Lösung von Optimierungsproblemen mit Monte Carlo Methoden

Transkript

1 Lösung von Optimierungsproblemen mit Monte Carlo Methoden Am Beispiel des Problem des Handlungsreisenden Vortragende: Alexandra Vosseler

2 Inhaltsverzeichnis I. Einleitung II. Optimierung mit MCM II.i Vom Metropolisalgorithmus zum Problem des Handlungsreisenden II.ii Das Problem des Handlungsreisenden III. Schlusswort 2

3 I. Einleitung Motivation: komplexe Optimierungsprobleme aus diversen Bereichen Quelle [a] Quelle [c] Quelle [b] 3

4 I. Einleitung Lösung dieser Probleme durch: a) deterministische Methoden Rechenaufwand für exakte Lösung explodiert b) stochastische Optimierung (Monte Carlo Methoden) Lösung mit Abweichungen vom Optimum 4

5 II. Optimierung mit Monte Carlo Methoden Monte Carlo Methode Methode zur numerischen Lösung von analytisch schwer oder unlösbaren Problemen P(x) normiertes statistisches Gewicht A(x) Größe A im Zustand x Ω Phasenraum 5

6 Methoden zur Abschätzung der Zielverteilung Verschiedene Vorgehensweisen mit MC: Importance Sampling (unkorrelierte Stichproben) korrelierte Stichproben Optimierung 6

7 Optimierungsalgorithmen Beispiele für Algorithmen zur Optimierung: Genetische Algorithmen Metropolisalgorithmus Simuliertes Abkühlen Schwellenakzeptanz 7

8 II.i vom Metropolisalgorithmus zum Problem des Handlungsreisenden Der Metropolisalgorithmus: 1953 von Metropolis et al. entwickelt Grundidee: Entwicklung eines Markov-Prozesses zur Schätzung der Zielverteilung Quelle [d] 8

9 Iterationsschritte des Metropolisalgorithmus M1: Schlage unverzerrte Störung des aktuellen Zustands x (t) vor, um neue Konfiguration x` zu erhalten. Berechne die Änderung M2: Generiere Zufallszahl U є [0,1], sodass 9

10 Das Konzept der Energielandschaft Abb. 1: Schematische Darstellung der Energielandschaft eines komplexen Systems [e] 10

11 random walk auf einem Potential random walk im Phasenraum mit kanon. Ensemble V(x) pot. Energie im Zustand x Quelle: [f ] 11

12 Eine Erweiterung des Metropolisalgorithmus: simuliertes Abkühlen naturanaloge Optimierungsmethode, Vorbild: Eisenhüttenwesen Unterschied zu Metropolis: anstelle konstanter Temperatur langsames Absenken der Temperatur Anwendung auf reale Optimierungs- probleme 12

13 II.i Das Problem des Handlungsreisenden Quelle [g] 13

14 Das Problem des Handlungsreisenden kombinatorisches Optimierungsproblem NP-äquivalent (nondeterministicpolynomial time) Beweis 1972: Hamiltonkreisproblem nicht mehr durch direkte Anwendungen motiviert, sondern als Modell zur Entwicklung neuer Optimierungsverfahren 14

15 zu lösendes Problem Quelle [h] 15

16 Das Problem des Handlungsreisenden (N-1)! mögliche Routen, beginnend bei einer bestimmten Stadt primitivste deterministische Lösung mit 3 GHz Prozessor: N=13: N=100: Rechenzeit ~ wenige Minuten Rechenzeit ~ Jahre bisher: Optimum für N max =85900 gefunden (mit dem Programm Concorde) 16

17 Die kürzeste Tour durch Frankreichs 13 größte Städte simuliertes Abkühlen Schritt 1: Erstelle Anfangskonfiguration; wähle Parameter Temperatur 17

18 Simuliertes Abkühlen: Schritt 2 Erstelle neue Tour, berechne Energiedifferenz s i-1 s i s i+1 s j-1 s j s j+1 s i-1 s j s j-1 s i+1 s i s j+1 Vergleiche aktuelle π(x (t) ) und Probekonfiguration π(x ) Behalte x und setze x = x (t+1), wenn die neue Tour energetisch günstiger oder maximal um T ungünstiger ist als die aktuelle Quelle [i] 18

19 Simuliertes Abkühlen: Schritt 3 führe eine vorgegebene Anzahl von derartigen Iterationsschritten durch dann: verringere den Parameter Temperatur um ΔT Wiederhole diesen Prozess solange, bis T 0 19

20 Ergebnis für die 13 größten Städte Frankreichs 20

21 III. Schlusswort Annäherung an gesuchtes Optimum durch geschickte Wahl von Parametern eines Algorithmus Verbesserung im Vergleich zu deterministischen Methoden aber: falsche Wahl von Schätzern kann auch zu Verschlechterungen führen 21

22 Quellen Literatur: [1] Jun S. Liu, Monte Carlo Strategies in Scientific Computing, Springer [2] K. H. Hoffmann, M. Schreiber, Computational Statistical Physics From Billiards to Monte Carlo, Springer [3] Bolhuis et al., Transition Path Sampling: Throwing Ropes Over Rough Mountain Passes, in the Dark, Annual Review of Physical Chemistry, Volume 53, 2002 [4] C. J. Luchsinger, Angewandte Stochastik Universität Basel 22

23 Quellen (2. Teil) Abbildungen: [a] leiterbahnen_sxc.jpg [b] Daimler, Mercedeswerk Marienfelde [c] [d] [e] aus [3] S.318 (Anhang) [f] aus [3] S.294 [g] [h] _problem [i] np/tsp/roundtrip.htm 23