Digitale Signalverarbeitung Bernd Edler

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1 Digitale Signalverarbeitung Bernd Edler Wintersemester 2008/2009 Wesentliche Inhalte der Vorlesung Abtastung z-transformation Lineare zeitinvariante Systeme Diskrete Fouriertransformation Systeme bei stochastischer Anregung Filterentwurf 1

2 Vorkenntnisse Fouriertransformation, Laplace-Transformation Lineare, zeitkontinuierliche Systeme Faltung Stochastische Prozesse (Grundlagen) 2

3 Einführung A/D Wandlung Signal verarbeitung D/A Wandlung Analogsignal Digitalsignal Verarbeitung analoger Signale in einer Digitalschaltung Anwendungsbeispiele Filterung Störunterdrückung Kanalentzerrung 3

4 Einführung Analogsignal A/D Wandlung Signal verarbeitung Parameter Signalanalyse mit einer Digitalschaltung Anwendungsbeispiele Digitale Messtechnik Codierung Bildinterpretation Spracherkennung Klassifizierung Digitale Demodulation 4

5 Einführung Parameter Signal verarbeitung D/A Wandlung Analogsignal Signalsynthese mit einer Digitalschaltung Anwendungsbeispiele Decodierung Computergrafik Sprachsynthese Musiksynthese Digitale Modulation 5

6 Analog-Digital-Wandlung Analogsignal A/D Wandlung Digitalsignal Analog-Digital-Wandler Schritte der Analog-Digital-Wandlung Abtastung: Zeit-Diskretisierung Quantisierung: Wert-Diskretisierung Nachrichtenverarbeitung, Quellencodierung 6

7 Abtastung und Quantisierung Amplitude Zeit Dualcode

8 Zeit- und Amplitudendiskretisierung zeitkontinuierlich zeitdiskret amplitudendiskret amplitudenkontinuierlich 8

9 Zeitdiskretes Signal: Abtastung Folge von Zahlenwerten, die gleich den Amplitudenwerten eines kontinuierlichen Signals zu den Abtastzeitpunkten t n, n Z sind. Beispiel: Zeitkontinuierliches Signal x C (t) zeitdiskretes Signal x D (n) = x C (t n ) repräsentiert eine Impulsfolge x R (t) mit: x R (t) = x D (n)δ(t t n ) = x C (t) n= n= δ(t t n ) Hier: Beschränkung auf periodische Abtastung: t n = nt 9

10 Periodische Abtastung Abtastintervall T Maximale eindeutig darstellbare Frequenz hängt von der Abtastfrequenz f s = 1/T ab t 10

11 Mehrdeutigkeit bei periodischer Abtastung f 1 = 0, 4f s, f 2 = 0, 6f s 11

12 Mehrdeutigkeit bei periodischer Abtastung f 1 = 0, 1f s, f 2 = 0, 9f s 12

13 Periodische Abtastung Mathematische Beschreibung Repräsentation durch Multiplikation mit periodischer Impulsfolge p(t) = δ(t nt ) n= x R (t) = x C (t)p(t) Fouriertransformierte: P (jω) = p(t)e jωt dt = 2π T k= X R (jω) = 1 2π X C(jΩ) P (jω) = 1 T mit Abtastkreisfrequenz Ω s = 2π T ( δ Ω k 2π T k= ) ) X C (j(ω kω s ) 13

14 Periodische Abtastung - Spektrum X R 1 T X C(jΩ) 2Ω s Ω s 0 Ω s 2Ω s Ω Periodische Wiederholung des Eingangsspektrums durch Abtastung 14

15 Periodische Abtastung - Spektrum X R 1 T X C(jΩ) 3Ω s 2Ω s Ω s Ω s 0 2Ω s 3Ω s Ω Periodische Wiederholung des Eingangsspektrums durch Abtastung Dem ursprünglichen Signalspektrum X C (jω) ist Aliasing überlagert 15

16 Periodische Abtastung - Spektrum Beispiel Sinuston mit Kreisfrequenz Ω 0 : x C (t) = cos(ω 0 t) X C (jω) = πδ(ω Ω 0 ) + πδ(ω + Ω 0 ) X R (jω) = π [ ] δ(ω Ω 0 kω s ) + δ(ω + Ω 0 kω s ) T k= Hörbeispiel: Sinus-Sweep Abtastfrequenz Hz Hz Hz Sinuston F F F 16

17 Abtasttheorem Annahme: x C ist bandbegrenzt mit X C (jω) = 0 für Ω > Ω N x C kann aus den Abtastwerten x D (n) = x C (nt ) rekonstruiert werden, wenn Ω s = 2π T 2Ω N Begriffe: Ω N : Nyquist-Frequenz 2Ω N : Nyquist-Rate 17

18 Rekonstruktion eines Signals aus Abtastwerten zu rekonstruierendes Signal x C Impulsfolge x R Rekonstruiertes Signal Problem: Interpolation der Zwischenwerte t 18

19 Rekonstruktion eines Signals aus Abtastwerten X R 1 T X C(jΩ) 2Ω s Ω s Ω N 0 Ω N Ω s 2Ω s Ω Rekonstruiertes Spektrum bei Abtastung mit Nyquist-Rate Problem: periodische Wiederholung des Spektrums Lösung: Tiefpass-Filterung 19

20 Rekonstruktion eines Signals aus Abtastwerten X R H R (jω) 2Ω s Ω s Ω N Forderung: H R (jω) = h R (t) = T sin Ω Nt πt 0 Ω N Ω s 2Ω s Ω T für Ω Ω N mit Ω N = Ω s 2 = π T 0 sonst = sin π t T π t T 20

21 Rekonstruktion eines Signals aus Abtastwerten Rekonstruiertes zeitkontinuierliches Signal: X C(jΩ) = H R (jω)x R (jω) Im Zeitbereich: x C(t) = h R (t) x R (t) = h R (t) = = n= n= n= x D (n)h R (t) δ(t nt ) = x D (n) sin π( t T n) π( t T n) x D (n)δ(t nt ) n= x D (n)h R (t nt ) 21

22 Rekonstruktion eines Signals aus Abtastwerten 22

23 Abtastung Probleme bei der praktischen Realisierung es gibt keine bandbegrenzten Signale das Interpolationsfilter ist unendlich lang und nicht-kausal Toleranzen analoger Bauelemente keine beliebig kurze Impulsdauer, z.b. Faltung mit Rechteckimpuls p D (t) im Frequenzbereich Multiplikation mit 2 sin DΩ Ω 23

24 Aliasing in Bildsignalen - Original 24

25 Abtastrate in jeder Dimension um Faktor 4 reduziert 25

26 Faktor 4 mit Rechteckfilter nach Reduktion 26

27 Faktor 4 mit Filterung vor und nach Reduktion 27

28 Faktor 4 mit stärkerer Filterung vor und nach Reduktion 28

29 Originalfoto 29 Laboratorium fur Informationstechnologie

30 Abtastrate in jeder Dimension um Faktor 4 reduziert 30

31 Faktor 4 mit Rechteckfilter nach Reduktion 31

32 Faktor 4 mit Filterung vor und nach Reduktion 32 Laboratorium fur Informationstechnologie

33 Faktor 4 mit starkerer Filterung vor und nach Reduktion 33 Laboratorium fur Informationstechnologie

34 z-transformation Laplace-Transformation einer kausalen Zeitfunktion X(s) = 0 x(t)e st dt mit s = σ + jω Laplace-Transformation einer abgetasteten, kausalen Zeitfunktion X R (s) = x r (t)e st dt mit x R (t) = x D (n)δ(t nt ) 0 X R (s) = x D (n)e st n = n=0 n=0 Einsetzen von z = e st : X R (z) = n=0 x D (n)e st n x D (n)z n n=0 34

35 z-transformation z-transformation einer kausalen Folge: X(z) = Bezug zur Fouriertransformation: Laplace-Transformation mit s = jω z-transformation mit z = e jωt n=0 x(n)z n Einführung einer normierten Kreisfrequenz ω = ΩT = 2π Ω Ω s 35

4.2 Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher

4.2 Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher 7 4 Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale und Systeme nicht auf [, ] zeitbegrenzt ist. Es kommt daher zu einer Überlappung der periodischen Fortsetzungen. Für die Herleitung der Poissonschen Summenformel

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