Übungen mit dem Applet erwartungstreu

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1 Übuge mit dem Applet erwartugstreu Visualisierug vo erwartugstreu Begriffe ud statischer Hitergrud. Visualisieruge mit dem Applet..3. Zufallsstreuug der Eizelwerte...3. Mittelwerte 3.3 Variaz. 4.4 Variaz (/) 4.5 Stadardabweichug. 5 Fachhochschule Seite Aale

2 Begriffe ud statistischer Hitergrud Visualisierug vo erwartugstreu Stichprobeergebisse x i uterliege der Zufallsstreuug, daher streue auch Kewerte, die aus de Stichprobeergebisse berechet werde. Der Stichprobemittelwert x = x i ist ei erwartugstreuer Schätzwert für de Mittelwert µ der Verteilug. Dies bedeutet, dass der Mittelwert der Mittelwerte vieler Stichprobe sich immer mehr dem wahre Mittelwert µ aähert. Die Stichprobevariaz s = (xi x) ist ei erwartugstreuer Schätzwert für die Variaz der Verteilug. Dies bedeutet, dass der Mittelwert der Variaze vieler Stichprobe sich immer mehr der wahre Variaz σ aähert. Beim Vergleich der Formel für Mittelwert ud Variaz fällt auf, dass bei der Variaz die Summe über quadrierte Abweichuge durch geteilt wird, icht durch die Azahl der Summade. Nur so erhält ma eie erwartugstreue Schätzwert. Die Variaz der Populatio oder Variaz (/) i = (xi x) ist kei erwartugstreuer Schätzwert für = die Variaz σ der Verteilug. Der Mittelwert der Variaze (/) vieler Stichprobe ähert sich immer mehr dem Wert σ. Noch überrascheder ist, dass s = s = (xi x) kei erwartugstreuer Schätzwert für die Stadardabweichug σ = σ der Verteilug ist. Der Mittelwert der Stadardabweichuge vieler Stichprobe ähert sich immer mehr dem Wert a σ a, wobei a < vom Stichprobeumfag abhägt. Es gilt z.b. a =0,798, a 3 =0,886 ud a 4 =0,9. Mit zuehmedem uterscheidet sich a immer weiger vo, z.b. a 0 =0,973, a 0 =0,987 ud a 50 =0,995. Da die Stadardabweichug kei erwartugstreuer Schätzwert ist, wird bei der Zusammefassug mehrerer Stichprobe immer über die Variaze gemittelt ud icht über die Stadardabweichuge. Fachhochschule Seite Aale

3 Visualisierug vo erwartugstreu Mit dem Applet werde viele Stichprobe aus derselbe Grudgesamtheit gezoge. Der Umfag der Stichprobe ud dere Azahl werde vorgegebe. Die grafische Darstelluge solle zeige, dass die Stichprobeergebisse streue Mittelwerte weiger streue als Eizelwerte (um de Faktor / ) die Verteilug der Eizelwerte, Mittelwerte, Variaze ud Stadardabweichuge über viele Stichprobe berechet werde ka Mittelwert ud Variaz erwartugstreue Schätzwerte sid, Variaz (/) ud Stadardabweichug aber icht. Visualisieruge mit dem Applet. Zufallsstreuug der Eizelwerte Wähle Sie de Reiter Werte i der Grafik. Gebe Sie mit eie beliebige Mittelwert ud eie Stadardabweichug>0 vor. Wähle Sie eie große Wert (z.b. 000 oder 5000) für die Azahl Stichprobe ud experimetiere Sie mit verschiedee Werte für (Stichprobeumfag z.b. 4 ud 0). Starte Sie für jede Eistellug die Simulatio mehrmals mit ud beobachte Sie Für jede Simulatio erhält ma adere Werte (=Zufallsstreuug), aber die Verteilug der Eizelwerte (Histogramm) stimmt äherugsweise mit der vorgegebee Verteilug (Glockekurve) überei. Die Verteilug der Eizelwerte (Histogramm) ist uabhägig vom Stichprobeumfag, mit zuehmedem Stichprobeumfag erhält ma ur mehr Eizelwerte, sie liege daher dichter. Der Mittelwert bestimmt die Lage des Maximums, die Stadardabweichug die Breite der Verteilug (auf die Skalierug achte, sie wird automatisch agepasst). Mittelwerte Wähle Sie de Reiter Mittelwerte i der Grafik, Simulatioe wie i.. Beobachte Sie i der obere Grafik: Die Form der Verteilug der Mittelwerte x ist wieder eie Normalverteilug (Glockekurve), die Verteilug ist jedoch um de Faktor / schmäler als bei de Eizelwerte: Zufällige Abweichuge der Eizelwerte gleiche sich zum Teil aus. Fachhochschule Seite 3 Aale

4 Visualisierug vo erwartugstreu Die Form der Verteilug der Mittelwerte (Histogramm) ka vorausberechet werde (Glockekurve). Obwohl Eizelwerte icht vorausgesagt werde köe, erhält ma isgesamt berechebare Ergebisse: Die Gesetze des Zufalls sid bekat. Die utere Grafik zeigt jeweils de Mittelwert über die Mittelwerte aller Messreihe (Stichprobe) bis zur betrachtete Stelle (d.h. der. Pukt stimmt mit dem. Pukt der obere Grafik überei (aber adere Skalierug), der. Pukt ist der Mittelwert der erste beide Pukte der obere Grafik,, der 000. Pukt ist der Mittelwert der erste 000 Pukte der obere Grafik). So ka ma das Verhalte des Mittelwerts über die Mittelwerte vieler Stichprobe grafisch ablese. Dieser Mittelwert verädert sich immer weiger ud ähert sich dem vorgegebee Mittelwert µ. Dieses Verhalte bedeutet: Der Mittelwert x ist ei erwartugstreuer Schätzwert für µ..3 Variaz Wähle Sie de Reiter Variaze i der Grafik, Simulatioe wie i.. Beobachte Sie: Obere Grafik: Die Form der Verteilug der Variaze s ist schief (bis auf die Skalierug der Achse ist es die χ -Verteilug). Keie Werte <0 trete auf. Je größer ist, desto schmäler ud symmetrischer ist die Verteilug. Bei eier große Stichprobe streut die Variaz weiger als bei eier kleie Stichprobe. Die utere Grafik zeigt jeweils de Mittelwert über die Variaze aller Stichprobe bis zur betrachtete Stelle (d.h. der. Pukt stimmt mit dem. Pukt der obere Grafik überei, der. Pukt ist der Mittelwert der erste beide Pukte der obere Grafik,, der 000. Pukt ist der Mittelwert der erste 000 Pukte der obere Grafik). Auch hier verädert sich der Mittelwert immer weiger ud ähert sich der vorgegebee Variaz σ. Die Variaz s ist ei erwartugstreuer Schätzwert für σ..4 Variaz (/) Wähle Sie de Reiter Variaze (/) i der Grafik, Simulatioe wie i.. Beobachte Sie: Obere Grafik: Die Form der Verteilug der Variaze ist schief (bis auf die Skalierug der Achse ist es die χ -Verteilug). Keie Werte <0 trete auf. Je größer Fachhochschule Seite 4 Aale

5 Visualisierug vo erwartugstreu ist, desto schmäler ud symmetrischer ist die Verteilug. Bei eier große Stichprobe streut die Variaz weiger als bei eier kleie Stichprobe. Die utere Grafik zeigt wie i.3 beschriebe jeweils de Mittelwert über die Variaze aller Stichprobe bis zur betrachtete Stelle. Auch hier verädert sich der Mittelwert immer weiger. Im Gegesatz zu.3 ähert er sich aber icht der vorgegebee Variaz σ, soder dem zu kleie Wert σ. Der systematische Fehler ist umso größer, je kleier ist. Die Variaz (/) ist kei erwartugstreuer Schätzwert für σ..5 Stadardabweichug Wähle Sie de Reiter Stadardabweichuge i der Grafik, Simulatioe wie i.. Beobachte Sie: Obere Grafik: Die Form der Verteilug der Stadardabweichuge ist eie schiefe Verteilug, sie ist aber symmetrischer als die Verteilug der Variaze. Aber auch hier wird die Verteilug mit zuehmedem schmäler ud symmetrischer. Bei eier große Stichprobe streut die Stadardabweichug weiger als bei eier kleie Stichprobe. Die utere Grafik zeigt wie i.3 beschriebe jeweils de Mittelwert über die Stadardabweichuge aller Stichprobe bis zur betrachtete Stelle. Auch hier verädert sich der Mittelwert immer weiger. Im Gegesatz zu.3 ähert er sich aber icht der vorgegebee Stadardabweichug σ, soder dem zu kleie Wert a σ. Die Abweichug vo σ ist umso größer, je kleier ist. Die Stadardabweichug ist kei erwartugstreuer Schätzwert für σ. Bei der Mittelug vo Stadardabweichuge wirke sich große Werte weiger aus als bei der Variaz, dadurch erhält ma im Mittel eie um de Faktor a zu kleie Wert. Fachhochschule Seite 5 Aale