4.4 Hermitesche Formen

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1 44 Hermitesche Formen Wie üblich bezeichnen wir das komplex konjugierte Element von ζ = a + bi C (a, b R) mit ζ = a bi Definition 441 Sei V ein C-Vektorraum Eine hermitesche Form (HF) auf V ist eine Abbildung h : V V C für die gilt: (HF1) x, y, z V : h(x + y, z) = h(x, z) + h(y, z); (HF2) x, y V, λ C : h(λx, y) = λh(x, y); (HF3) x, y V : h(x, y) = h(y, x) Das Paar (V, h) bezeichnen wir auch als hermiteschen Raum (HR) Bemerkung 442 Sei (V, h) ein HR Dann gilt: (1) x, y, z V : h(x, y + z) = h(x, y) + h(x, z) (2) x, y V, λ : C : h(x, λy) = λh(x, y) Beispiel (1) Seien x = x 1 x n C n Wir definieren den komplex konjugierten Vektor y :=, y = y 1 y n y 1 y n und damit h(x, y) := x t y = n i=1 x iy i Man beachte, dass dann h(x, x) = n i=1 x ix i = n i=1 x i 2 R mit h(x, x) > 0 falls x 0 (C n, h) ist ein hermitescher Raum und man nennt diese spezielle hermitesche Form h auch das (hermitesche) Standardskalarprodukt auf C n (2) Für A = (a ij ) M n (C) definieren wir die komplex konjugierte Matrix A := (a ij ) M n (C) Sei nun A M n (C) mit A = A t Wir definieren nun h A (x, y) := x t Ay Dies ist eine HF auf C n Beispiel (1) ist ein Spezialfall hiervon für A = I n (3) Sei V = {stetige Funktionen [a, b] C} wobei [a, b] R ein Interval ist Jedes f : [a, b] C kann geschrieben werden als f(x) = f 1 (x) + if 2 (x) mit f 1, f 2 : [a, b] R, und f ist stetig genau dann wenn f 1 und f 2 stetig sind Man definiert f(x) := f 1 (x) if 2 (x) und für f V das Integral b f(x)dx := a b f a 1(x)dx + i b f a 2(x)dx 1

2 Damit erhält man eine hermitesche Form h auf V mittels h(f, g) := b f(x)g(x)dx a Für f(x) = f 1 (x)+if 2 (x) bekommt man damit h(f, f) = b f a 1(x) 2 +f 2 (x) 2 dx, insbesondere h(f, f) R und wegen Stetigkeit h(f, f) > 0 falls f 0 Bemerkung Generell gilt in jedem HR (V, h) wegen h(x, x) = h(x, x), dass h(x, x) R x V Definition 443 Sei A M n (C) (i) Die zu A adjungierte Matrix ist definiert als A := A t (ii) A nennt man eine hermitesche Matrix falls A = A Bemerkung 444 Seien A = (a ij ), B M n (C) (i) A hermitesch A = A t a ii R i und a ij = a ji i j ( ) i ZB ist eine hermitesche Matrix 1 i 4 (ii) (AB) = B A, (A + B) = A + B, und für alle λ C hat man (λa) = λa Definition 445 (i) Ein HR (V, h) (bzw die HF h auf V ) heißt positiv definit falls h(x, x) > 0 für alle x V \ {0} Ein unitärer Raum (UR) ist ein positiv definiter HR (ii) Eine hermitesche Matrix A M n (C) heißt positiv definit falls h A : C n C n C : (x, y) x t Ay eine positiv definite HF ist (siehe Bsp (2) oben) Analog definiert man negativ definit, positiv/negativ semidefinit Fakten 446 Alles, was für SBRs über R gesagt und gezeigt wurde, gilt iw auch für HRs über C Sei also (V, h) ein HR (1) Orthogonalität: x, y V sind orthogonal zueinander, x y, falls h(x, y) = 0 (damit auch h(y, x) = 0, also y x) Entsprechend definiert man S T für Teilmengen S, T V Für S V definiert man den zu S orthogonalen Unterraum S = {x V x S} und das Radikal Rad(V, h) = V (V, h) ist nicht-entartet falls Rad(V, h) = {0} (2) Angenommen dim V = n < (i) Falls E : e 1,, e n eine Basis von V ist, so erhält man die Grammatrix G h,e = (h(e i, e j )) M n (C), welche notwendigerweise eine hermitesche Matrix ist: G h,e = G h,e (V, h) ist nicht-entartet falls det G h,e 0 2

3 (ii) Falls F : f 1,, f n eine andere Basis ist, so gibt es ein S GL n (C) mit S G h,e S = G h,f wobei S = M F E (id V ) (V, h) lässt sich diagonalisieren, dh es kann so eine Basis F gefunden werden für die G h,f = a 1 a n, eine Diagonalmatrix ist mit (notwendigerweise) a i R ( ) So eine Basis heißt dann Orthogonalbasis von (V, h) (iii) (V, h) ist genau dann positiv definit wenn in der Darstellung ( ) in (ii) alle a i > 0 (iv) Es gilt der Trägheitssatz von Sylvester (v) Falls (V, h) UR ist, so existiert eine Basis F von V mit G h,f = I n So eine Basis heißt dann Orthonormalbasis (ONB) von (V, h) (3) Sei (V, h) ein UR Man definiert für alle x V die Norm x = h(x, x) Es gilt dann (i) x 0, und x = 0 genau dann wenn x = 0 (ii) (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) x, y V : h(x, x) x y (iii) (Dreiecksungleichung) x, y V : x + y x + y (iv) (Homogenität) x V, λ C: λx = λ x Definition 447 Sei (V,, ) ein ER (K = R) oder ein UR (K = C), und seien f, g End K (V ) (a) g heißt adjungiert zu f falls x, y V gilt: f(x), y = x, g(y) Man schreibt dann g = f ad (diese Notation ist gerechtfertgit, da wir später sehen werden, dass adjungierte Abbildungen eindeutig bestimmt sind) (b) f heißt selbstadjungiert falls f = f ad (c) f heißt orthogonal (im Fall ER) bzw unitär (im Fall UR) falls f bijektiv und f(x), f(y) = x, y x, y V Bemerkung 448 (1) Die Definition von orthogonalem f im Fall ER stimmt überein mit der früheren Definition von orthogonalem f O(V, b) für einen SBR (V, b) (433) (2) f adjungiert zu g g adjungiert zu f 3

4 (3) f orthogonal/unitär f ad = f 1 (4) Verknüpfung und Umkerhabbildungen von orthogonalen/unitären Abbildungen sind wieder orthogonale/unitäre Abbildungen Definition und Lemma 449 Sei (V, h) ein HR Dann ist U(V, h) := {f End C (V ) f unitär} eine Gruppe unter der Verknüpfung von Abbildungen, genannt unitäre Gruppe von (V, h) Satz 4410 Sei (V,, ) ein ER (K = R) oder ein UR (K = C) mit dim V < (a) Zu jedem f End K (V ) existiert ein eindeutiges g End K (V ) mit g = f ad (b) Seien f, f 1, f 2 End K (V ) und λ K Dann gilt (f 1 f 2 ) ad = f ad 2 f ad 1, (f 1 + f 2 ) ad = f ad 1 + f ad 2, (λf) ad = λf ad Satz 4411 Sei S = (s ij ) = ( s 1 s n ) = und Zeilen s i Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) S S = I n ; (ii) SS = I n ; s 1 s n M n (C) mit Spalten s i (iii) s 1,, s n C n bildet eine ONB bzgl des hermiteschen Standardskalarprodukts, auf C n ; des hermiteschen Standardskalarpro- (iv) s t 1,, s t n bildet eine ONB bzgl dukts, auf C n ; (v) Die Abbildung L S : C n C n : x Sx ist unitär bzgl des hermiteschen Standardskalarprodukts, auf C n ; (vi) Sei (V, h) ein UR, dim V = n und e 1,, e n eine ONB von (V, h) Sei f j := n i=1 s ije i, 1 j n Dann ist f 1,, f n auch eine ONB von (V, h) 4

5 Eine Matrix S M n (C) mit obigen Eigenschaften heißt unitär U n (C) = {S M n (C) S unitär} ist eine Gruppe unter der Matrizenmultiplikation, genannt unitäre Gruppe von C in Dimension n oder vom Grad n Lemma 4412 Sei V ein K-Vektorraum (K beliebig), f End K (V ) bijektiv mit Umkehrabbildung f 1, und sei U V ein f-invarianter Untervektorraum mit dim U < Dann ist U auch f 1 -invariant Lemma 4413 Sei (V,, ) ein ER (K = R) oder ein UR (K = C) mit dim V < Sei U V ein f-invarianter Untervektorraum Dann ist U ein f ad -invarianter Untervektorraum Satz 4414 (Spektralsatz) (a) Seien (V,, ) ein UR mit dim V <, und f End C (V ) selbstadjungiert oder unitär Dann existiert eine ONB von (V,, ) bestehend aus Eigenvektoren von f Insbesondere ist f diagonalisierbar (b) Die Eigenwerte eines unitären f End C (V ) bzgl (V,, ) haben Betrag 1 Die Eigenwerte eines selbstadjungierten f End C (V ) bzgl (V,, ) sind reell Korollar 4415 Sei A M n (C) eine hermitesche Matrix, dh A = A Dann existiert eine unitäre Matrix S M n (C) (dh S invertierbar und S = S 1 ) sodass S AS = S 1 AS diagonal ist Satz 4416 (Reller Spektralsatz) Sei (V,, ) ER mit dim V <, und sei f End R (V ) selbstadjungiert bzgl (V,, ) Dann existiert eine ONB von (V,, ) bestehend aus Eigenvektoren von f Insbesondere ist f diagonalisierbar Damit erhält man wieder Satz 436: Korollar 4417 (Satz 436) Sei A M n (R) symmetrisch, dh A = A t Dann existiert S O n (R) mit S t AS = S 1 AS diagonal Insbesondere zerfällt das charakteristische Polynom P A (X) R[X] in Linearfaktoren über R und damit sind alle Eigenwerte reell Korollar 4418 Sei A M n (R) eine symmetrische Matrix, dh A = A t, und sei b A : R n R n R : b A (x, y) = x t Ay; oder sei A M n (C) eine hermitesche Matrix, dh A = A, und sei h A : C n C n C : h A (x, y) = x t Ay (i) λ 1,, λ n R (nicht notwendigerweise verschieden) mit P A (X) = ( 1) n n i=1 (X λ i) (ii) Es existiert eine Orthogonalbasis E von b A bzw h A sodass G ba,e bzw G ha,e von der Gestalt I r+ Ir 0 r0, r +, r, r 0 N 0, ist (mit Nullen 5

6 außerhalb der Blöcke, wobei 0 r0 die r 0 r 0 Nullmatrix ist) Das Tripel (r +, r, r 0 ) (aus dem Sylvesterschen Trägheitssatz) berechnet sich dabei wie folgt: r + = {i λ i > 0} r = {i λ i < 0} r 0 = {i λ i = 0} 6