eine dichte Teilmenge von R +. Gilt A n t A t t D, (4) 2
3 1. Konvergenz gegen einen oissonprozess so folgt X n L X. Bemerkung 2. Die Umkehrung der Aussage gilt im Allgemeinen nicht: Sei X ein oissonprozess auf einer stochastischen Basis (Ω, F, F, ) und (T k ) k N die Folge der Sprungzeiten. Sei X n auf derselben stochastischen Basis definiert durch X n t = k 1 1 {Tk +1/n<t} (5) Dann gilt X n erfüllt. L X und da X n vorhersagbar bzgl. F ist, ist A n = X n. Also ist (2) nicht Theorem 3. Sei X ein oissonprozess mit Intensität A und X n ein 1-dimensionales Semimartingal. Weiter sei die Abschneidefunktion h C d t so gewählt, dass h(1) = 0. Unter den Bedingungen (i) sup B n s 0 für alle t 0, s t (ii) C n t 0 für alle t 0, (iii) ν n ([0,t] {x : x 1 > ɛ, x > ɛ}) (iv) ν n ([0,t] {x : x 1 ɛ}) gilt X n L X. 0 für alle t 0, ɛ > 0, A t für alle t 0, ɛ (0,1), 2. Zentraler Grenzwertsatz: Der Martingalfall Wir nehmen im Folgenden an, dass (X n ) n N eine Folge d dimensionaler lokaler Martingale ist. Dann gilt (siehe Jacod, Shiryaev, II.2.29,a) x 2 x ν n t < t 0, B n = (h(x) x) ν n. (6) Der rozess X sei ein stetiges Gauß sches Martingal, d.h. ein II mit Charakteristiken (0, C, 0). Wir definieren die folgenden Bedingungen: [ˆγ 5 D] [X n,i, X n,j ] t C ij t t D [γ 5 D] X n,i, X n,j t C ij t t D, die zweite Bedingung nur falls jedes X n lokal quadratisch integrierbar ist. Ist D dicht in R +, so gilt [γ 5 D] [X n, X n ] L C. (7) 3
4 2. Zentraler Grenzwertsatz: Der Martingalfall Theorem 4. Sei X ein stetiges Gauß sches Martingal mit Charakteristiken (0, C, 0) und jedes X n ein lokales Martingal. Es gelte X n K gleichmäßig in n. Ist D eine dichte Teilmenge von R +, so sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) X n L X, (ii) [ˆγ 5 D], (iii) [γ 5 D] und [ˆδ 5 D]. Theorem 5. Sei X ein stetiges Gauß sches Martingal mit Charakteristiken (0, C, 0) und jedes X n ein lokales Martingal. Weiter sei D eine dichte Teilmenge von R + und es gelte lim a lim sup ( x 1 { x >a} νt n > η) = 0 für alle η > 0, t > 0. (8) n Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) X n L X, (ii) [ˆγ 5 D], (iii) [ˆγ 5 D] und [ˆδ 5 D], (iv) [γ 5 D] und [ˆδ 5 D]. Lemma 6. Unter den Bedingungen (8) und [ˆδ 5 D] gilt: [Var β 5 ] Var(B n,j ) t 0 t 0, j d. Achtung: Var(B n,j ) bezeichnet hier den Variationsprozess von B n,j, nicht dessen Varianz. Lemma 7. Unter den Bedingungen [Var β 5 ] und [ˆδ 5 D] gilt [ˆγ 5 D] [ˆγ 5 D]. Theorem 8. Sei X ein stetiges Gauß sches Martingal mit Charakteristiken (0, C, 0) und jedes X n ein quadratisch integrierbares lokales Martingal. Sei D eine dichte Teilmenge von R +. Wir betrachten die Bedingung x 2 1 { x >ɛ} ν n t 0 für alle t 0, ɛ > 0. (9) Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) (9) und X n L X, (ii) (9) und [γ 5 D], (iii) (9) und [ˆγ 5 D], (iv) (9) und [γ 5 D], (v) (9) und [ˆγ 5 D], 4
5 3. Normierte Summen von iid Semimartingalen (vi) [γ 5 D] und [ˆγ 5 D], (vii) [γ 5 D] und Xn L X. 3. Normierte Summen von iid Semimartingalen Sei (B n, Y n ) n N eine Folge identischer Kopien eines aares (B, Y ), wobei B = (Ω, F, F, ) ein stochastische Basis und Y ein 1 dimensionales Semimartingal auf B mit Y 0 = 0 ist. Wir bezeichnen mit B = ( Ω, F, F, ) das Tensorprodukt aller B n s. Theorem 9. Sei zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen Y ein lokales Martingal für welches die Funktion C t = E(Y 2 t ) nur endliche Werte annimmt und stetig ist. Dann konvergiert die Folge (X n ) n, definiert durch X n = 1 n 1 p n Y p, (10) in Verteilung gegen einen Wiener rozess mit Charakteristiken (0, C, 0). 4. Grenzwertsätze für stationäre rozesse Sei (Ω, F, ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (θ t ) t R eine Gruppe von messbaren, maßerhaltenden Verschiebungen: Jedes θ t ist eine messbare Abbildung von (Ω, F) nach (Ω, F) und es gelte θt 1 = sowie θ t+s = θ t θ s für alle s, t R. Außerdem sei (θ t ) t R ergodisch. Unser stationärer rozess ist ein reellwertiger rozess Y = (Y t ) t R, so dass Y t θ s = Y t+s für alle s, t R gilt und die Abbildung (ω, t) Y t (ω) F R-messbar ist. Wir setzen F t = σ(y s : s R, s t), d.h. es gilt F θ 1 t = F 0. Theorem 10. Zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen sei p [2, ] und q [1,2] der zu p konjugierte Exponent. Weiter gelte Y 0 p < 0 E(Y t F 0 ) q dt < (11) Die Folge der rozesse (X n ) n sei definiert durch Xt n = 1 nt Y s ds, t 0. (12) n 0 Dann gilt X n L(R +) cw, wobei W ein Standard Wiener rozess ist und c durch c = 2 0 E(Y 0 Y t ) dt. (13) 5
6 4. Grenzwertsätze für stationäre rozesse gegeben ist. Im Fall p = 2 gilt sogar X n L cw. 6
I. II. I. II. III. IV. I. II. III. I. II. III. IV. I. II. III. IV. V. I. II. III. IV. V. VI. I. II. I. II. III. I. II. I. II. I. II. I. II. III. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.
MehrExtremwertverteilungen
Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen
MehrMartingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele
Kapitel 6 Martingale In der Statistik modellieren Martingale z.b. Glücksspiele oder Handelsstrategien in Finanzmärkten und sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer
Mehr1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit
1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1.1 Grundlagen Wir betrachten zufällige Prozesse, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), welche Werte in einen fest gewählten Zustandsraum annehmen.
MehrAbsolute Stetigkeit von Maßen
Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches
MehrStochastische Prozesse Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 2006
Stochastische Prozesse Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 26 Markus Reiß Universität Heidelberg reiss@statlab.uni-heidelberg.de VORLÄUFIGE FASSUNG: 28. Juli 26 Inhaltsverzeichnis 1 Der Poissonprozess
MehrGrundlagen der Stochastischen Analysis. Egbert Dettweiler
Grundlagen der Stochastischen Analysis Egbert Dettweiler Vorwort Der erste Teil des vorliegenden Manuskripts ist im wesentlichen eine Vorlesungsausarbeitung einer im Sommersemester 23 an der Universität
MehrStochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada
Stochastische Analysis für Zufallsmatrizen Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Was ist eine Zufallsmatrix? Zufallsmatrix = Matrix mit zufälligen Einträgen A : Ω M N (C) Was ist eine Zufallsmatrix?
Mehr13.5 Der zentrale Grenzwertsatz
13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle
MehrEinführung in die Statistik
Einführung in die Statistik Dr. C.J. Luchsinger 2 Zufallsgrössen Literatur Kapitel 2 * Statistik in Cartoons: Kapitel 4 * Krengel: 3.1 und 3.2 in 3 und (Honours Program) 10 sowie 11.1, 11.2 und 11.3 in
MehrSolvency II und die Standardformel
Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematische Stochastik Solvency II und die Standardformel Festkolloquium 20 Jahre (neue) Versicherungsmathematik an der TU Dresden Sebastian Fuchs
MehrBeispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =
Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrFüllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge
2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
MehrSchwach ergodische Prozesse
Schwach ergodische Prozesse Von der Fakultät für Naturwissenschaften der Universität Duisburg-Essen (Standort Duisburg) zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigte
MehrInduktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010
Induktive Limiten Arpad Pinter, Tobias Wöhrer 30. Jänner 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Induktiver Limes von Mengen 2 2 Induktiver Limes von Vektorräumen 4 3 Lokalkonvexe topologische Vektorräumen 7 4 Induktiver
Mehr2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx
Mehr1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.
1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrStochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008
Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)
MehrJan Kallsen. Mathematical Finance Eine Einführung in die zeitdiskrete Finanzmathematik
Jan Kallsen Mathematical Finance Eine Einführung in die zeitdiskrete Finanzmathematik AU zu Kiel, WS 13/14, Stand 10. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Hilfsmittel 4 1.1 Absolutstetigkeit
MehrIII Stochastische Analysis und Finanzmathematik
III Stochastische Analysis und Finanzmathematik Ziel dieses Kapitels ist es, eine Einführung in die stochastischen Grundlagen von Finanzmärkten zu geben. Es werden zunächst Modelle in diskreter Zeit behandelt,
MehrMengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße
Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen
MehrFormelsammlung für Automatisierungstechnik 1 & 2
Formelsammlung für Automatisierungstechnik & 2 Aus Gründen der Vereinheitlichung, der gleichen Chancen bw. um etwaigen Diskussionen vorubeugen, sind als Prüfungsunterlagen für die Vorlesungsklausuren aus
Mehr3. Modelle in stetiger Zeit, Black Scholes
3. Modelle in stetiger Zeit, Black Scholes Nach einführenden Bemerkungen werden kurz die Brownsche Bewegung und Martingale in stetiger Zeit besprochen. Dann folgen die Entwicklung des stochastischen Integrals
MehrFinanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/
Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 http://code.google.com/p/mitgetexed/ Stand: 4. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell
MehrGaußsche Prozesse - ein funktionalanalytischer Zugang
Universität Ulm Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Gaußsche Prozesse - ein funktionalanalytischer Zugang Bachelorarbeit in Wirtschaftsmathematik vorgelegt von Clemens Kraus am 31. Mai
MehrBewertung von exotischen Optionen im CRR Modell
Bewertung von exotischen Optionen im CRR Modell Bachelorarbeit von Stefanie Tiemann 11. 08. 2010 Betreuer: Privatdozent Dr. Volkert Paulsen Institut für mathematische Statistik Fachbereich Mathematik und
MehrSTOCHASTISCHE PROZESSE. Vorlesungsskript
STOCHASTISCHE PROZESSE II: Martingale und Brownsche Bewegung Wolfgang König Vorlesungsskript Universität Leipzig Wintersemester 2005/6 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie der Martingale 3 1.1 Definition und
MehrProjektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:
Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein
MehrFinanzmathematik. Jürgen Dippon. 28. März 2011. Vorlesung WS 2010/11
Finanzmathematik Vorlesung WS 21/11 Jürgen Dippon 28. März 211 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 1.1 Grundbegrie................................... 4 1.2 Put-Call-Parität.................................
MehrGrundlagen der Variationsrechnung
Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 Mathematik /home/lehrstuhl/ag-fuchs/olli/work/texstyles/eule-eps-conv Grundlagen der Variationsrechnung Eine anwendungsorientierte Einführung in die lineare
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel
MehrDiplomarbeit. Arbitragefreies Bewerten von Schadenversicherungen. von Ingmar Schiltz
Diplomarbeit Arbitragefreies Bewerten von Schadenversicherungen von Ingmar Schiltz Universität Siegen Fachbereich Mathematik Juni 2005 ARBITRAGEFREIES BEWERTEN VON SCHADENVERSICHERUNGEN 2 Betreuer und
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
MehrZur Bewertung von Basket Optionen
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematische Statistik Zur Bewertung von Basket Optionen Bachelorarbeit August 2 Leo Bronstein MatrikelNummer
MehrVorlesung. Funktionen/Abbildungen 1
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrDynamische Monte Carlo Methoden
Dynamische Monte Carlo Methoden Bachelorarbeit Vorgelegt von: Patrick Wol Westfälische Wilhelms-Universität Münster Fachbereich Mathematik und Informatik Betreuung: PD Dr. Volkert Paulsen Münster, 8.August
MehrAngewandte Stochastik
Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 17 Crash Course Brownsche Bewegung (stetige Zeit, stetiger Zustandsraum); Pricing & Hedging von Optionen in stetiger Zeit Literatur Kapitel 17 * Uszczapowski:
MehrOptionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein
Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Michael Beer 8. Mai 000 Inhaltsverzeichnis Einführung und Problembeschreibung. Was sind Optionen?.............................. Modellspezifikation..............................3
MehrGNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor
GNS-Konstruktion und normale Zustände 1 Rückblick Wir betrachten von-neumann-algebren M B(H), d.h. Unteralgebren mit 1 H M, die in der schwachen Operatortopologie (und damit in jeder der anderen) abgeschlossen
MehrMonte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management
Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
MehrSatz 2.8.3: Sei Q eine Intensitätsmatrix. Dann hat die
Satz 2.8.3: Sei Q eine Intensitätsmatrix. Dann hat die Rückwärtsgleichung P (t) = QP (t), P (0) = E eine minimale nicht negative Lösung (P (t) : t 0). Die Lösung bildet eine Matrix Halbgruppe, d.h. P (s)p
MehrII. Bewertung von Derivaten in diskreter Zeit
II. Bewertung von Derivaten in diskreter Zeit 2.1. Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen 2.1.1. Bedingte Erwartungswerte Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für A, B F mit P(B) > 0 ist die
MehrStatistische Methoden
Statistische Methoden Dr. C.J. Luchsinger 3 Grundlagen der Statistik Literatur Kapitel 3: Lindgren: Kapitel 7 3.1 Überblick Die Statistik ist ein ausuferndes Wissensgebiet. Man könnte problemlos 20 Semester
MehrBONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN
Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,
MehrMathematische Methoden der Physik: Funktionalanalytische Methoden. Technische Universität Clausthal WS 1998/99
Mathematische Methoden der Physik: Funktionalanalytische Methoden Technische Universität Clausthal WS 1998/99 W. Lücke 3 Vorwort Als Funktionalanalysis bezeichnet man die Analysis von Funktionen, deren
MehrFondsgebundene Lebensversicherungsverträge mit garantierten Auszahlungen
Günther Sieghartsleitner Fondsgebundene Lebensversicherungsverträge mit garantierten Auszahlungen Diplomarbeit Technische Mathematik Studienzweig Operations Research, Statistik, Finanz- und Versicherungsmathematik
MehrExpander Graphen und Ihre Anwendungen
Expander Graphen und Ihre Anwendungen Alireza Sarveniazi Mathematisches Institut Universität Göttingen 21.04.2006 Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen 21.04.2006
Mehra n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n
Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen
MehrZur Bewertung von Derivaten in einem Shot Noise-Modell
Zur Bewertung von Derivaten in einem Shot Noise-Modell Diplomarbeit vorgelegt von Tamino Meyhöfer Betreuer: PD Dr. Volkert Paulsen Institut für Mathematische Statistik Fachbereich 1 - Mathematik und Informatik
Mehr4. Versicherungsangebot
4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil
MehrCodierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9
Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets
MehrAnhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel
Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung
MehrSeminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen
Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term
MehrBestimmung einer ersten
Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
Mehr17. Penalty- und Barriere-Methoden
H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende
Mehr3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann
22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept
MehrZentrum Mathematik. Optimales Investment einer Versicherung. Diplomarbeit von Roland Christoph Seydel
Technische Universität München Zentrum Mathematik Optimales Investment einer Versicherung Diplomarbeit von Roland Christoph Seydel Themensteller: Prof. Dr. Martin Brokate Prof. Dr. Claudia Klüppelberg
MehrInstitut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban
Institut für Stochastik Prof. r. N. Bäuerle ipl.-math. S. Urban Lösungsvorschlag 3. Übungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik I Aufgabe as endnutzenoptimale Aktienportfolio bei Exp-Nutzen Wir betrachten
MehrM.Sc. Brice Hakwa. Zufallsprozesse und stochastische Integration. Chap 6: Monte-Carlo-Simulation
M.Sc. Brice Hakwa Zufallsprozesse und stochastische Integration Chap 6: Monte-Carlo-Simulation Motivation 1. In vielen Problemstellungen der Finanzmathematik und des Risikomanagements ist die Dynamik der
MehrDiskrete Stochastik der Finanzmärkte. Einführung und Anwendungsbeispiel
Seminarbeitrag Diskrete Stochastik der Finanzmärkte. Einführung und Anwendungsbeispiel Sven Wiesinger 8. Juni 2004 1. Einleitung Historisches. Bei dem Versuch, eine Theorie der Spekulation zu entwickeln,
Mehr2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.
2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es
MehrAmerikanischen Optionen
Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.
MehrErgänzungen zur Analysis I
537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.
MehrErinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen
Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend
MehrAnalyse von Extremwerten
Analyse von Extremwerten Interdisziplinäres Seminar: Statistische Verfahren in den Geowissenschaften Anna Hamann betreut durch Prof. Dr. Helmut Küchenhoff, Institut für Statistik Ludwig Maximilians Universität
Mehr2. Modelle in diskreter Zeit
2. Modelle in diskreter Zeit Zuerst werden die derivativen Produkte erklärt. Ausschliesslich mit Arbitrage-Überlegungen wird dann die Put-Call-Parität hergeleitet. Danach folgt ein einfaches und eindrückliches
MehrNT-IQ Implantat Bibliothek
Download und anschließende Installation der en zum Gebrauch in der DWos Software. Diese bestehen aus der NT-IQ_DIM_Preform Bibliothek einteilige Titanabutments, der NT-IQ_TiB Bibliothek Hybridabutments
Mehru + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume
MehrAlgorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, 08.02.2012 Henning Meyerhenke
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, 08.02.2012 Henning Meyerhenke 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke: Landes Baden-Württemberg und nationales Algorithmische Forschungszentrum
MehrAnwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem
Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem Inauguraldissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Mathematisch Naturwissenschaftlichen
MehrHilbertraum-Methoden
Skript zur Vorlesung Hilbertraum-Methoden SS 2013 Peter Junghanns Hinweis: Das vorliegende Skript stellt nur ein Gerüst zu den Inhalten der Vorlesung dar. Die Vorlesung selbst bietet weiterführende Erläuterungen,
MehrDefinition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.
Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften
Mehr2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume
2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume Beispiel: Beispiel (Teil 3): Beweis für L(G) L: Alle Strings aus L der Länge 0 und 2 sind auch in L(G). Als Induktionsannahme gehen wir davon aus, dass alle
MehrSpezielle Eigenfunktionen des Transfer-Operators für Hecke Kongruenz Untergruppen
Spezielle Eigenfunktionen des Transfer-Operators für Hecke Kongruenz Untergruppen Diplomarbeit 2005 Markus Fraczek Institut für Theoretische Physik Technische Universität Clausthal Abteilung Statistische
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrEinleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären.
Einleitung Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste Modell, um die Idee der Preisgebung von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. naive Idee der Optionspreisbestimmung: Erwartungswertprinzip
MehrAnalytische Methoden und die Black-Scholes Modelle
Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle Diplomverteidigung Universität Rostock Institut für Mathematik 20.01.2011 Agenda 1 Das Ornstein-Uhlenbeck Volatilitätsmodell 2 in L 2 (R 2 ) 3 4 Problem
MehrQuantitative Risk Management
Quantitative Risk Management Copulas und Abhängigkeit Johannes Paschetag Mathematisches Institut der Universität zu Köln Wintersemester 2009/10 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg i Inhaltsverzeichnis
MehrBlack Jack - Kartenzählen
Black Jack - Kartenzählen Michael Gabler 24.01.2012 Literatur: N. Richard Werthamer: Risk and Reward - The Science of Casino Blackjack, Springer Black Jack - Kartenzählen 1 Wie zähle ich Karten? Historisches
MehrEinführung in die Funktionalanalysis
Einführung in die Funktionalanalysis Bernhard Gsell Skriptum zur Vorlesung gelesen von Prof. Wolfgang Woess 21. August 2014 Dies ist die Umsetzung meiner Vorlesungsmitschrift zu Einführung in die Funktionalanalysis,
MehrGeometrische Mannigfaltigkeiten
Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie
MehrMarkov-Prozesse mit stetigem Zustands- und Parameterraum
Kapitel 8 Markov-Prozesse mit stetigem Zustands- und Parameterraum Markov-Prozesse mit stetigem Zustandsraum S R (bzw. mehrdimensional S R p und in stetiger Zeit, insbesondere sogenannte Diffusionsprozesse
MehrTechnischeUniversitatMunchen ZentrumMathematik Kreditrisiko ModelleundDerivatebewertung Diplomarbeit AlexanderSzimayer von Abgabetermin:12.Mai1999 Betreuer: Themensteller:Prof.Dr.C.Kluppelberg Dr.M.Borkovec
MehrDie Black-Scholes-Gleichung
Die Black-Scholes-Gleichung Franziska Merk 22.06.2012 Outline Optionen 1 Optionen 2 3 Optionen Eine Kaufoption ist ein Recht, eine Aktie zu einem heute (t=0) festgelegten Preis E an einem zukünftigen Zeitpunkt
MehrEinführung in die. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Institut für Mathematische Stochastik Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Kurzskript zur Vorlesung Wintersemester 2014/15 von Prof. Dr. Norbert Gaffke Inhaltsverzeichnis 1 Wahrscheinlichkeitsräume
Mehrf : C C, z f(z) = zz komplex differenzierbar? Gibt es ein Gebiet G so dass f G analytisch ist?
Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gmx.de Klausurvorbereitung - Lösungsvorschläge- Funktionentheorie Hier eine kleine Sammlung von Klausurvorbereitungsaufgaben vom Sommersemester 008 aus der Vorlesung
Mehr34 5. FINANZMATHEMATIK
34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.
Mehr, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =
38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die
MehrTEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN
TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner
MehrVorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems
MehrEinführung und Beispiele
Kapitel 1 Einführung und Beispiele Inhalt: Anwendungsbeispiele erste Definition eines stochastischen Prozesses einige spezielle stochastische Prozesse Ziel: Aufzeigen der Vielfalt stochastischer Prozesse
MehrÜber Randeffekte bei der Dichteschätzung räumlich verteilter Daten
Über Randeffekte bei der Dichteschätzung räumlich verteilter Daten Andreas Fröhlich, Thomas Selhorst, Christoph Staubach FLI-Wusterhausen DVG Tagung Graz, September 2008 Institut für Epidemiologie Gliederung
MehrAlgebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013
Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester
MehrFinanzmathematik. Vorlesung SS 2005. Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart
Finanzmathematik Vorlesung SS 2005 Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart Homepage der Vorlesung: www.isa.uni-stuttgart.de/lehre/fm Version vom 29. Juli 2005 J. Dippon
MehrFinanzmathematik Vorlesung WS 2010/11
1. Einführung Finanzmathematik Vorlesung WS 21/11 Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart Die klassische Finanzmathematik beschäftigt sich in erster Linie mit grundlegenden
Mehr