Konvergenz gegen einen Prozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen

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1 Konvergenz gegen einen rozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen Saskia F. Glaffig "Wiederholung" Definition (vgl. Jacod, Shiryaev, I.3.26: oissonprozess). Ein erweiterter oissonprozess auf (Ω, F, F, ) ist ein adaptierter unktprozess N mit den Eigenschaften (i) E(N t ) < für alle t 0, (ii) N t N s ist unabhängig von F s für alle 0 s t. Die Funktion a(t) = E(N t ) heißt Intensität von N. Ist a stetig, so nennen wir N einen oissonprozess. roposition. (vgl. Jacod, Shiryaev, VI.2.4) Die Funktion α sup t a α(t) sind stetig (bzgl. der Skorokhod-Topologie) an jedem unkt α mit a / J(α). Satz (Jacod, Shiryaev, VI.3.37). Seien X n, X wachsende rozesse, so dass entweder X stetig ist oder X und X 1, X 2,... unktprozesse sind. Gilt X n L(D) X für eine dichte Teilmenge D von R +, so folgt X n L X. Wir benötigen die folgenden (größtenteils schon eingeführten) Bezeichnungen: [β 5 D] B n t B t t D [γ 5 D] Cn t Ct t D [δ 5,i D] g ν n t g ν t t D, g C i (R d ) [Sup β 5 ] [ˆγ 5 D] sup Bs n B s 0 t R + s t Ĉ n t Ĉt t D [ˆδ 5 D] ν n ([0,t] { x > ɛ}) 0 t D, ɛ > 0. Weiter benötigen wir die Definitionen bzw. Darstellungen der Charakteristiken (B, C, ν) (für Semimartingale) bzgl. einer Abschneidefunktion h C d t und gegebenenfalls deren

2 Wiederholung Modifikationen: ˇX t (h) = s t( X s h( X s )), X(h) = X ˇX t (h) mit kanonische Zerlegung X 0 + M(h) + B(h), C ij = X i,c, X j,c, C ij = M(h) i, M(h) j = C i,j + (h i h j ) ν n t s. B i s B j s, (1) B = B + (x h(x)) ν, C ij = C ij + (x i x j ) ν s. B i s B j s = (X B ) i, (X B ) j, Ĉ ij = [ M i, M j] Für ein stetiges Semimartingal X mit unabhängigen und identische verteilten Zuwächsen und Semimartingale X n gilt die folgende Äquivalenz (Jacod, Shiryaev; VIII.3.5): { } [ˆδ 5 D] sup X s 0 für alle t D s t. (2) Dies folgt direkt aus VI.4.22 (s.a. Vortrag 2) und der Stetigkeit von X. Satz (vgl. Jacod, Shiryaev, VIII.3.8). Sei X ein stetiges d-dimensionales II-Semimartingal mit Charakteristiken (B, C, 0) und X n d-dimensionale Semimartingale. Weiter sei D eine dichte Teilmenge von R +. a) Falls X n X, so ist [ˆδ 5 D] erfüllt. b) Unter [Sup β 5 ] sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) X n L X, (ii) [γ 5 D] + [ˆδ 5 D], (iii) [ˆγ 5 D] + [ˆδ 5 D] 1. Konvergenz gegen einen oissonprozess In diesem Abschnitt sei X ein oissonprozess mit Intensität A. Die Charakteristiken von X werden mit (B, C, ν) bezeichnet und sind gegeben durch B t = h(1)a t, C t = 0, ν(dt, dx) = da t δ 1 (dx), (3) wobei δ 1 das Diracmaß am unkt 1 bezeichne und h C d t eine Abschneidefunktion sei. Theorem 1. Sei X ein oissonprozess mit Intensität A und für jedes n N sei X n ein unktprozess mit Kompensator A n. Weiter sei D eine dichte Teilmenge von R +. Gilt A n t A t t D, (4) 2

3 1. Konvergenz gegen einen oissonprozess so folgt X n L X. Bemerkung 2. Die Umkehrung der Aussage gilt im Allgemeinen nicht: Sei X ein oissonprozess auf einer stochastischen Basis (Ω, F, F, ) und (T k ) k N die Folge der Sprungzeiten. Sei X n auf derselben stochastischen Basis definiert durch X n t = k 1 1 {Tk +1/n<t} (5) Dann gilt X n erfüllt. L X und da X n vorhersagbar bzgl. F ist, ist A n = X n. Also ist (2) nicht Theorem 3. Sei X ein oissonprozess mit Intensität A und X n ein 1-dimensionales Semimartingal. Weiter sei die Abschneidefunktion h C d t so gewählt, dass h(1) = 0. Unter den Bedingungen (i) sup B n s 0 für alle t 0, s t (ii) C n t 0 für alle t 0, (iii) ν n ([0,t] {x : x 1 > ɛ, x > ɛ}) (iv) ν n ([0,t] {x : x 1 ɛ}) gilt X n L X. 0 für alle t 0, ɛ > 0, A t für alle t 0, ɛ (0,1), 2. Zentraler Grenzwertsatz: Der Martingalfall Wir nehmen im Folgenden an, dass (X n ) n N eine Folge d dimensionaler lokaler Martingale ist. Dann gilt (siehe Jacod, Shiryaev, II.2.29,a) x 2 x ν n t < t 0, B n = (h(x) x) ν n. (6) Der rozess X sei ein stetiges Gauß sches Martingal, d.h. ein II mit Charakteristiken (0, C, 0). Wir definieren die folgenden Bedingungen: [ˆγ 5 D] [X n,i, X n,j ] t C ij t t D [γ 5 D] X n,i, X n,j t C ij t t D, die zweite Bedingung nur falls jedes X n lokal quadratisch integrierbar ist. Ist D dicht in R +, so gilt [γ 5 D] [X n, X n ] L C. (7) 3

4 2. Zentraler Grenzwertsatz: Der Martingalfall Theorem 4. Sei X ein stetiges Gauß sches Martingal mit Charakteristiken (0, C, 0) und jedes X n ein lokales Martingal. Es gelte X n K gleichmäßig in n. Ist D eine dichte Teilmenge von R +, so sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) X n L X, (ii) [ˆγ 5 D], (iii) [γ 5 D] und [ˆδ 5 D]. Theorem 5. Sei X ein stetiges Gauß sches Martingal mit Charakteristiken (0, C, 0) und jedes X n ein lokales Martingal. Weiter sei D eine dichte Teilmenge von R + und es gelte lim a lim sup ( x 1 { x >a} νt n > η) = 0 für alle η > 0, t > 0. (8) n Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) X n L X, (ii) [ˆγ 5 D], (iii) [ˆγ 5 D] und [ˆδ 5 D], (iv) [γ 5 D] und [ˆδ 5 D]. Lemma 6. Unter den Bedingungen (8) und [ˆδ 5 D] gilt: [Var β 5 ] Var(B n,j ) t 0 t 0, j d. Achtung: Var(B n,j ) bezeichnet hier den Variationsprozess von B n,j, nicht dessen Varianz. Lemma 7. Unter den Bedingungen [Var β 5 ] und [ˆδ 5 D] gilt [ˆγ 5 D] [ˆγ 5 D]. Theorem 8. Sei X ein stetiges Gauß sches Martingal mit Charakteristiken (0, C, 0) und jedes X n ein quadratisch integrierbares lokales Martingal. Sei D eine dichte Teilmenge von R +. Wir betrachten die Bedingung x 2 1 { x >ɛ} ν n t 0 für alle t 0, ɛ > 0. (9) Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) (9) und X n L X, (ii) (9) und [γ 5 D], (iii) (9) und [ˆγ 5 D], (iv) (9) und [γ 5 D], (v) (9) und [ˆγ 5 D], 4

5 3. Normierte Summen von iid Semimartingalen (vi) [γ 5 D] und [ˆγ 5 D], (vii) [γ 5 D] und Xn L X. 3. Normierte Summen von iid Semimartingalen Sei (B n, Y n ) n N eine Folge identischer Kopien eines aares (B, Y ), wobei B = (Ω, F, F, ) ein stochastische Basis und Y ein 1 dimensionales Semimartingal auf B mit Y 0 = 0 ist. Wir bezeichnen mit B = ( Ω, F, F, ) das Tensorprodukt aller B n s. Theorem 9. Sei zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen Y ein lokales Martingal für welches die Funktion C t = E(Y 2 t ) nur endliche Werte annimmt und stetig ist. Dann konvergiert die Folge (X n ) n, definiert durch X n = 1 n 1 p n Y p, (10) in Verteilung gegen einen Wiener rozess mit Charakteristiken (0, C, 0). 4. Grenzwertsätze für stationäre rozesse Sei (Ω, F, ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (θ t ) t R eine Gruppe von messbaren, maßerhaltenden Verschiebungen: Jedes θ t ist eine messbare Abbildung von (Ω, F) nach (Ω, F) und es gelte θt 1 = sowie θ t+s = θ t θ s für alle s, t R. Außerdem sei (θ t ) t R ergodisch. Unser stationärer rozess ist ein reellwertiger rozess Y = (Y t ) t R, so dass Y t θ s = Y t+s für alle s, t R gilt und die Abbildung (ω, t) Y t (ω) F R-messbar ist. Wir setzen F t = σ(y s : s R, s t), d.h. es gilt F θ 1 t = F 0. Theorem 10. Zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen sei p [2, ] und q [1,2] der zu p konjugierte Exponent. Weiter gelte Y 0 p < 0 E(Y t F 0 ) q dt < (11) Die Folge der rozesse (X n ) n sei definiert durch Xt n = 1 nt Y s ds, t 0. (12) n 0 Dann gilt X n L(R +) cw, wobei W ein Standard Wiener rozess ist und c durch c = 2 0 E(Y 0 Y t ) dt. (13) 5

6 4. Grenzwertsätze für stationäre rozesse gegeben ist. Im Fall p = 2 gilt sogar X n L cw. 6

I. II. I. II. III. IV. I. II. III. I. II. III. IV. I. II. III. IV. V. I. II. III. IV. V. VI. I. II. I. II. III. I. II. I. II. I. II. I. II. III. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.

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