Lineare Algebra I (WS 13/14)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 16

2 Wiederholung Ist V ein Vektorraum, so heißen Abbildungen T v : V V der Form w w + v Translationen von V. Alexander Lytchak 2 / 16

3 Wiederholung Affine Teilräume sind Bilder von Untervektoräumen unter Translationen, d.h. jeder affine Teilraum Z hat die Form T v (W ) = v + W, wobei W ein Untervektorraum ist. Bilder von affinen Teilräumen Z unter Translationen sind wieder affine Teilräume. Den Untervektorraum-Anteil W von Z kann man durch T z (Z) berechnen für beliebiges z Z. Mit Translationen kann man Fragen über affine Teilräume auf Fragen über Untervektorräume zurückführen. Eine Teilmenge von V ist affin genau dann, wenn es mit je zwei verschiedenen Punkten die Gerade durch diese Punkte enthält. Alexander Lytchak 3 / 16

4 Transversalität Proposition Es seien X und Y affine Teilräume in einem endlichdimensionalen Vektorraum V. Dann ist entweder X Y leer oder wieder ein affiner Teilraum von V. Im letzten Fall gilt die Ungleichung dim(x Y ) dim(x ) + dim(y ) dim V (1) Definition Falls in obiger Proposition X Y nicht leer ist und in (1) Gleichheit gilt, so sagt man, dass sich X und Y transversal schneiden. Proposition Die affinen Teilräume X und Y schneiden sich genau dann transversal, wenn für die zugehörigen Untervektorräume W X und W Y die Gleichung W X + W Y = V gilt. Alexander Lytchak 4 / 16

5 Transversalität Proposition Seien X, Y affine Teilräume des Vektorraums V, so dass X Y nicht leer ist. Dann sind äquivalent: Die Teilräume X und Y schneiden sich transversal; Die affine Hülle von X und Y ist V ; Für jedes v V ist der Schnitt T v (X ) Y nicht leer. Idee der Transversalität Alexander Lytchak 5 / 16

6 Transversalität: Beispiele Was bedeutet es im R 2, R 3, R 4 und R 5, dass sich zwei Ebenen transversal schneiden? Jede Ebene im R 2 ist der ganze R 2. Zwei solche Ebenen schneiden sich und der Schnitt ist transversal. Für zwei sich schneidende Ebenen X, Y im R 3 gilt dim(x Y ) = 1. Die beiden Ebenen schneiden sich also in einer Gerade oder stimmen überein. Der Schnitt ist genau dann transversal, wenn sie sich in einer Geraden schneiden. Für zwei sich schneidende Ebenen X, Y im R 4 gilt dim(x Y ) = 0, und der Schnitt ist genau dann transversal, wenn dim(x Y ) = 0. Die beiden Ebenen schneiden sich also in einem Punkt, in einer Gerade oder in einer Ebene. Die Ebenen schneiden sich transversal genau dann, wenn der Schnitt aus einem Punkt besteht. Alexander Lytchak 6 / 16

7 Transversalität: Beispiele Für zwei sich schneidende Ebenen X, Y im R 5 gilt dim(x Y ) = 1, und die Ebenen könnnen sich niemals transversal schneiden. Genauso, schneiden sich zwei Geraden im R 3 niemals transversal. Sie sind entweder gleich, oder schneiden sich in einem Punkt oder gar nicht. Für eine Ebene und eine Gerade im R 3 gibt es folgende Möglichkeiten. Entweder ist die Gerade in der Ebene enthalten, oder sie schneiden sich nicht, oder sie schneiden sich transversal. In den ersten beiden Fällen ist der zugehörige Untervektorraum der Geraden enthalten im zugehörigen Untervektorraum der Ebene. Alexander Lytchak 7 / 16

8 Affine Geometrie in der Ebene V = R 2 Die affinen Teilräume sind Punkte, Geraden und die ganze Ebene. Je zwei verschiedene Punkte liegen auf genau einer Geraden. Zwei Geraden sind entweder gleich, oder parallel ohne Schnittpunkte oder schneiden sich in genau einem Punkt. Für jede Gerade γ und jeden Punkt p, geht durch diesen Punkt p genau eine zu γ parallele Gerade. (Euklid s Parallelenaxiom). Man kann in diesem Modell geometrische Sätze studieren, die in Termen der Punkte, Geraden und deren Schnitte formuliert sind. Dies ist der Gegenstand der affinen Geometrie. Ein erstes einfaches Beispiel: Seien γ 1, γ 2, γ 3 Geraden in V. Die Geraden γ 1 und γ 2 sind genau dann parallel, wenn γ 2 und γ 1 parallel sind. Sind γ 1 und γ 2 sowie γ 2 und γ 3 parallel, so sind γ 1 und γ 3 parallel. D.h. auf der Menge G(V ) der Geraden in V ist die Parallelität eine Äquivalenzrelation. Alexander Lytchak 8 / 16

9 Strecken Seien zwei verschiedene Punkte x 1, x 2 V gegeben. Die Strecke Zwischen x 1 und x 2 ist die Menge aller Punkte {tx 2 + (1 t)x 1 0 t 1} = {x 1 + t(x 2 x 1 ) 0 t 1}. Für einen Punkt M auf der Strecke zwischen x 1 und x 2 ist t mit z = tx 2 + (1 t)x 1 eindeutig bestimmt. Wir sagen, dass M die t Strecke im Verhältnis 1 t teilt. Die Mitte der Strecke ist der Punkt 1 2 x x 2. Alexander Lytchak 9 / 16

10 Wir beweisen nun den klassischen Satz, dass sich drei Seitenhalbierende eines beliebigen Dreiecks in einem Punkt schneiden, und dass dieser Punkt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 teilt. Zunächst wiederholen wir die Begriffe. Ein Dreieck besteht aus drei affin unabhängigen Punkten und den drei Strecken zwischen ihnen. Die Punkte heißen Ecken des Dreiecks. Die Strecken zwischen den Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Die einer Ecke gegenüberliegende Seite ist die Seite zwischen den beiden anderen Ecken des Dreiecks. Eine Seitenhalbierende ist die Strecke zwischen einer Ecke und der Mitte der gegenüberliegenden Seite. Alexander Lytchak 10 / 16

11 Affine Abbildungen Wir holen zum Beweis weit aus. Eine Abbildung F : V V heißt affin, wenn es einen Vektor w V und eine lineare Abbildung f : V V gibt, so dass F (v) = f (v) + w für alle v V gilt. Eine affine Abbildung F ist Komposition T w f einer linearen Abbildung f : V V und einer Translation T w : V V. Die Kompositon von affinen Abbildungen ist affin. Eine affine Abbildung ist bijektiv genau dann, wenn die zugehörige lineare Abbildung ein linearer Isomorphismus ist. In diesem Fall ist die Umkehrung F 1 auch eine affine Abbildung. Eine affine bijektive Abbildung heißt eine Affinität. Alexander Lytchak 11 / 16

12 Affinitäten Alexander Lytchak 12 / 16

13 Seien x 0, x 1, x 2 V affin unabhängig. Seien y 0, y 1, y 2 V beliebig. Dann gibt es genau eine affine Abbildung F : V V mit F (x i ) = y i für i = 0, 1, 2. Die Abbildung F ist eine Affinität genau dann, wenn y 0, y 1, y 2 affin unabhängig sind. Eine affine Abbildung schickt Geraden auf Geraden und Strecken auf Strecken. Das Teilungsverhältnis bleibt ebenfalls erhalten. Alexander Lytchak 13 / 16

14 Beweise Wir wissen, dass jedes Tripel affin unabhängiger Punkte auf jedes andere solche Tripel durch eine Affinität abgebildet werden kann. Dabei werden entsprechende Seiten, Seitenmitten und Seitenhalbierende aufeindander abgebildet. Auch die Teilungsverhältnisse bleiben erhalten. Hat man also für ein Dreieck die Aussage des Satzes bewiesen, so gilt sie für jedes andere Dreieck. Man kann nun die Aussage (leicht) im gleichseitigen Dreieck überprüfen und hat dann den Satz für alle Dreiecke bewiesen. Alexander Lytchak 14 / 16

15 Die bloße Existenz des gemeinsamen Schnittpunktes S (ohne Aussage über Teilungsverhältnisse) kann man noch eleganter beweisen. Zunächst schauen wir uns den Fall des gleichseitigen Dreiecks an, um die richtige Idee zu entwickeln. Aus Gründen der Symmetrie, kann der Schnittpunkt von (C, M c )) und (B, M b ) weder links noch rechts von (A, M a ) liegen, da das Dreieck (A, M a ) als Symmetrieachse hat. Folglich liegt der Schnitt auf (A, M a ). Alexander Lytchak 15 / 16

16 In der affinen Geometrie hat aber jedes Dreieck jede Seitenhalbierende als eine Symmetrieachse! Das ist die Affinität, die eine Ecke festhält und die beiden anderen vertauscht. Damit kann die obige Idee auch auf ein nicht gleichseitiges Dreieck übertragen werden. Alexander Lytchak 16 / 16