Einführung in die Algebra

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 15 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie Wir beweisen nun, dass sich jede natürliche Zahl in eindeutiger Weise als Produt von Primzahlen darstellen lässt. Satz Es sei p eine Primzahl und p teile ein Produt ab von natürlichen Zahlen a,b N. Dann teilt p einen der Fatoren. Beweis. Die Voraussetzung bedeutet, dass ab = 0 = 0 ist in Z/(p). Da p eine Primzahl ist, ist dieser Restlassenring nach Satz ein Körper, so dass ein Fator null sein muss. Sagen wir a = 0. Dies bedeutet aber zurücübersetzt nach Z, dass a ein Vielfaches von p ist. Satz Jede natürliche Zahl n N, n 2, besitzt eine Zerlegung in Primfatoren. D.h. es gibt eine Darstellung n = p 1 p r mit Primzahlen p i. Dabei sind die Primfatoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt. Beweis. Wir beweisen die Existenz und die Eindeutigeit jeweils durch Indution. Für n = 2 liegt eine Primzahl vor. Bei n 3 ist entweder n eine Primzahl, und diese bildet die Primfatorzerlegung, oder aber n ist eine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung n = ab mit leineren Zahlen a,b < n. Für diese Zahlen gibt es nach der Indutionsvoraussetzung eine Zerlegung in Primfatoren, und diese setzen sich zu einer Primfatorzerlegung für n zusammen. Zur Eindeutigeit: Bei n = 2 ist die Aussage lar. Im Allgemeinen seien zwei Zerlegungen in Primfatoren gegeben, sagen wir n = p 1 p r = q 1 q s. Insbesondere teilt die Primzahl p 1 dann das Produt rechts, und damit nach Satz 15.1 einen der Fatoren. Nach Umordnung önnen wir annehmen, dass q 1 von p 1 geteilt wird. Da q 1 selbst eine Primzahl ist, folgt, dass p 1 = q 1 sein muss. Da Z nullteilerfrei ist, ann man beidseitig durch p 1 = q 1 dividieren und erhält die Gleichung n = p 2 p r = q 2 q s. 1

2 2 Da n < n ist, önnen wir die Indutionsvoraussetzung der Eindeutigeit auf n anwenden. Zu einer Primzahl p und einer positiven ganzen Zahl n ist der Exponent, also die Vielfachheit, mit der p als Primfator in n auftritt, eindeutich festgelegt. Dieser Exponent wird mit ν p (n) bezeichnet. Die eindeutige Primfatorzerlegung ann man auch als n = p p νp(n) schreiben, wobei das Produt in Wirlicheit endlich ist, da in der Primfatorzerlegung nur endlich viele Primfatoren mit einem positiven Exponenten vorommen. Lemma Es seien n und positive natürliche Zahlen. Dann wird n von genau dann geteilt, wenn für jede Primzahl p die Beziehung gilt. ν p (n) ν p () Beweis. (1) (2). Aus der Beziehung n = t folgt in Verbindung mit der eindeutigen Primfatorzerlegung, dass die Primfatoren von mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in n vorommen müssen. (2) (1). Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist t = p pνp(n) νp() eine natürliche Zahl mit n = t. Korollar Es seien n und m positive natürliche Zahlen mit den Primfatorzerlegungen n = p pνp(n) und m = p pνp(m). Dann ist gv(n,m) = p p max(νp(n),νp(m)) und ggt(n,m) = p p min(νp(n),νp(m)) Beweis. Dies folgt diret aus Lemma Produtringe Um die Restlassenringe von Z besser verstehen zu önnen, insbesondere dann, wenn man n als Produt von leineren Zahlen schreiben ann - z.b., wenn die Primfatorzerlegung beannt ist -, braucht man den Begriff des Produtringes.

3 Definition SeienR 1,...,R n ommutativeringe.dannheißtdasprodut R 1 R n, versehen mit omponentenweiser Addition und Multipliation, der Produtring der R i, i = 1,...,n. Eng verwandt mit dem Begriff des Produtringes ist das Konzept der idempotenten Elemente. Definition Ein Element e eines ommutativen Ringes heißt idempotent, wenn e 2 = e gilt. Die Elemente 0 und 1 sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produtring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert 0 oder 1 besitzen, idempotent, also bspw. (1, 0). In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element e besitzt die Eigenschaft e(1 e) = e e 2 = e e = 0. Im nullteilerfreien Fall folgt daraus e = 1 oder e = 0. Lemma Es sei R = R 1 R n ein Produt aus ommutativen Ringen. Dann gilt für die Einheitengruppe von R die Beziehung R = R 1 R n Beweis. Dies ist lar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist. 3 Der Chinesische Restsatz für Z Satz Sei n eine positive natürliche Zahl mit anonischer Primfatorzerlegung n = p r 1 1 p r 2 2 p r (die p i seien also verschieden und r i 1). Dann induzieren die anonischen Ringhomomorphismen Z/(n) Z/(p r i i ) einen Isomorphismus Z/(n) = Z/(p r 1 1 ) Z/(p r 2 2 ) Z/(p r ). Zu einergegebenenganzen Zahl(a 1,a 2,...,a ) gibtesalso genaueinenatürliche Zahl a < n, die die simultanen Kongruenzen löst. a = a 1 mod p r 1 1, a = a 2 mod p r 2 2,..., a = a mod p r

4 4 Beweis. Da die Ringe lins und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich n, genügt es, die Injetivität zu zeigen. Sei x eine natürliche Zahl, die im Produtring (rechts) zu null wird, also modulo p r i i den Rest null hat für alle i = 1,2,...,. Dann ist x ein Vielfaches von p r i i für alle i = 1,2,...,, d.h., es ist ein gemeinsames Vielfaches dieser Potenzen. Daraus folgt aufgrund von Lemma 4.8, dass x ein Vielfaches des Produtes sein muss, also ein Vielfaches von n. Damit ist x = 0 in Z/(n) und die Abbildung ist injetiv. Beispiel Aufgabe: (a) Bestimme für die Zahlen 3, 5 und 7 modulare Basislösungen, finde also die leinsten positiven Zahlen, die in Z/(3) Z/(5) Z/(7) die Restetupel (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) repräsentieren. (b) Finde mit den Basislösungen die leinste positive Lösung x der simultanen Kongruenzen Lösung: x = 2 mod 3,x = 4 mod 5 und x = 3 mod 7 (a) (1,0,0): alle Vielfachen von 5 7 = 35 haben modulo 5 und modulo 7 den Rest 0. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. 35 hat modulo 3 den Rest 2, somit hat 70 modulo 3 den Rest 1. Also repräsentiert 70 das Restetupel (1, 0, 0). (0,1,0): hier betrachtet man die Vielfachen von 21, und 21 hat modulo 5 den Rest 1. Also repräsentiert 21 das Restetupel (0, 1, 0). (0,0,1): hier betrachtet man die Vielfachen von 15, und 15 hat modulo 7 den Rest 1. Also repräsentiert 15 das Restetupel (0, 0, 1). (b) Man schreibt (in Z/(3) Z/(5) Z/(7)) Die Lösung ist dann (2,4,3) = 2(1,0,0)+4(0,1,0)+3(0,0,1) = = 269. Die minimale Lösung ist dann = 59. Korollar Sei n eine positive natürliche Zahl mit anonischer Primfatorzerlegung n = p r 1 1 p r 2 2 p r (die p i seien also verschieden und r i 1). Dann gibt es einen anonischen Gruppenisomorphismus (Z/(n)) = (Z/(p r 1 1 )) (Z/(p r )). Insbesondere ist eine Zahl a genau dann eine Einheit modulo n, wenn sie eine Einheit modulo p r i i ist für i = 1,...,.

5 5 Beweis. Dies folgt aus dem chinesischen Restsatz und Lemma Die Eulersche ϕ-funtion Satz Genau dann ist a Z eine Einheit modulo n (d.h. a repräsentiert eine Einheit in Z/(n)) wenn a und n teilerfremd sind. Beweis. Sind a und n teilerfremd, so gibt es nach Satz 4.1 eine Darstellung der 1, es gibt also natürliche Zahlen r,s mit ra + sn = 1. Betrachtet man diese Gleichung modulo n, so ergibt sich ra = 1 in Z/(n). Damit ist a eine Einheit mit Inversem a 1 = r. Ist umgeehrt a eine Einheit in Z/(n), so gibt es ein r Z/(n) mit ar = 1 in Z/(n). Das bedeutet aber, dass ar 1 ein Vielfaches von n ist, so dass also ar 1 = sn gilt. Dann ist aber wieder ar sn = 1 und a und n sind teilerfremd. Leonhard Euler ( ) Definition Zu einer natürlichen Zahl n bezeichnet ϕ(n) die Anzahl der Elemente von (Z/(n)). Man nennt ϕ(n) die Eulersche Funtion. Bemerung Die Eulersche Funtion ϕ(n) gibt also nach Satz an, wie viele Zahlen r, 0 < r < n, zu n teilerfremd sind. Für eine Primzahl ist ϕ(n) = p 1. Eine Verallgemeinerung des leinen Fermat ist der folgende Satz von Euler. Satz Sei n eine natürliche Zahl. Dann gilt für jede zu n teilerfremde Zahl a die Beziehung a ϕ(n) = 1 mod n. Beweis. Das Element a gehört zur Einheitengruppe (Z/(n)), die ϕ(n) Elemente besitzt. Nach Satz 7.4 ist aber die Gruppenordnung ein Vielfaches der Ordnung des Elementes.

6 6 Wir geben abschließend Formeln an, wie man die Eulersche ϕ-funtion berechnet, wenn die Primfatorzerlegung beannt ist. Lemma Es sei p eine Primzahl und p r eine Potenz davon. Dann ist ϕ(p r ) = p r 1 (p 1). Beweis. Eine Zahl a ist genau dann teilerfremd zu einer Primzahlpotenz p r, wenn sie teilerfremd zu p selbst ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn sie ein Vielfaches von p ist. Unter den natürlichen Zahlen p r sind genau die Zahlen 0,p,2p,3p,...,(p r 1 1)p Vielfache von p. Das sind p r 1 Stüc, und daher gibt es p r p r 1 = p r 1 (p 1) Einheiten in Z/(p r ). Also ist ϕ(p r ) = p r 1 (p 1). Korollar Sei n eine positive natürliche Zahl mit anonischer Primfatorzerlegung n = p r 1 1 p r (die p i seien also verschieden und r i 1). Dann ist ϕ(n) = ϕ(p r 1 1 ) ϕ(p r ) = (p 1 1)p r 1 1 (p 1)p r 1. Beweis. Die erste Gleichung folgt aus Korollar und die zweite aus Lemma

7 Abbildungsverzeichnis Quelle = Leonhard Euler by Handmann.png, Autor = Emanuel Handmann (= Benutzer QWer auf Commons), Lizenz = PD 5 7