1.4 Krummlinige Koordinaten I

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1 Krummlinige Koordinaten I (A) Motivation zur Definition verschiedener Koordinatensysteme Oft ist es sinnvoll und zweckmäßig Koordinatensysteme zu verwenden, die sich an der Geometrie und/oder Symmetrie eines physikalischen Problems anpassen (z.b. Polarkoordinaten für die Kreisbewegung). Dadurch lassen sich oft die mathematischen Schwierigkeiten eines Problems reduzieren und physikalische Sachverhalte klarer erkennen. In der Praxis sind von besonderer Bedeutung orthogonale Koordinatensysteme, d.h. solche, bei denen die so genannten Basisvektoren (also die Koordinateneinheitsvektoren) paarweise senkrecht zueinander sind. Im Folgenden einige Beispiele. Bemerkung: Für die formale Definition von Koordinatensystemen im Zusammenhang mit linearen Abbildungen und dem Begriff des Vektorraums siehe die Mathematikvorlesung(en). Bemerkung: Wir behandeln zunächst 2-D Koordinatensysteme. Die Verallgemeinerung auf 3-D Koordinatensysteme ist problemlos, weil in völliger Analogie zum 2-D Fall.

2 dimensionale orthogonale Koordinatensysteme (a) Kartesische Koordinaten (x 1,x 2 ): Es gilt: (1) r = x 1 e 1 +x 2 e 2 = (x 1,x 2 ) (2) Die Koordinatenlinien sind orthogonale Geraden. (b) Ebene Polarkoordinaten (r,ϕ): Es gilt: (1) r = r e r = r e r (2) Die Koordinatenlinien sind konzentrische Kreise und radiale Geraden. Bemerkung: Zusammenhang der ebenen Polarkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten: x 1 = rcosϕ x 2 = rsinϕ r = rcosϕ e 1 +rsinϕ e 2 = r(cosϕ e 1 +sinϕ e 2 )! = r e r e r = cosϕ e 1 +sinϕ e 2 e ϕ = sinϕ e 1 +cosϕ e 2,, so dass e r e ϕ = 0

3 17 (B) Bewegungen in nicht-raumfesten Koordinatensystemen Im Unterschied zum kartesischen Koordinatensystem ist die Richtung der (Basis-)Einheitsvektoren krummliniger Koordinatensysteme im Allgemeinen ortsabhängig. Bei der Beschreibung von Bewegungen führt das dazu, dass nicht nur die Koordinaten eines Körpers, sondern auch die Einheitsvektoren von der Zeit abhängig sind. Beispiel: Kreisbewegung mit Periode T( ω = 2π/T) e 1, e 2 sind raumfest und zeitunabhängig e r, e ϕ sind nicht raumfest und zeitabhängig x 1 (t) und x 2 (t) ϕ(t) und r = R = const. (a) Im kartesischen Koordinatensystem gilt: r(t) = x 1 (t) e 1 +x 2 (t) e 2 = R cos(ωt) e 1 +R sin(ωt) e 2 v(t) = d dt r(t) = r(t) = ẋ 1 (t) e 1 +ẋ 2 (t) e 2 ; v = ẋ 2 1 +ẋ 2 2 = Rω Es werden zwei zeitabhängige Funktionen x 1 (t),x 2 (t) benötigt. (b) Im ebenen Polarkoordinatensystem gilt: R = const r(t) = R e r =R e r (t) e r = cos(ωt) e 1 +sin(ωt) e v(t) = r(t) = R e r =Rω[ sin(ωt) e 1 +cos(ωt) e 2 =Rω e ϕ Man erkennt somit unmittelbar Betrag und Konstanz der Geschwindigkeit sowie ihre Richtung.

4 18 (C) Berechnung der Basisvektoren eines Koordinatensystems (ˆ= 1.4.4) Wie zuvor bemerkt (siehe 1.4.1) gelingt die Konstruktion der Basis(einheits)vektoren oft anschaulich, wie am Beispiel von ebenen Polarkoordinaten demonstriert sei: e r := r r = r r = 1 r (rcosϕ e 1 +rsinϕ e 2 ) = cosϕ e 1 +sinϕ e 2 e r e ϕ = 0 e ϕ = sinϕ e 1 +cosϕ e 2 (Vorzeichen wegen Orientierung) Diese Berechnung kann systematischer erfolgen: In kartesischen Koordinaten (im R 3 ) gilt: u = u i e i totales Differential, siehe e i -Richtung d u = du i = u Änderung in i u i e i du i = }{{} =1 e i du i e i = u i in kartesischen Koordinaten. Bemerkung: Wenn u = (u 1,u 2,u 3 ) gilt z.b. Andere Ableitungen analog. u 1 = (1,0,0) = e 1. In krummlinigen Koordinaten gilt: u = ( ) u i e ui d u = u i du i = u i e i du i }{{} i.a. 1 e i = u i u i Basiseinheitsvektoren eines Koordinatensystems Bemerkung: Zu bilden sind also die partiellen Ableitungen eines Vektors nach seinen Komponenten im gewünschten Koordinatensystem.

5 19 Nun können wir obige Formel am Beispiel ebener r = x 1 e 1 +x 2 e 2 = rcosϕ e 1 +rsinϕ e 2 Polarkoordinaten illustrieren: r r = cosϕ e 1 +sinϕ e 2 r ϕ = rsinϕ e 1 +rcosϕ e 2 = 1 r = r ϕ Die Basisvektoren ergeben sich dann als: ( r ) e r = r r ( r ) ϕ e ϕ = ϕ = cosϕ e 1 +sinϕ e 2 = sinϕ e 1 +cosϕ e 2 Man erhält also systematisch die bereits oben angegebenen Ergebnisse.

6 20 (D) Geschwindigkeit und Beschleunigung in speziellen Koordinatensystemen Wichtige Anwendungen der Differentiation von Vektoren (insbesondere auch in krummlinigen Koordinatensystemen) sind die Berechnung von Geschwindigkeit v = r und Beschleunigung a = v = r aus der Bahn r(t) eines Körpers. Das sei hier wieder am Basiseinheitsvektoren: Beispiel ebener Polarkoordinaten illustriert: Differenzieren liefert dann: e r = cosϕ e 1 +sinϕ e 2 e ϕ = sinϕ e 1 +cosϕ e 2 e r = ϕ( sinϕ e 1 +cosϕ e 2 ) = ϕ e ϕ e ϕ = ϕ( cosϕ e 1 sinϕ e 2 ) = ϕ e r Damit folgt mit für die Geschwindigkeit: r = r e r und für die Beschleunigung: Basiseinheitsvektor zeitabhängig: Produktregel v = r =ṙ e r +r e r = ṙ e r +r ϕ e ϕ a = v Produktregel = r e r +ṙ e r +ṙ ϕ e ϕ +r ϕ e ϕ +r ϕ e ϕ = r e r +ṙ ϕ e ϕ +ṙ ϕ e ϕ +r ϕ e ϕ r ϕ 2 e r = ( r r ϕ 2 ) e r +(2ṙ ϕ+r ϕ) e ϕ