Abiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K

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1 Abiurprüfung Mhemik (Bden-Würemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe. Für jedes * is die Funkion f gegeben durch f (x) = x x + x +, x Ds Schubild von f is K. ( )( ).. (4 Punke) Zeichnen Sie K und K in ein gemeinsmes Koordinensysem... (6 Punke) Berechnen Sie den Inhl der gesmen Fläche, die von K und der Normlen von K im Ursprung eingeschlossen wird... (5 Punke) Die Punke A(-/), B(u/) und C( u / f (u)) bilden für - < u < ein Dreieck. Für welches u is der Flächeninhl dieses Dreiecks mximl?..4 (8 Punke) Beschreiben Sie, wie K us K enseh. Geben Sie die Schnipunke von Besimmen Sie die Hoch- und Tiefpunke von K mi den Koordinenchsen n. K...5 (6 Punke) Besimmen Sie den Wer von, für den der Wendepunk von Gerden mi der Gleichung y = lieg. K exk uf der

2 ..6 (6 Punke) Für * und n is die Funkion h gegeben durch n h(x) = x x + x +, x ( ) ( ) Jemnd behupe, dss sich bei geeigneer Whl von und n die skizzieren Schubilder ergeben. Prüfen Sie diese Behupung für jedes der folgenden Schubilder und ermieln Sie gegebenenflls die pssenden Were für und n. Schubild Schubild Schubild. Gegeben is die Funkion g durch g(x) x = e, x.. (4 Punke) Ds Schubild von g, die beiden Koordinenchsen und die Gerde mi der Gleichung x =,5 begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhl dieser Fläche exk... (6 Punke) Die Fläche us.. roier um die x-achse. Dbei enseh ein Roionskörper. Der Roionskörper wird so durchbohr, dss die Bohrchse mi seiner Symmeriechse übereinsimm. Diese Bohrung h den Durchmesser. Welches Volumen h der Reskörper?

3 Abiurprüfung Mhemik (Bden-Würemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe. Die Abbildung zeig ds Schubild der Ableiungsfunkion f einer Funkion f mi π < x < π... (5 Punke) Begründen Sie nhnd der Abbildung, welche der folgenden Aussgen flsch oder whr sind. f is monoon seigend Ds Schubild von f is symmerisch zur y-achse π π Ds Schubild von f h in P( / f( )) dieselbe Seigung wie die erse Winkelhlbierende... (5 Punke) Geben Sie einen Funkionserm von f n. Die Schubilder von f und f schneiden sich uf der y-achse. Besimmen Sie f(x).. Gegeben is die Funkion g mi g (x) x + sin(x) K is ds Schubild von g. = für x [ 4;4]... ( Punke) Zeichnen Sie ds Schubild von K.

4 .. (9 Punke) Zeigen Sie, dss die Wendepunke von K uf der ersen Winkelhlbierenden liegen. K und die erse Winkelhlbierende schließen im.qudrnen eine Fläche ein. Besimmen Sie eine Prllele zur y-achse, welche diese Fläche im Verhälnis : eil... (5 Punke) Die Gerde mi der Gleichung x = u für < u < π schneide die erse Winkelhlbierende im Punk P und ds Schubild K im Punk Q. P und Q bilden zusmmen mi dem Ursprung ein Dreieck. Für welchen Wer von u is der Flächeninhl dieses Dreiecks mximl?..4 (7 Punke) Ds Schubild einer Polynomfunkion 4.Grdes schneide die x-achse in A(-/) und 9 verläuf durch B( / ). Es h im Ursprung einen Wendepunk und schneide dor ds 5 Schubild K senkrech. Besimmen Sie einen Funkionserm dieser Polynomfunkion.. Für jedes * is die Funkion h gegeben durch 4 9 h (x) = x + x x, x Ds Schubild von h heiß H... (5 Punke) Besimmen Sie die Bereiche, in denen h monoon wchsend und gleichzeiig ds zugehörige Schubild rechsgekrümm is... (6 Punke) Prüfen Sie, ob es ein gib, so dss h. H einen Wendepunk mi wgrecher Tngene 4

5 Abiurprüfung Mhemik (Bden-Würemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Lösung Aufgbe.. Skizze für = - und =.. Berechnung der Normlengleichung von K im Ursprung: Es gil f (x) = x + 4x + x mi f (x) = x + 8x + Tngenenseigung bei x = : f () = Normlenseigung bei x = : mnorm = = m Normlengleichung im Ursprung: y = x Tngene Die Normle und die Funkion f schneiden sich bei x = -,86 und x = -,84 (GTR). 5

6 A gesm =,84,86 f(x) ( x) dx +,84 Mi dem GTR knn uch lerniv ds Inegrl werden: x f(x) dx A = f(x) ( x) dx berechne,86 Die Fläche beräg insgesm A =,66 Flächeneinheien... Die Fläche des Dreiecks beräg (u) = AB BC = u ( ) ( ) ( f (u) ) = (,5u +,5 ) f (u) A Gesuch is ds Mximum der Funkion A(u) für - < u <. Berechnung mi dem GTR: Die Dreiecksfläche wird mximl für u = -,7 und die mximle Dreiecksfläche beräg A =,97 Flächeneinheien. 6

7 ..4 K enseh us K durch die Sreckung/Suchung von K mi dem Fkor in y-richung. Is < erfolg eine zusäzliche Spiegelung n der x-achse. Schnipunk mi der x-achse: f (x) = x ( x + )( x + ) = Mi dem Sz vom Nullproduk folg drus x = oder x = - oder x = -. Die Nullsellen luen N ( / ), N ( / ), N ( / ). Schnipunk mi der y-achse: f () = S y ( / ) = N Exrempunke von K : f (x) = x x + 4x + ( ) = x + 4x x + f (x) = x + 8x und f (x) = 6x Hinreichende Bedingung für Exrempunke: f (x) = und (x) f (x) = x + 8x + = x + 8x + = 8 ± ± x, = = 6 6 x,45 und x, f 8 8 ± = = ± 7 f (,45) = 5, Für > exisier bei x = -,45 ein Tiefpunk: TP(-,45/-,6) Für < exisier bei x = -,45 ein Hochpunk: HP(-,45/-,6) (,) = 5, f Für > exisier bei x = -, ein Hochpunk: HP(-,/,) Für < exisier bei x = -, ein Tiefpunk: TP(-,/,)..5 Berechnung des Wendepunkes: Hinreichende Bedingung: f (x) = und (x) f 4 f (x) = 6x + 8 = x = 4 4 f (x) = 6 f ( ) WP( / ) 7 Dmi der Wendepunk uf der Gerden y = lieg, muss gelen: = = Ds Schubild h bei x = - eine dreifche Nullselle, d dor ein Selpunk exisier. Dher knn der drgeselle Funkionserm dieses Schubild nich erzeugen. 7

8 Ds Schubild h bei x = - und x = eine einfche Nullselle und bei x = - eine doppele Nullselle, d dor ein Exrempunk exisier. Also is n =. Der Punk P(-/) lieg uf dem Schubild. f( ) = + + ( ) = Einsezen von P in die Funkionsgleichung ergib: ( ) ( ) = Ds Schubild h bei x = - und x = eine einfche Nullselle und bei x = - ebenflls eine einfche Nullselle. Also is n =. Der Punk P(/) lieg uf dem Schubild. f () = + + = =, Einsezen von P in die Funkionsgleichung ergib: ( ) ( ) 5.. A =,5 x,5,5 [ e ] = e + e =, 754 x e dx = Flächeneinheien.. 8

9 Die Bohrung ensprich einem Zylinder mi dem Rdius r =,5. Die Höhe des Zylinders ensprich der Selle, n der ds Schubild von f(x) den y-wer,5 (Zylinderrdius) nnimm: f(x) =,5 e x =,5 x = ln 6 =,79 (siehe Schubild oben) Ds Volumen des Körpers, der sich durch Roion der gruen Fläche um die x-achse ergib, wird berechne durch,79 x ( ) V = π e dx V Zylinder Es gil V = π r h = π,5,79, 47 Zylinder =,79 und ( x ) π e dx =,745 (GTR) Ds Volumen des Reskörpers beräg V =,745,47 =,4 Volumeneinheien. 9

10 Abiurprüfung Mhemik (Bden-Würemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Lösung Aufgbe.. f is monoon seigend: Diese Behupung is whr, d ds Schubild von f nie unerhlb der x-achse lieg und somi f (x) für lle x mi π < x < π gil. Dies is die Bedingung dfür, dss f monoon seig. Ds Schubild von f is symmerisch zur y-achse: Diese Behupung is flsch, d ds Schubild von f monoon seigend is und dmi eine Symmerie zur y-achse nich möglich is. Ds Schubild h in P dieselbe Seigung wie die erse Winkelhlbierende: Diese Behupung is whr. π Es gil f =, lso is die Seigung der Tngene in P gleich. Die erse Winkelhlbierende y = x besiz ebenflls die Seigung... Die Funkion knn ls llgemeine Kosinusfunkion drgesell werden: f (x) = cos b x c + ( ( )) d Die Ampliude des Schubildes is =. Ds Schubild is um d = nch oben verschoben. Die Periode is π, lso is b =. D ds Schubild nich nch links oder rechs verschoben is, is c =. Die Funkionsgleichung lue f (x) = cos(x) +. Drus folg f (x) = sin(x) + x + C. D sich die Schubilder von f und f uf der y-achse schneiden, muss f() = sein. f () = sin() + + C = C = Also is f (x) = sin(x) + x +

11 .. Schubild K von g(x):.. Berechnung der Wendepunke von K: Es gil g (x) = cos(x) + und g (x) = sin(x) und g (x) = cos(x) Hinreichende Bedingung für Wendepunke: g (x) = und g (x) g (x) = x = π oder x = oder x = π g () W ( / ) g ( π ) W ( π / π ) g ( π ) W ( π / π ) Dmi liegen lle drei Wendepunke uf der ersen Winkelhlbierenden y = x, d ihre x- und y-were jeweils gleich sind. Für die Besimmung der Prllele wird zunächs die gesme Fläche zwischen dem Schubild von g(x) und der ersen Winkelhlbierenden y = x ermiel (siehe Skizze unen): π π π ( x + sin(x) x) dx = sin(x)dx = [ cos(x) ] = cos( π ) + cos() = A gesm =

12 Nun is die Prllele x = z zur y-achse gesuch, so dss der linke Teil der Fläche = beräg: z ( x + sin(x) x) dx = [ cos(x) ] z = = cos(z) + cos( z) = z =, Die Gerde x =, eil die Gesmfläche im Verhälnis :...

13 Formel für die Fläche des Dreiecks: A Dreieck = PQ OB (Die Srecke OB is die Höhe des Dreiecks OPQ, die ußerhlb des Dreiecks lieg) Es gil PQ = g(u) u = u + sin(u) u = sin(u) und OB = u = u Die Flächeninhlsfunkion lue A(u) = sin(u) u Besimmung des Mximums für die Fläche des Dreiecks mi dem GTR: Die Fläche des Dreiecks wird mximl für u =,. Die mximle Fläche beräg,9 Flächeneinheien...4 Die Funkion h die Gleichung f(x) = x 4 + bx + cx + dx + e Es gil f (x) = 4x + bx + cx + d und f (x) = x + 6bx + c Folgende Bedingungen sind gegeben: A(-/) lieg uf dem Schubild: f ( ) = b + c d + e = B(/ ) lieg uf dem Schubild: f () = 6 + 8b + 4c + d + e = O(/) lieg uf dem Schubild: f () = e = (*) Wendeselle bei x = : f () = c = c = (**) Senkrecher Schni bei x = : f () g () = d = d =, 5 (***) Uner Berücksichigung von (*), (**) und (***) ergib sich ds Gleichungssysem: b +,5 = b =, b = 6 + 8b = 5 5 Drus ergib sich = -,5 und b =,45. 4 Die Funkionsgleichung lue f(x) =,5x +,45x,5 x Gegeben is die Funkion h(x) = x + x x 7 Bedingung für monoon wchsend: h (x) x + x 5

14 7 Bedingung für Rechskrümmung: h (x) < x + x < 5 Mi dem GTR läss mn nun beide Ableiungsschubilder einzeichnen: Ds Schubild von f verläuf oberhlb der x-achse für x < -,58. D ds Schubild von f (x ) in diesem Bereich unerhlb der x-achse verläuf, sind die beiden Bedingungen für x < -,58 erfüll. Beide Bedingungen sind ebenflls erfüll für 4,5 < x < 6,69... Berechnung es Wendepunkes: Es gil h (x) = x + x und h (x) = x + x und h (x) = x Hinreichende Bedingung für Wendepunke: h (x) = und (x) 7 7 h (x) = x + x = x x + = x = oder x = 4, h () = W ( / ) h (4,5) = W (4,5 /,5) Es gil () =, 5, ds heiß bei x = lieg kein Wendepunk mi wgrecher Tngene h vor h (4,5) =,5 = = Für = besiz ds Schubild bei x = 4,5 einen Wendepunk mi wgrecher Tngene, 79 lso einen Selpunk. h 4