Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung)

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1 Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung) Aufgabe (Anwendung der Chebyshev-Ungleichung) Sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = µ und var(x) = σ a) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Realisierung von X nicht mehr als k vom Erwartungswert abweicht, nach unten ab b) Angenommen, X sei gleichverteilt auf den natürlichen Zahlen von bis. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Realisierung von X um höchstens k vom Erwartungswert abweicht ( k = und k = 3 ). c) Vergleichen Sie die Ergebnisse von Teil a) und b). Lösung: Der übliche Ansatz nach Chebyshev ist: a) P( X - E(X) > k ) < var(x) var(x) k P( X - E(X) k) - k = - σ k b) E(X) = 5.5 = / P( X ) = P(X = 5) + P(X = 6) = /5 P( X ) = P(X = 5)+P(X = 6)+P(X = 7)+P(X = 8)+P(X = 4)+P(X = 3) = 3/5. c) var(x) = E(X ) - E(X) = = ( )/ - /4 = (77-65)/ = 65/ P( X - E(X) ) - σ = - 65/ = - 45/ ( eine triviale und wertlose Schranke ). P( X - E(X) 3) - σ / = - 65/8 = 5/8 = / ( eine Schranke weitaus schwächer als in b) )

2 Aufgabe (Anwendung der Chebyshev-Ungleichung) Schreiben Sie Chebyshevs Ungleichung hin und diskutieren Sie die Chebyshevsche Ungleichung am Beispiel der Gleichverteilung. Lösung Die Chebyschev-Ungleichung P( X - µ k) σ k liefert eine obere Schranke dafür, daß eine Realisierung von X außerhalb eines symmetrisch um E(X) gelegenen Intervalls liegt. Sei die stetige Gleichverteilung U(a,b) = U(, ) betrachtet mit E(X) = ab = b- a, var (X) = = Sei für die Chebyshevsche Abschätzung k= /4, dann gilt P X- > (eine ganz wertlose obere Schranke) P X- Tatsächlich ist aber > 4 = Für k = folgt aus der Chebyshevschen Abschätzung P X- > σ =, während für die tatsächliche Abweichung gilt: P X- > =.

3 Aufgabe 3 (Transformation einer Gleichverteilung) Sei X stetig gleichverteilt über (, ); bestimmen Sie die Dichtefunktion von Y:= e X Für welche empirischen Sachverhalte könnte eine solche Verteilung zutreffen? Lösung X~U(, ) mit Verteilungsfunktion F(x) = {, x (-,] x, x (,), x [, ) Sei x (, ) F(x) = P(X x) = x (Monotonie von e x ) P(e X e x ) = x P(Y e x ) = x (mit der Transformation e x =: y oder x = logy) F(y) = PY y) = log y 3 Dichtefunktion f(y) = F'(y) = y Der neue Definitionsbereich (aus der Monotonie des Logarithmus): x, x = logy (Monotonie des Logarithmus) y e P(Y y) = P(e x y) = P(X logy) = F(logy) = logy = G(y) g(y) = { y für y e sonst Es wird ausschließlich von der Definition einer Verteilung und der speziellen Gleichverteilung Gebrauch gemacht.

4 4 Aufgabe 4 Die diskrete Zufallsvariable X n (n ) nehme die Realisationen, n -, n -..., n - n -, mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit P(X n = ) = P(X n = n - ) =... = P(X n = ) = n an. a) Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F und zeichnen Sie F sowie die Wahrscheinlichkeitsfunktion f für X, X 3, X 4 und X. b) Welche Realisationswahrscheinlichkeiten und welche Verteilungfunktion ergeben sich für n? c) Ermitteln Sie zu dieser Verteilungsfunktion eine Dichte. Lösungsskizze n a) F(x) = n x< x< n- n- x< n- n- n n- n x< x b) Für n : P(X = x), fallen alle Stufen der Treppenfunktion der Verteilung auf die Diagonale, so daß im Grenzübergang gilt: { x< F(x) x x <x Die diskrete Gleichverteilung geht (optisch) über zu der stetigen Gleichverteilung, aber tatsächlich bleibt es eine unstetige Funktion, wie die Bilder verdeutlichen, s.u. c) F ist differenzierbar für x, x. Dort gilt: F'(x) { <x< x< oder <x

5 5 Zeichnungen für n=3,,7 sind z.b.: n=3: x S Häufigkeiten: n=: x S Häufigkeiten: n=7:

6 Aufgabe 5 (zu Mittelwert und Varianz) Eine Zufallsvariable X nimmt die drei Werte, und 3 mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit p an. Bestimmen Sie allgemein: a) den Erwartungswert E(X) und b) die Varianz var(x); c) geben Sie die numerischen Werte von E(X) und var(x) an. Lösung: p=/3; E(X) = (++3)/3 = ; var(x) = (-) p + (-) p +(3-) p = p = /3 Ganz ähnlich ist die folgende Aufgabe zu einer Nicht-Gleichverteilung: 6 Aufgabe 5 Eine Zufallsvariable X nimmt die drei Werte -, und + mit den Wahrscheinlichkeiten p, p und p 3 an. Bestimmen Sie a) den Erwartungswert E(X) und b) die Varianz var(x). c) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit den Zahlenwerten p = p 3 =.5, p =.5 Lösung: a) E(X) = - p + p 3 =: -q b) var(x) = (- + p - p 3 ) p +(p - p 3 ) p + ( + p - p 3 ) p 3 = (- + q) p +q p + ( + q) p 3 a) Falls q=, d.h. E(X) = ; var(x) = p + p 3 ; aus Symmetriegründen folgt E(X) = sofort, dann ist die Varianz auch klar. Aufgabe 6 Eine Zufallsvariable X sei gleichverteilt X~U(,). Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz für X n, n=,,3,.... Die Lösung folgt aus den Definitionen: E(X n ) = x n dx = xn+ n+ var(x n ) = E(X n ) - E(X n ) = x n dx -[ x n dx ] = xn+ n+ - xn+ (n+)

7 Aufgabe 7 (zur Schätzung) a) Sei X diskret gleichverteilt auf den Werten,..., N b) Sei X stetig gleichverteilt auf dem Intervall [, b], wobei < b ist. Berechnen Sie nach der Maximum-Likelihood-Methode einen Schätzer für N bzw. b, wenn eine einfache Stichprobe vom Umfang n gezogen wird. Lösung fallsx {,..., N} N a) f(x) = sonst n L(N) = f(x i )= n Π unter der Voraussetzung, daß x N i {,..., n} i i= L(N) fällt streng monoton, Ableitung: -n n+ < N Je kleiner N, desto größer L(N). Für N<x i ist f(x i ) = und damit L(N) =. Also muß gelten x i N i. Der ML-Schätzer ist daher: N = max x i für x b b b) f(x) = sonst L(b) = b n, analog zu a) gilt: je kleiner b, desto größer L(b), also: b = max x i 7

8 Aufgabe 7 (zur Schätzung) Sei X eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion < x <b f(x) = b sonst Formulierung : Bestimmen Sie zu einer Zufallsstichprobe von nur einer Beobachtung den Maximum- Likelihood-Schätzer sowie den Momentenschätzer für b und überprüfen Sie beide im Hinblick auf Erwartungstreue. 8 Eine andere Formulierung ist: Sei die Stichprobe eine einzige Beobachtung. Entscheiden Sie sich für eine Methode zur Schätzung von b und begründen Sie Ihre Entscheidung im Hinblick auf Erwartungstreue und Effizienz. Eine dritte Formulierung ist: Eine Stichprobe soll aus einer (stetig) gleichverteilten Grundgesamtheit kommen d.h. P(X) = B, <X<B Bestimmen Sie die Maximum Likelihood Schätzfunktion für B, nämlich B sowie E(B) und var(b) Lösung Für beide Schätzer wird der Erwartungwert benötigt: E(X) = b b xdx = b b x = b ML - Schätzer: X max = X = b, E(X) = b b verzerrt Momentenschätzer: X =! E(X) = b b = X E b = E X = E X = b = b unverzerrt

9 Aufgabe 8 (zur Wartezeitbestimmung) Was ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Beobachtungen von einer auf [,] gleichverteilten Zufallsvariablen um nicht mehr als.5 differieren. a) Bestimmen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe einer Graphik genau. b) Bestimmen Sie eine untere Schranke für die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Lösung Zu a) Die Wahrscheinlichkeit einer Differenz größer als / wird durch die schraffierten Flächen der Abbildung gegeben: X Daher gilt: P( X - X.5) =.75 Zu b) Differenz Y := X - X mit E(Y) =, var(y) =, wird durch Chebyshevs 6 Ungleichung abgeschätzt: P( Y -.5) - var(y) k n = - 3 = 3 Eine Verallgemeinerung ist die folgende Aufgabe, die ebenfalls im wesentlichen graphisch gelöst wird: X

10 Aufgabe 8 Ein Mann und eine Frau verabreden sich für.3 Uhr in einem Lokal. Die Ankunftszeit des Mannes ist gleichverteilt zwischen.5 Uhr und.45 Uhr, die Ankunftszeit der Frau ist gleichverteilt zwischen. Uhr und 3. Uhr. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß niemand länger als 5 Minuten auf den jeweils anderen warten muß. Lösung X~U(, 6) Ankunftszeit der Frau; Y~U(5, 45) Ankunftszeit des Mannes Y X a) gemeinsame Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Frau höchstens 5 Minuten nach dem Mann ankommt b) gemeinsame Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Mann höchstens 5 Minuten nach der Frau kommt Da beide Flächen gleich groß sind und einander nicht überschneiden, genügt es, eine der beiden zu berechnen: P( X - Y 5) = P(X - Y 5) + P(Y - X 5) = P(X - Y 5) = 3 = (45-5) y = 6 y+5 dxdy = 45 y+5 [ dx]dy= y x y y+5 dy = 45 5dy = 5 5 y 45 5

11 Aufgabe (zur e-konstanten) Seien {X, X, X n } identisch gleichverteilte Zufallsvariable X k ~ U(a, b) = U(, ) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten a)p n = P[S n <] Ereignis {Die Summe von n Variablen ist kleiner als } b)f n = P[S n- < und S n >] Ereignis {Die Summe von n Variablen ist größer als } [the probbility of first passage)] c) q n = P[n = N und S n- < und S n >] (Zählgrößendichte) d)e[n] = e (Eulersche Konstante) Lösung: p n = P[S n <] = n! (Beweis: anhand der Konstruktion eines Ereignisbaums n= ein Überschreiten der Eins ist unmöglich da U(,), d.h. p =.Für n = kommen zwei Möglichkeiten hinzu, usw.; aus der Unabhängigkeit folgt dann n=, S < n=, S > S < n=3, S 3 > n=4,s 4 > S 3 > S 4 > S 3 < S 4 > S 4 < q n = P[n = N und S n- < und S n > = n n! n(n ) E[N] = Σ = n! Σ = (n )! Σ n! n= n= n= = e, da e = NB : Man beachte den naheliegenden Fehlschluß E[N] =, e, obwohl E[X] = NB : Der Zusammenhang zwischen der Zufallsvariablen, die summiert wird und Zufallsvariable Zahl der Summanden tritt auch in anderem Kontext auf, z.b. Poissonund Exponential-Verteilung, siehe außerdem die Theorie der stochastischen Prozesse Σ n= n!

12 Aufgabe (χ -Anpassungstest) Ein Zufallsgenerator erzeugt Ziffern,,,...,. Überprüfen Sie zum Signifikanzniveau α =. die Hypothesen H : "die generierten Ziffern entstammen einer Gleichverteilung" gegen H : "nicht H " anhand der folgenden unabhängigen Stichprobe, die in der Tabelle zusammengefaßt ist: Ziffer Häufigkeit Lösung: n= ; X= generierte Ziffer H : x ~ U(,) d.h, auf {,,...,} gegen H : nicht H Gefragt ist, ob eine signifikante Abweichung der beobachteten Häufigkeiten b i von den erwarteten Häufigkeiten e i, die jeweils. sind vorliegt. Ein χ -Test liefert die gesuchte Entscheidung: d H k Σ i= (n i np i ) np i >k mit -α=.= χ k χ emp = < 6 < k d=h (k)= χ (k) k=.7; npi = Aufgabe (Mittelwerte der - Gleichverteilung) Zeigen Sie, daß der n-te Mittelwert der - Gleichverteilung E(X n ) = n + Beweis: Der Beweis erfolgt durch direkte Integration: µ k = E(X k ) = x k dx = xk+ =, k=,, 3, k + k + Ein rekursives Bildungsgesetz ist n µ n = µ n- n +, n=,, 3,, µ = Für die Varianz folgt das bekannte Ergebnis: var(x) = E(X ) - E(X) = 3 4 =