Vorkurs Mathematik Übungen zu linearen Gleichungssystemen

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1 Vorkurs Mathematik Übungen zu linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme lösen Aufgabe. Lösen sie jeweils das LGS A x = b mit ( ( a A =, b = b A =, b = 6 Aufgabe. Berechnen Sie für die folgenden Gleichungssysteme jeweils die Lösungsmenge mittels des Gauss-Verfahrens. a x +y +z = x +y z = x +y +z = 7 b x +y +z = x +y z = x +y +z = LGS aufstellen und lösen Aufgabe. Es ist Punkt Uhr. Sie betrachten eine (richtig gehende gewöhnliche analoge Uhr. Zu welcher Uhrzeit wird zum nächsten Mal der Minutenzeiger dieser Uhr exakt über dem Stundenzeiger liegen? Aufgabe. Sei g die Gerade im dreidimensionalen Raum die durch x = + λ beschrieben wird und E die Ebene, die durch x = + µ + ν beschrieben wird. Berechnen Sie den Punkt, in dem g durch E stößt ohne E dazu in Normalenform umzuformen.

2 Aufgabe. f(x sei ein Polynom von Grad. Es gilt a In x = ist ein Hochpunkt mit Funktionswert. b In x = ist ein Wendepunkt c Der Graph von f(x verläuft durch den Koordinatenursprung. Wie lautet f(x? Tipps zur Aufgabe s. Fußnote Die nachfolgende Zusatzaufgabe ist eher schwer, es geht um Eigenvektoren, einem wichtigen Konzept in der Matrizenrechnung: Definition: Sei A eine (n, n Matrix. Ein Vektor v R n mit v heißt Eigenvektor der Matrix A, falls eine Zahl λ R existiert, so dass gilt: A v = λ v. Die Zahl λ heißt dann der zum Eigenvektor v gehörige Eigenwert. Berechnen der Eigenwerte: Eine Matrix hat nur wenige Eigenwerte. Ist I die Einheitsmatrix, so sind die Eigenwerte von A gerade die Nullstellen des Polynoms p(t = det(a ti. Berechnen der Eigenvektoren: Hat man eine Nullstelle λ von p(t berechnet, so löst man das LGS A v = λ v um einen zugehörigen Eigenvektor v zu bestimmen. Aufgabe. (Zusatzaufgabe Sei A = ( a Bestimmen sie die Eigenwerte λ, λ R von A und daraufhin auch die zugehörigen Eigenvektoren v, v R. (Hierzu müssen Sie jeweils das System A v = λ v und A v = λ v lösen. Bemerkung: Die Länge und das Vorzeichen von v und v dürfen sie frei wählen. Vermeiden sie daher Brüche, negative Vorzeichen und große Zahlen, soweit es möglich ist. b Setzen sie T als die (, Matrix, deren Spaltenvektoren gerade v, v sind. Bestimmen Sie T und berechnen Sie D = T AT. Wenn sie sich nicht verrechnet haben, sollte das Ergebnis sehr hübsch sein, genauergesagt haben sie gerade ihre erste Matrix diagonalisiert. Studieren Sie Physik, wird es nicht die letzte gewesen sein. ( a b Hinweis: Für eine Matrix B = gilt c d ( B d b = ad bc c a f(x = ax + bx + cx + d a f( = sowie f ( = b f ( = c f( =

3 Lösungen zu Linearen Gleichungssystemen Lösung zu Aufgabe. Rechnung zu Aufgabe. a (I (II (I II = (II 7 + I (I I + II = (II 6 : (I II / = (II Zurückübersetzt in Gleichungen mit Variablen ergibt sich: (I x x = (II x = Einsetzen von x = in die erste Gleichung liefert: x = + x = : x = Lösung zu Aufgabe. a: ( x x = ( Rechnung zu Aufgabe. b (I (II 6 (III I (I II = (II + I III I = (III 7 7 (I II + I = (II 7 (III II (I (II 7 III + 7 II = (III Zurückübersetzt in Gleichungen mit Variablen ergibt sich: (I x +x +x = (II x +7x = (III x =

4 Aus (III folgt x =. Dies in (II eingesetzt liefert x =. Setzt man x = und x = in (I ein, so erhält man: x + = x + = x = : x = Lösung zu Aufgabe. b: x x x = Rechnung zu Aufgabe. a (I (II I (III 7 I (I II I : (II III I : (III II (I (II ( III II : (III (I II : (II (III Überflüssige Nullzeile Zurückübersetzt in Gleichungen mit Variablen ergibt sich: (I x +x +x = (II x +x = Die Zeile (II liefert x = x, die Variable x ist dabei unbestimmt. Man zeigt dies an, in dem man x := λ setzt. Damit ergibt sich: x = λ und x = λ. Setzt man dies in (I ein, so erhält man: x + ( λ +λ = x + λ +λ = x + λ = + λ x = + λ Die Lösungsmenge lautet also: + λ L = λ R : λ R λ = + λ R : λ R

5 Rechnung zu Aufgabe. b (I (II I (III I (I II I : (II III I : (III II (I (II III II : (III Unerfüllbare Zeile: = Übersetzt man die Zeile (III des letzten Gauss-Tableaus zurück, so lautet die Zeile x + x + x = bzw. =. Diese Zeile ist für keine Zahlen x, x, x erfüllbar, d.h. das Gleichungssystem hat keine Lösung. Die Lösungsmenge ist also die leere Menge (deren Symbol ist. Es gilt also L = bzw. L = { }. LGS aufstellen und lösen Lösung zu Aufgabe. Ein Punkt x, der sowohl auf der Geraden als auch auf der Ebene liegt muss beiden gegebenen Punkt-Richtungsformen genügen. Gleichsetzen deiser beiden Beschreibungen von x liefert: x = + λ = + µ + ν Umstellen der Gleichung liefert: λ µ ν = Liest man diese Gleichung zeilenweise aus erhält man das folgende lineare Gleichungssystem: λ µ + ν = λ µ ν = λ µ ν = Lösen des LGS liefert λ =, µ =, ν = und der Schnittpunkt ist Lösung zu Aufgabe. Wir haben f(x = ax + bx + cx + d und damit f (x = ax + bx + c f (x = 6ax + b. Da f( = folgt aus der ersten Gleichung d =. Weiter haben wir f( =, sowie f ( = und f ( =. Setzt man dies in die Gleichungen ein, erhält man a + b + c = a + b + c = 8a + b + =.

6 Wir müssen also das LGS mit A = Anwendung des Gauss-Verfahrens liefert Das Polynom f lautet demnach 8 und b = a = 7, b = 7, c = 7. f(x = 7 x 7 x + 7 x. lösen. Lösung zu Aufgabe. Sei x die Zeit in Minuten, zur Zeit x = sei es Uhr. m(x sei der Winkel, den der Minutenzeiger zurückgelegt hat, er startet bei m( = und pro Minute wächst der Winkel um 6, da die Stunde 6 Minuten hat und der Vollkreis 6. s(x sei der Winkel des Stundenzeigers, er startet mit s( =. Allerdings wächst der Winkel pro Minute nur um., da er in 6 Minuten bloß zurücklegt. Es gelten also m(x = 6x, s(x =.x +. Ist y der Winkel, bei dem sie sich treffen, so müssen x, y das LGS y = 6x y =.x +. erfüllen. Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten (das entspricht dem Gleichsetzungsverfahren bringt 6x =.x +, Auflösen ergibt x = = [min] min und sek. Lösung zur Zusatzaufgabe. Zunächst die Eigenwerte. Es gilt det(a xi = det(a xi ( ( = det A x ( ( x = det A x ( x = det x = x 7x +. Faktorisieren oder pq-formel liefert λ =, λ =. Sei v = ( v v ein Eigenvektor zu λ. Dann gilt A v = v. Ausgeschrieben bedeutet dies v + v = oder v = v. Wir können also ( v = ( v wählen. Analog folgt für den Eigenvektor v =, dass A v v = v und dies heißt ( v = v. Also können wir v = wählen. Damit gilt T = (. 6

7 Es folgt det(t = und nach der Formel für die inverse Matrix gilt T = (. Das ergibt D = T AT = ( ( ( = ( Die Matrix ist diagonal, auf der Diagonalen stehen die Eigenwerte von A. 7