Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe Zeichne die Tangenten bei x=6 und bei x = 4 ein und bestimme die zugehörige Geradengleichung.

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1 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe Zeichne die Tangenten bei x=6 und bei x = 4 ein und bestimme die zugehörige Geradengleichung. 2. Bestimme f (x): a) f(x) = x 3 + 4x 2 x + 1 b) f(x) = (x 3) (x+6) c) f a (t) = a 2 t + a 3. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = 3x 4 + 2x 7 im Punkt P( 2 f(2)). 4. Betrachte den Graphen zu f(x) rechts. Gib die Bereiche an, in denen die Ableitung f (x) positiv bzw. negativ ist. 5. Die Funktion f(t) = 3x 2 + 4x gibt die Wassermenge in einem Tank in m 3 an, t ist die Zeit in Stunden. Berechne f(4) und f (4) und gib die Bedeutung im Sachzusammenhang wieder. 6a) f(x) = 0,2x 3 +3x gibt die zurückgelegte Strecke (in km) in Abhängigkeit von der Zeit (in h) an. Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit in den ersten 5 Stunden. b) Berechne die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt x = 5. 7a) Berechne Nullstellen, Extrempunkte und Monotonieverhalten von f(x) = x 3 + 4x 2 9x 36.

2 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe Lösungen 1. Um die Gleichungen zu berechnen, braucht man die Gleichung der Funktion. Wenn man von einer gestreckten Normalparabel ausgeht, könnte die Gleichung f(x) = 0,1x 2 lauten. Die Wertetabelle stimmt mit dem Graphen überein. x f(x) 0,1 0,4 0,9 1,6 2,5 3,6 4,9 6,4 8,1 Tangente bei x = 6: t(x) = 1,2x 3,6 Tangente bei x = 4: t(x) = 0,8x 1,6 2a) f (x) 3x 2 + 8x 1 b) f(x) = x 2 +3x 18; f (x) = 2x+2 ) f a (t) = -a 2 3) y=mx+n; f(2) = 51; f (x) = 12x 3 +2; m=f (2)= = n n = 137; y = 94x a) f (x) <0 für < x < -1 und für 2 < x < 8; f (x) > 0 für 1 < x < 2 und für 8 < x 5) f(4) = 64 Nach 4 Stunden sind 64 m 3 im Tank; f (x) = 6x+4; f (4)= 28; am Ende der 4. Stunde fließt das Wasser mit 28 m 3 /h zu. 6a) [f(5) f(0)]:(5 0) = 50:5 = 10 [km/h] b) f (x) = 0,6x 2 +6x ; f (5)= 15 [km/h]. 7a) f(x)=0 x = -4 v x = 3 v x = 3 ; f (x) = 3x 2 +8x-9=0 x 0,85 v x -3,52 x -4 3,52 0 0,85 1 f (x) f ist streng monoton steigend in den Intervallen ]- ; 3,52] und [0,85; [ f ist streng monoton fallend im Intervall ] 3,52; 0,85] f hat bei x 3,52 ein lokales Maximum und bei x 0,85 ein lokales Minimum Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 2 Abgabe Ermittle die Gleichung der Tangente von f(x) = 0,5x 3 x an der Stelle x 0 = In welchem Punkt des Graphen von f(x) = x 2 2 ist die Tangente parallel zu y= 5x 2? 3a) Berechne die Nullstellen von f und f. b) Bestimme rechnerisch das Monotonieverhalten (Monotonietabelle) von f(x) = x x 6x 3 c) Skizziere den Graphen von f mit Hilfe des GTR. d) Berechne die Extrempunkte (auch den y Wert) e) Berechne f(2), f (2) und die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall [2; 5] f) Löse f(x) = 2 und f (x) = 2 g) Angenommen, f gibt den Kontostand eine Kontos (in ) in Abhängigkeit von der Zeit (in Wochen) wieder. Welche Fragen werden dann mit den Aufgaben aus d), e) und f) beantwortet? 4. Bestimme die Ableitung zu f(x) = a) f(x) = 3x x 3 b) f(x) = x x 4x 8 c) f a (t) = at 2 + at +a d) f(x) = (2x 4) 2 4 3

3 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 2 Abgabe Lösungen 1. y = mx+n; f (x)= 1,5x 2 1; m= f ( 1)= 0,5; P( 1 f( 1)=0,5) einsetzen n= 1; y = 0,5x m=5; f (x) = 2x = 5 x = -2,5 Im Punkt (-2,5 f(-2,5)= 8,25) 3a) f(x)=0 x 1,46 v x 0 v x 4,12 ; f (x)= 4x 3-8x 2-12x=0 x=-1 v x=0 v x= 3 b) c) d) x , f (x) , Verlauf fallend waagerecht steigend waagerecht fallend waagerecht steigend von f besondere Punkte Tiefpunkt Hochpunkt T 1 ( H(0 0) ) e) f(2) = 29 1 f(5) f(2) ; f (2) = -24; = , f) f(x)=2 x x 6x =2 x 1,59 v x 4,14 3 f (x)= 4x 3-8x 2-12x =2 x -0,85 v x -0,19 v x 3,04 Tiefpunkt T 2 (3-45) g) Wann war zeitweise der tiefste bzw. höchste Kontostand erreicht und wie hoch war er? (1 Woche vor Zeitpunkt 0 war der Kontostand mit 2,33 zeitweise am niedrigsten. Zum Zeitpunkt 0 war der Kontostand mit 0 zeitweise am höchsten. 3 Wochen nach dem Zeitpunkt 0 war der Kontostand mit 45,00 zeitweise am niedrigsten.) Wie hoch ist der Kontostand nach 2 Wochen in? Wie stark (in /Woche) ändert sich der Kontostand am Ende der 2. Woche? Um wie viel /Woche änderte sich das Konto durchschnittlich von der 2. bis zur 5. Woche? Wann betrug der Kontostand 2 Euro? (1,59 Wochen vor und 4,14 Wochen nach Zeitpunkt 0. Wann betrug die momentane Änderungsrate des Kontos 2 /Woche? 4 a) f (x) = 6x +4 b) f (x) = x x 4 c) f a (t) = 2at + a d) f(x) = 4x 2 16x+16; f (x)=8x

4 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 3 Abgabe (Die Aufgaben 2b), 3b) brauchen nicht bearbeitet zu werden.)

5 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 3 Abgabe Lösungen 1a) Um etwa 18 Uhr (t=8) liegt die Besucherzahl mit 400 Besuchern am höchsten a) Inhalt des Rechtecks: A(u) = u v = u f(u) = u u 4,5 6 = 3 1 u 4,5u b) A (u) = u 4,5 = 0 u 2 = 9 u=3, da u 0. A (0)=4,5; A (4)= 3,5 2 VZW von A bei u = 3 von + nach Maximum. Die Funktion A(u) hat bei H(3 A(3)=9) ein Maximum, d. h. für u=3 erhält man das größte Rechteck mit einem Flächeninhalt von 9 FE. 3a) f(t) = 0,04t 3 +1,3t 2 12,3t +38,4; t [7; 18] f (t) = 0,12t 2 + 2,62t 12,3=0 t = 15 [v t = <7] f (10) = 1,9; f (16) = 1,1 VZW von f bei t= 15 von + nach lokales Maximum. H(15 13,65); f(7) = 2,77; f(18) = 8,16 Die höchste Temperatur wird mit 13,65 um 15 Uhr erreicht, die niedrigste um 7 Uhr mit 2,77. 4a) f 1 (t) hat einen Hochpunkt an der Stelle x= 13. Damit steigt die Funktion für x<13 und damit im gesamten Intervall [0; 12]. Der Umsatz nimmt im gesamten Beobachtungszeitraum zu.

6 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 4 Extremstellen Abgabe Berechne zu den 4 Funktionen die Hoch, Tief, Sattelpunkte. Funktion f(x) = x 3 3x Ableitung f (x) f (x)=0 Untersuchung auf VZW von f x f (x) Hoch, Tief, Sattelpunkte x 3 2x 5 x f (x) 1 4 x4 2 3 x3 3 2 x2 x f (x) 1 4 x4 2 3 x3 3 2 x2 x f (x)

7 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 4 Abgabe Lösungen Funktion f(x) = Ableitung f (x) x 3 3x 3x 2 3 f (x)=0 Untersuchung auf VZW von f x=1 v x= 1 x f (x) Max. Min. Hoch, Tief, Sattelpunkte H( 1 f( 1)=2) T(1 f(1)= 2) x 3 2x 5 3x 2 2 x =± 2 3 ± 0,82 x f (x) Max. Min. H( 0,82 3,91) T( 0,82 6,09) 1 4 x4 2 3 x3 3 2 x2 x 3 2x 2 3x x= 1 v x = 0 v x = x4 +x 3 4 x 3 + 3x 2 x = 0 v x = 3 x 2 1 0,5 0 1 f (x) , Min. Max. x f (x) Sattelp. Max. T 1 ( ,58) H(0 0) T 2 (3 11,25) H(3 2,75) S(0 4)

8 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 5 Abgabe Beantworte folgende Fragen: 1. Gegeben ist die Funktion f(t) = 2t t t + 5 a) Löse die Gleichung f (x) = 0 b) Berechne (f(0,7) f(0,3)):0,4. c) Berechne f (2) d) Löse die Gleichung f (x) = Angenommen, die Funktion f(t) aus Aufgabe 1 gibt zu jedem Zeitpunkt t (in h; t=0 um 8 Uhr) die Strecke an (in km), die ein Auto zurückgelegt hat (Zeit in Sekunden). Erläutere die Lösungen aus a) c) im Sachzusammenhang (achte auf die richtigen Einheiten). 3. Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [4; 9]? 4. Bilde die Ableitung von f (x): a) f(x) = 3x 4 b) f(x) = 4x 2 6x + 7 c) f(x) = 2a 3 x ax d) f(x)= 3x 4 e) f(x)= 7 5. Wie berechnet man die Steigung einer Funktion f(x) an der Stelle 5? 6. Eine Funktion f(t) gibt das Volumen eines Tanks (in m 3 ) in Abhängigkeit von der Zeit (in Minuten) an. Erläutere im Sachzusammenhang (achte auf die richtigen Einheiten): a) f (7)? b) f(7)? c) die Lösung der Gleichung f (x) = 7? d) die Steigung der Sekanten durch die Punkte bei t=5 und t = 12? e) die Lösung der Gleichung f (x)=0 für den Graphen von f? f) die mittlere Änderungsrate über dem Intervall [2; 9]? g) die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t=6? h) die Steigung der Tangente an der Stelle t = 12? 7. Berechne zu der Funktion aus Aufgabe 1 die Tangente bei x = 0.

9 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 5 Abgabe Lösungen 1. Gegeben ist die Funktion f(t) = 2t t t + 5 a) f (t) = 6t t + 96 = 0 t 2 6t 16 =0 t = 3 ± 9 16 x = 2 x x = 8. b) f(7) f(3):4 = ( ):4 = 118 c) f (2) = 144 d) 6t t + 96 = 54 t 2 6t 42 = 0 t= 1 v t = 7 2a) Die Geschwindigkeit beträgt um 6.00 Uhr und um Uhr 0 km/h (das Auto steht). b) Die Geschwindigkeit zwischen der 3. und der 7. Stunde beträgt durchschnittlich 118 km/h. c) Um Uhr hat das Auto eine (Momentan)Geschwindigkeit von 144 km/h. d) Um 7.00 Uhr und um Angenommen, die Funktion f(t) aus Aufgabe 1 gibt zu jedem Zeitpunkt t (in min) die Strecke an (in m), die ein Auto zurückgelegt hat (Zeit in Sekunden) an. Stelle für die Aufgaben a) d) eine passende Anwendungsaufgabe. 3. (f(9) f(4)):(9 4) 4. a) f (x) = 12x 3 b) f (x) = 8x 6 c) f (x) = 4a 3 x + 2a d) f (x)= 3 e) f (x)= 0 5. f ( 5) 6. Eine Funktion f(t) gibt das Volumen eines Tanks (in m 3 ) in Abhängigkeit von der Zeit (in Tagen) an. Welche Bedeutung hat a) f (7): Zuflussrate (in m 3 /min) nach 7 Minuten b) f(7): Inhalt des Tanks (in m 3 ) nach 7 Minuten. c) Wann beträgt die Zuflussrate 7 m 3 /min? d) Mittlere Zuflussrate ( in m 3 /h) zwischen der 5. und der 12. Stunde. e) An den Nullstellen von f befindet sich bei f eine Extremstelle oder ein Sattelpunkt. f) Mittlere Zuflussrate ( in m 3 /h) zwischen der 2. und der 9. Stunde. g) Momentane Zuflussrate (in m 3 /min) nach 6 Minuten h) Momentane Zuflussrate (in m 3 /min) nach 12 Minuten 7. y = mx + n; f (0) =m = 96; Tangente berührt bei P(0 5) 5 = n y = 96x + 5

10 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 6 Abgabe Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x 2. Bestimme den Differenzenquotienten im Intervall [3; 5]. 2. Das Wachstum einer Schlingpflanze wurde vom 1. Mai bis zum 31. Juli beobachtet. Die Messwerte können im angegebenen Zeitraum durch folgende Funktion modelliert werden: h(t) = 0,0022 t 3 + 0,0382 t 2 + 0,279 t + 0,5527, wobei t die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen und h die Höhe der Pflanze in m angibt. a) Berechne Sie die Höhe der Pflanze zu Beobachtungsbeginn und 6 Wochen nach Beobachtungsbeginn. b) Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion für den gesamten Messzeitraum bzw. für die ersten 6 Wochen. Interpretiere die Bedeutung der mittleren Änderungsrate im Sachzusammenhang. c) Berechne die Ableitungsfunktion zur Funktion h. Welche Bedeutung hat diese im Sachzusammenhang? 3, Skizziere mithilfe des Graphen der Funktion den Graphen der Ableitungsfunktion. 4. Berechne f und skizziere den Graphen von f mit Hilfe des GTR. a) f(x) = x b) f(x) = x 4 2x 2 2 c) f(x) = x x3 + 1

11 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 6 Abgabe Lösungen f(5) f(3) a) h(0) = 0,5527 m; h(6) 3,13 m. b) 1. Mai 31. Juli = 92 Tage 13 Wochen; h(6) h(0) 3,13 0,55 = 0, h(13) h(0) 5,80 0,55 0,40; h(6) h(0) In den ersten 6 Wochen (3 Monaten) wächst die Planze durchschnittlich 0,40 m (0,43 m) pro Woche. c) h (t) = 0,0066t 2 + 0,0764t + 0,279; h gibt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze im m/woche an. 3. 4a) f (x) = 3x 2 b) f (x) = 4x 3 4x c) f (x) = 5x 4 5x 2 Graphen a) Normalparabel mit Faktor b) Ableitungsgraph von 3b) c) Ableitungsgraph von 3c) 3 in y-richtung gestreckt.

12 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 7 Abgabe Ordne den Graphen g 1 bis g 6 die richtige Ableitungsfunktion f 1 bis f 6 zu. Begründe deine Entscheidung. Beispiel: g 1 = f 3, denn g 1 hat bei 3 einen Hochpunkt und nur f 3 macht bei 3 einen Vorzeichenwechsel von + nach Bestimme die Monotonieintervalle von a) f(x) = x x 2x 1 b) f(x) = x 4 16x Der Graph von f wird der beschriebenen Transformation unterzogen, man erhält den Graphen von g. Ermittle den Funktionsterm von g. Spiegelung an der y Achse von f(x) = a) x 3 3x b) 4 1,5 x c) sin(x) Verschiebung um 7 Einheiten nach oben a) f(x) = x 2 +x b) f(x) = 2 0,5 x c) f(x)=cos(x) Verschiebung um 2 Einheiten nach links von f(x) = a) x 3 b) 3 4 x c) sin(x) a) g(x)= b) g(x)= c) g(x)= Streckung in x Richtung mit Faktor 0,25 a) f(x) = x 4 +3x 2 2 b) f(x) = 3 1,5 x c) cos(x 2) Verschiebung um 3 Einheiten nach unten von f(x) = a) 3x 4 +7x 2 3x +5 b) 0,4 5 x c) sin(3x+2) Streckung in y Richtung mit Faktor 2 von f(x) = a) x 2 3x b) 3 1,5 x c) 2 cos(x) + 1 Streckung in x Richtung mit Faktor 5 von f(x) = a) x 2 + 5x b) x 1,5 x c) 2 cos(x 2) + 1

13 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 7 Abgabe Ordne den Graphen g 1 bis g 6 die richtige Ableitungsfunktion f 1 bis f 6 zu. Begründe deine Entscheidung. Beispiel: g 1 (x) = f 3 (x), denn g 1 hat bei 3 einen Hochpunkt und nur f 3 macht bei 3 einen Vorzeichenwechsel von + nach. g 2 (x) = f 1 (x), denn g hat drei Extremstellen, davon einen x=3 und nur f 1 (x) macht drei VZW, davon einer bei x = 3. g 3 (x) = f 6 (x), denn nur g 3 (x) hat drei Extremstellen und ist bei x= 4 steigend und nur f 6 (x) macht drei VZW und ist bei x = 4 positiv. g 4 (x) = f 2 (x), denn nur g 2 (x) hat zwei Extremstellen und ist bei x = 4 steigend und f 2 (x) macht genau zwei VZW und ist bei x = 4 positiv. g 5 (x) = f 4 (x), denn nur g 5 (x) hat drei Extremstellen und fällt bei x = 4 und nur f 4 (x) macht drei VZW und ist bei x = 4 negativ. g 6 (x) = f 5 (x), denn nur g 6 (x) hat genau zwei Extremstellen, davon eine bei x = 2 und fällt bei x = 4; f 5 (x) macht genau zwei VZW, davon einen bei x=2, und ist bei x = 4 negativ Bestimme die Monotonieintervalle von a) f(x) = x x 2x 1 b) f(x) = x 4 32x a) f (x) = x 2 x 2 = 0 x = 2 v x = 1; f ( 2)= 4 >0; f (0)= 2 <0; f (3)=4>0 Hochpunkt bei x= 2 und Tiefpunkt bei x = 1 f ist streng monoton steigend für x < 2 und für x > 1 und streng monoton fallend für x [ 2; 1] b) f (x) = 4x 3 64x = 0 x = 0 v x = 4 v x = 4; Tiefpunkte bei x= 4 und x = 4 und einen Hochpunkt bei x = 0 x f (x) f ist streng monoton fallend für x < 4 und für x [0;4] und streng monoton steigend für x [ 4; 0] und x > Der Graph von f wird der beschriebenen Transformation unterzogen, man erhält den Graphen von g. Ermittle den Funktionsterm von g. Spiegelung an der x Achse von f(x)= a) 2x 2 +5x b) 2 3 x c) sin(x) Spiegelung an der y Achse von f(x) = a) x 3 3x b) 4 1,5 x c) sin(x) Verschiebung um 7 Einheiten nach oben a) f(x) = x 2 +x b) f(x) = 2 0,5 x c) f(x)=cos(x) Verschiebung um 2 Einheiten nach links von f(x) = a) x 3 b) 3 4 x c) sin(x) Streckung in x Richtung mit Faktor 0,25 a) f(x) = x 4 +3x 2 2 b) f(x) = 3 1,5 x c) cos(x 2) Verschiebung um 3 Einheiten nach unten von f(x)= a) 3x 4 +7x 2 3x +5 b) 0,4 5 x c) sin(3x+2) a) g(x)= b) g(x)= c) g(x)= -2x 2 5x 2 3 x sin(x) ( x) 3 (3( x)) = x 3 + 3x x 2 +x x sin( x) 2 0,5 x +7 cos(x)+7 (x+3) 3 = x 3 4 x+2 sin(x+2) 0,25 (x 4 +3x 2 2) = 0,25 x 4 + 0,75x 2 0, x 0,25 cos(x 2) 3x 4 +7x 2 3x +2 0,4 5 x 3 sin(3x+2) 3 Streckung in y Richtung mit Faktor 2 von f(x) = a) x 2 3x b) 3 1,5 x c) 2 cos(x) +1 Streckung in x Richtung mit Faktor 5 von f(x) = a) x 2 + 5x b) x 1,5 x c) 2 cos(x 2) (x 2 3x)= 2x 2 6x ( 1 5 x)2 +5( 1 5 )x = 0,04x 2 + x 6 1,5 x 4 cos(x) x 1,50,2x 2 cos( 1 5 x 2)+1

14 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 8 Abgabe ( Aufgabe 1 nur die erste Ableitung f ; Aufgabe 3a ohne W 1 und W 2 ; 3b) ohne W(0 0); Aufgabe 2 ohne d) g) )

15 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 8 Abgabe Lösungen ( Aufgabe 1 nur die erste Ableitung f ; Aufgabe 3a ohne W 1 und W 2 ; 3b) ohne W(0 0); Aufgabe 2 ohne d) g) )

16 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 9 Abgabe 29/ Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x 3 +2x 2 x a) Zeichne den Graphen mit dem GTR und übertrage ihn in das nebenstehende Koordinatensystem. b) Weise rechnerisch (mit Monotonietabelle) nach, dass der Graph ungefähr bei x=0,2 einen Tiefpunkt und bei ungefähr x = 2,9 und den Hochpunkt hat. c) Zeichne die Gerade g durch die durch Extrempunkte in die Zeichnung rechts ein. An welchen Stellen hat die Tangente am Funktionsgraphen die gleiche Steigung wie die Gerade g? d) Die Gerade h verläuft durch H( 2,9 7,5) und P(1,1 6,5). Die Gerade i verläuft durch T(0,2 0,1) und ist parallel zur Geraden h. Bestimmen sie die Gleichung der Geraden i. e) Betrachte die Funktion g a (x) = 0,5x 3 +2x 2 x + a. Setzt man hier für a verschiedene Zahlen ein, erhält man jedes Mal eine andere Funktionsgleichung. (i) Bestimmen Sie a so, dass die Funktion g a mit f übereinstimmt. (ii) Beschreiben Sie den Verlauf des Funktionsgraphen von g a im Vergleich zum Funktionsgraphen der Funktion f. f) Betrachte die Graphen A, B und C. Einer der Graphen hat f als Ableitung. Begründe, welcher es ist. Einer der Graphen ist eine Transformation von f? Begründe, welcher es ist. Einer der Graphen ist die Ableitung f von f. Begründe, welcher es ist. A B C

17 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 9 Abgabe 29/ Lösungen a) Nullstellen: f(x)=0 x(0,5x 2 +2x 1) = 0 x=0 v x 2 +4x 2 = 0 x= 0 v x = 2 ± 4 2 x = 0 v x 0,45 v x 4,45 y Achsenabschnitt: f(0) = 0 b) Extrema: f (x)= 1,5x 2 + 4x +1 =0 x = x 0,2 v x 2,8 Monotonietabelle H( 2,9 f( 2.9)=7,5) T(0,2 f(0,2)= 0,1) = 3 9 x 3 2,9 0 0,2 1 f (x) 0, , HP TP ,5 7,5 e) Steigung der Geraden h: m = 0,25 ; 1,1 ( 2,9) Steigungswinkel : tan = 0,25 14,04 Da die Geraden h und i parallel sind, haben sie die gleiche Steigung. i(x) = 0,25x+n Einsetzen von (0,2 0,1): 0,1 = 0,25 0,2 + n n = 0,005 i(x) = 0,25x 0,05 f) Für a=0 ist g a = f. a bewirkt eine Verschiebung nach oben (a>0) bzw. nach unten (a<0) des Graphen von f. g) Der Graph von f hat bei etwa x= 4,4 eine Nullstelle mit VZW von nach +. Der gesuchte Graph müsste dort ein lokales Minimum haben, das ist nur bei A der Fall. Der Graph B ist die Spiegelung von f an der x Achse. Der gesuchte Graph müsste bei x= 2,9 einen VZW von + nach und bei x=0,2 einen VZW von nach + machen. Das ist nur bei C der Fall.

18 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 0 Abgabe EF A Abgabe EF B Markieren und benennen Sie am abgebildeten Funktionsgraphen sämtliche charakteristischen Punkte. 2. Zeichnen Sie mit dem GTR den Graphen der Funktion f mit f (x) = x x Bestimmen Sie näherungsweise die Extrem- und Nullstellen von f. 3. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der 1. und 2. Ableitung von f. a) f (x) = 2 x x 3 5 b) f (x) = 3 (x 4) c) f (x) = 4 x 2 3 a d) f (x) = 5 a x a 2 4. Die Abhängigkeit des Enzyms Amylase vom ph-wert (vgl. Aufgabe. 2) kann durch die Funktion f mit f (x) = 0,89 x 4 23,56 x ,2 x 2 783,6 x mit 4 x 10 näherungsweise beschrieben werden, wobei x den ph-wert und f (x) die Aktivität des Enzyms in Prozent angibt. a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f (x). b) Zeichnen Sie die Graphen der Funktion f und der Ableitungsfunktion f (x). c) Beschreiben Sie den Verlauf der Ableitungsfunktion im Sachkontext. Welche Bedeutung hat die Ableitung und der Verlauf ihres Graphen im Kontext? 5. Gegeben ist die Funktion f (x) = 5 x 3 15 x 2 + x. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle x = 1. b) Bestimmen Sie die Punkte, in denen die Tangente an die Funktion f (x) in diesem Punkt parallel zu der Geraden g mit g (x) = 10,25 x 5 ist. c) Prüfen Sie, ob die Tangente an den Graphen von f (x) im Ursprung weitere Schnittpunkte mit dem Graphen von f (x) besitzt.

19 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 10 Abgabe EF A Abgabe EF B Lösungen 1 Punkte Bezeichnung A, B, C, D Achsenschnittpunkte H 1, H 2 T 1, T 2 Hochpunkte Tiefpunkte 2 Der GTR liefert folgenden Näherungen für die Extrempunkte von f: T (0 1) und H (2 5). 4b) 3. a) f (x) = 8 x x 2 b) f (x) = 6 x 24 c) f (x) = 8 x d) f (x) = 15 a x 2 f (x) = 24 x x f (x) = 6 f (x) = 8 f (x) = 30 a x 4. a) f (x) = 3,56 x 3 70,68 x ,4 x 783,6 c) Zunächst steigt der Graph der Ableitungsfunktion bei einer Veränderung des ph-werts von 4 auf etwa 5 an, wo sie einen Hochpunkt erreicht. Dies be-deutet im Sachkontext, dass die Enzymaktivität bei einem ph-wert von 5 am stärksten zunimmt. Von einem ph-wert von 5 bis zu einem ph-wert von etwa 8,5 fällt der Graph der Ableitungsfunktion, wobei die Ableitungsfunktion bei einem ph-wert von etwa 6,7 eine Nullstelle besitzt. Dies bedeutet im Anwendungskontext, dass die Zunahme der Enzym-aktivität bei der Veränderung des ph-werts zunächst abnimmt bis die Zunahme den Wert 0 erreicht, was bedeutet, dass die Enzymaktivität bei diesem ph-wert (ca. 6,7) ihr Maximum erreicht. Danach fällt der Graph der Ableitungsfunktion weiter in den negativen Bereich, was bedeutet, dass die Enzymaktivität in Abhängigkeit vom ph-wert zunächst langsam und dann schneller abnimmt, bis bei einem ph-wert von etwa 8,5 die stärkste Abnahme erreicht wird. Bei einem ph-wert über 8,5 nimmt die Enzym-aktivität bei steigendem ph-wert nach wie vor ab, allerdings wird die Abnahme immer geringer. 5. a) f (x) = 15 x 2 30 x + 1 f (1) = 14 = m (Steigung der gesuchten Tangente) Setzen Sie m = 14 und den Berührpunkt (1 9) in die Geradengleichung y = m x + n ein, um den y-achsenabschnitt n zu bestimmen: 9 = n n = 5 Daher lautet die Gleichung der Tangenten an den Graphen der Funktion f im Punkt (1 9): y = 14 x + 5. b) Da die Tangente parallel zu der Geraden g sein soll, müssen beide Geraden dieselbe Steigung besitzen, d. h. gesucht sind Tangenten, die eine Steigung von 10,25 haben. Da die Steigung der Tangenten f (x 0 ) entspricht, sind Stellen x 0 gesucht, für welche f (x 0 ) = 10,25 gilt: 15 x 2 30 x + 1 = 10,25 15 x 2 30 x + 11,25 = 0 x 2 2 x + 0,75 = 0 x 1,2 = 1 ± 0, 25 x 1 = 0,5 bzw. x 2 = 1,5. Die Tangenten an den Graphen der Funktion f (x) in den Punkten (0,5 2,625) und (1,5 15,375) sind parallel zu der Geraden mit der Gleichung g (x) = 10,25 x 5. c) f (0) = 1 = m (Steigung der Tangente im Ursprung) Tangentengleichung: y = x Gleichsetzen der Funktionsgleichung f(x) und dieser Tangentengleichung: 5 x 3 15 x 2 + x = x 5 x 3 15 x 2 = 0 x 2 (5 x 15) = 0 x = 0 oder 5 x 15 = 0 x = 0 oder x = 3 Die Tangente schneidet den Graphen der Funktion f (x) also auch noch im Punkt (3 3).

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21 Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 1 Abgabe Berechnen Sie den Differenzenquotienten zu f (x) = 7 x in den Intervallen 1 0 ; ; 1 0 ; Enzyme beschleunigen bestimmte chemische Reaktionen, so beschleunigt das Enzym Amylase zum Beispiel die Spaltung von Stärke im Mund. Dieses Enzym ist im Mundspeichel enthalten. Da sich die dreidimensionale Struktur eines Enzyms in Abhängigkeit vom ph-wert verändert, ist die Aktivität eines Enzyms vom ph-wert abhängig. Die folgende Tabelle zeigt die Abhängigkeit des Enzyms Amylase vom ph-wert. Für das Enzym ist jeweils die Aktivität in % angegeben, wobei 100 % den maximalen Substratumsatz dieses Enzyms angibt. ph-wert Aktivität von Amylase a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [6; 10]. Interpretieren Sie die Bedeutung der mittleren Änderungsrate in diesem Sachzusammenhang. b) Bestimmen Sie ein Intervall der Länge 1 (für den ph-wert), in dem die Aktivität des Enzyms am stärksten zunimmt. 3 Ein Wissenschaftler hat im Rahmen einer Forschungsarbeit das Wachstum einer Bakterienkultur auf einem Nährboden beobachtet. Alle zwei Stunden wurde von ihm die Größe der von den Bakterien bedeckten Fläche gemessen. Seine Messwerte sind in dem folgenden Koordinatensystem dargestellt: a) Bestimmen Sie geometrisch die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur cm in 2 h zwischen dem Beobachtungsbeginn und 5 Uhr nachts. b) Bestimmen Sie ein anderes Zeitintervall, in dem die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur etwa genauso groß ist wie zwischen Beobachtungsbeginn und 5 Uhr nachts. c) In welchem Zeitintervall von 2 Stunden Länge vermehren sich die Bakterien am schnellsten und wie hoch ist die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit pro Stunde? 4 a) Skizzieren Sie mithilfe des Graphen von f den Graphen der Ableitungsfunktion f und erläutern Sie Ihr Vorgehen. b) Ergänzen Sie die folgenden Sätze sinnvoll. 1. Wenn die Steigung des Graphen negativ ist, dann ist der Graph der Ableitungsfunktion. 2. Je kleiner die Steigung des Graphen von f ist, desto.

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