TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

Transkript

1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2011 Einführung in die Informatik I Übungsblatt 5 Prof. Dr. Helmut Seidl, A. Lehmann, A. Herz, Dr. M. Petter Abgabe: (vor 12 Uhr) Aufgabe 5.1 (P) Iterativ versus Rekursiv Die Fakultätsfunktion ist für positive Zahlen wie folgt definiert: n! = n (n 1)... 1 (n 1) 0! = 1 Schreiben Sie ein Programm Fak.java, das die Fakultätsfunktion auf zwei Varianten berechnet: a) iterativ in der Funktion static int fakit(int n) und b) rekursiv in der Funktion static int fakrec(int n). Lösungsvorschlag 5.1 public class Fak { public static int f a k I t ( int k ) { int r e s u l t = 1 ; while ( k>0){ r e s u l t = r e s u l t k ; k = k 1 ; return r e s u l t ; public static int fakrec ( int n ) { i f ( n == 0) { return 1 ; else { return n fakrec (n 1) ; System. out. p r i n t l n ( f a k I t ( 5 ) ) ; System. out. p r i n t l n ( fakrec ( 5 ) ) ; Aufgabe 5.2 (P) Quersumme berechnen Schreiben sie ein Programm Quersumme.java, das die Quersumme einer von der Konsole einzulesenden Zahl a) iterativ in der Funktion static int quersummeit(int zahl) b) rekursiv in der Funktion static int quersummerec(int zahl) berechnet und anschließend ausgibt. Hinweis: Der Modulo-Operator ist bei dieser Aufgabe sehr hilfreich!

2 2 Lösungsvorschlag 5.2 public class Quersumme { public static int quersummeit ( int zahl ) { int qs =0; while ( zahl >0){ qs=qs+zahl %10; zahl=zahl /10; return qs ; public static int quersummerec ( int zahl ) { i f ( zahl >0){ return zahl%10 + quersummerec ( zahl /10) ; else { return zahl ; System. out. p r i n t l n ( quersummeit (312) ) ; System. out. p r i n t l n ( quersummerec (312) ) ; Aufgabe 5.3 (P) Wurzel ziehen Das Heron-Verfahren (auch Babylonisches Wurzelziehen genannt) ist ein alter iterativer Algorithmus zur Bestimmung einer rationalen Näherung der Quadratwurzel a einer reellen Zahl a. Die Iterationsvorschrift lautet: x n+1 = 1 2 (x n + a x n ) Hierbei bezeichnet a die Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll. Der Startwert x 0 der Iteration kann, solange er nicht gleich Null ist, beliebig festgesetzt werden, wobei zu beachten ist, dass negative Werte gegen die negative Quadratwurzel konvergieren. Schreiben Sie ein Java-Programm Wurzel.java, welches für eine einzulesende Zahl a die Quadratwurzel a näherungsweise, bis auf einen Fehler ɛ berechnet und auf dem Bildschirm ausgibt. Geben Sie eine rekursive und eine iterative Lösung an. Lösungsvorschlag 5.3 public class Wurzel { public static double heronit ( double a, double e p s i l o n ) { double x = a ; while (Math. abs ( x x a ) > e p s i l o n ) { x = ( x + ( a/x ) ) / 2. 0 ; return x ; public static double heronrec ( double a, double e p s i l o n ) { return rechelp ( a, a, e p s i l o n ) ;

3 3 private static double rechelp ( double x, double a, double e p s i l o n ) { i f (Math. abs ( x x a )>e p s i l o n ) { return rechelp ( ( x+(a/x ) ) / 2. 0, a, e p s i l o n ) ; else return x ; System. out. p r i n t l n ( heronit ( 2. 0, ) ) ; System. out. p r i n t l n ( heronrec ( 2. 0, ) ) ; Aufgabe 5.4 (P) Fibonaccizahlen rekursiv Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist definiert als: n 0 = 0 n 1 = 1 n i = n i 1 + n i 2 für i > 1 Schreiben Sie ein Programm, das nach Eingabe des Index i die Fibonaccizahl n i berechnet und ausgibt. Überlegen Sie sich sowohl eine rekursive, als auch eine iterative Lösung. Vergleichen Sie die beiden Lösungen hinsichtlich ihrer Laufzeit. Lösungsvorschlag 5.4 public class Fib { public static long f i b I t ( long i ) { long f i b = 0 ; i f ( i == 0) { f i b = 0 ; else i f ( i == 1) { f i b = 1 ; else { // f i b ( i ) = f i b ( i 1) + f i b ( i 2) ; long f i b m i n u s z w e i = 0 ; long f i b m i n u s e i n s = 1 ; for ( long count = 2 ; count <= i ; count++) { // berechne f i b ( count ) f i b = f i b m i n u s z w e i + f i b m i n u s e i n s ; // s i c h e r e Werte f u e r naechste I t e r a t i o n f i b m i n u s z w e i = f i b m i n u s e i n s ; f i b m i n u s e i n s = f i b ; return f i b ; public static long fibrec ( long i ) { long f i b ; i f ( i == 0) { f i b = 0 ; else i f ( i == 1) { f i b = 1 ;

4 4 else { f i b = fibrec ( i 1) + fibrec ( i 2) ; return f i b ; System. out. p r i n t l n ( f i b I t (10) ) ; System. out. p r i n t l n ( fibrec (10) ) ; Aufgabe 5.5 (P) Basics: Wir malen Pixel aus! Schreiben Sie die Methode public static void dofill(boolean[][] pixel, int px, int py), die prüft, ob Pixel (px, py) gefüllt ist. Ist das Pixel bereits gefüllt, terminiert dieser Aufruf von dofill(), ansonsten wird das Pixel gefüllt und rekursiv dofill() für die benachbarten Pixel (links, rechts, oberhalb und unterhalb) augerufen. Laden Sie die Klasse FillMain.java von der Homepage und speichern Sie sie in Ihrem Projekt neben der Klasse Fill.java, in der Sie dofill() wie beschrieben anlegen. Lösungsvorschlag 5.5 public class F i l l { public static void d o F i l l ( boolean [ ] [ ] p i x e l, int px, int py ) { i f ( p i x e l [ py ] [ px ] ) return ; p i x e l [ py ] [ px ] = true ; f i n a l int maxx = p i x e l [ 0 ]. length ; f i n a l int maxy = p i x e l. length ; i f ( py > 0) d o F i l l ( p i x e l, px, py 1) ; i f ( py < maxy 1) d o F i l l ( p i x e l, px, py+1) ; i f ( px > 0) d o F i l l ( p i x e l, px 1, py ) ; i f ( px < maxx 1) d o F i l l ( p i x e l, px+1, py ) ; Aufgabe 5.6 (P) Challenge: n-damen Auf einem Schachbrett mit n n Feldern sollen n Damen so aufgestellt werden, dass keine Dame eine andere bedroht. Mathematisch ¼ ¼Ä¼ ¼ ¼ ¼ ¼Ä¼ ¼ É ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ É

5 5 gesehen heißt das, n Felder auf einem n n Brett so auszuwählen, dass auf jeder Diagonalen, jeder Zeile und jeder Spalte des Brettes maximal ein Feld gewählt ist. In der Abbildung rechts können Sie ein Beispiel für eine solche Stellung auf einem Standardschachbrett der Größe 8 8 erkennen. Da sich in jeder Spalte genau eine Dame befindet ist es möglich, eine Spielbrettinstanz durch ein eindimensionales Array der Größe n darzustellen. Die Position der Dame in der i-ten Spalte wird dabei durch den Wert in der i-ten Zelle des Arrays repräsentiert. Eine Lösungsmethode besteht darin (bei dieser Darstellung) alle so repräsentierbaren Stellungen rekursiv beginnend ab der Zelle 0 abzusuchen. Dabei soll der rekursive Aufruf der solve() Methode in Rekursionstiefe i der Reihe nach alle Möglichkeiten, die Dame in Zeile i zu platzieren auf Konflikte zu den bereits platzierten Damen (i 1),..., 1 überprüfen. Falls die Platzierung konfliktfrei gelingt, soll solve() mit der Platzierung der nächsten Dame in Zeile i + 1 weitermachen. Falls die Dame zu einem Konflikt führt, ist ein rekursiver Abstieg nicht notwendig, und es kann fortgefahren werden, einen Platz für Dame i zu suchen. Die Summe aller konfliktfreien Platzierungen von n Damen wird dabei über den Rückgabewert der Methode solve() beim Absuchen aller Platzierungen aufgesammelt. Schreiben Sie die Methode int solve(int i,int[] schachbrett) die für das Brett schachbrett mit i bereits konfliktfrei platzierten Damen die Anzahl an möglichen Platzierungen von n-i weiteren Damen ausrechnet. Zur Visualisierung einzelner Schachbretter können Sie die Methode void paintfield(int[] schachbrett) aus der Klasse ChessMiniJava von der Übungshomepage verwenden. Hinweis: Um die Rechenzeit Ihres Programms festzustellen müssen sie die aktuelle Systemzeit abfragen. Sie können das unter Java mit dem Aufruf System.currentTimeMillis() erledigen! Optimieren Sie Ihr Programm so, dass es möglichst schnell läuft! Lösungsvorschlag 5.6 // // NDamen // kommt mit V o r l e s u n g s d a t e n s t r u k t u r e n aus // f u n k t i o n i e r t b i s F e l d g r o e s s e n=14 in wenigen Sekunden auf meinem Rechner // d i e r i c h t i g o p t i m i e r t e Version hat auch mit n=17 kein Problem! // public c l a s s NDamen extends ChessMiniJava { static boolean p l a c e ( int s p a l t e, int z e i l e, int [ ] p ) { for ( int k = 0 ; k < s p a l t e ; k++){ i f ( p [ k ] == z e i l e // Z e i l e n v e r g l e i c h k + p [ k ] == s p a l t e + z e i l e // Diagonale 1 v e r g l i c h e n k p [ k ] == s p a l t e z e i l e ) // Diagonale 2 v e r g l i c h e n return f a l s e ; p [ s p a l t e ]= z e i l e ; return true ;

6 6 static int s o l v e ( int [ ] p, int s p a l t e ) { i f ( s p a l t e==p. length ) return 1 ; // keine Dame mehr zum v e r t e i l e n int damen=0; for ( int z e i l e = 0 ; z e i l e < p. length ; z e i l e ++) // Wir l a u f e n ueber d i e Z e i l e n i f ( p l a c e ( s p a l t e, z e i l e, p ) ) { // kann man Dame in Z e i l e j S p a l t e i h i n s t e l l e n? damen+= s o l v e (p, s p a l t e +1) ; // versuche w e i t e r e Dame in S p a l t e i+1 h i n z u s t e l l e n return damen ; // Konnte keinen P l a t z f u e r eine Dame f i n d e n int n = read ( Bitte d i e Laenge des B r e t ts angeben : ) ; int [ ] p = new int [ n ] ; // Loese ab S p a l t e 0 mit l e e r e n P l a t z i e r u n g e n long timing = System. c u r r e n t T i m e M i l l i s ( ) ; int s o l v e d = s o l v e (p, 0 ) ; timing=system. c u r r e n t T i m e M i l l i s ( ) timing ; System. out. p r i n t l n ( s o l v e d+ S o l u t i o n s in +timing / s e c s ) ;