Magnetostatik. Feldberechnungen

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1 Magnetostatik 1. Pemanentmagnete. Magnetfeld stationäe Stöme i. Elektomagnetismus Phänomenologie ii. Magnetische Fluss Ampeesches Gesetz iii. Feldbeechnungen mit Ampeschen Gesetz i.das Vektopotenzial. Biot-Saatsches Gesetz und Anwendungen. Käfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld 4. Mateie im Magnetfeld Elektostatik Wie kann aus eine ogegebenen Ladungseteilung das elektische Feld beechnet weden? Feldbeechnungen Magentostatik Wie kann aus eine ogegebenen Stometeilung das magnetische Feld beechnet weden? Supepositionspinzip Gauß sche Satz Feld duch Hüllfläche gleich de eingeschlossenen Ladung, gilt imme, abe Feldbeechnung nu fü Anodnungen mit Symmetien möglich Feldbeechung aus Potenzial Übelageung de Potenziale de Teilladungen und Bildung des Gadienten, fü beliebige Anodnungen mit endlichem Aufwand lösba (Lösung de Poissongleichung Supepositionspinzip Ampeesches Gesetz Ringintegal übe geschlossene Kue gleich dem Stom, Feldbeechnung nu fü Anodnungen mit Symmetien möglich??? Hat ein magnetisches Feld ein Potenzial? Wenn a, kann es zu Feldbeechnung ewendet weden? 1

2 Das Vektopotenzial 1 Allgemeinste (und einfachste Methode zu Feldbeechnung in Elektostatik ρ Beechnung des Potenzials ϕ ( ( ϕ 1 dv V 1 Feld E Gadient des Potenzials E gadϕ ϕ Gibt es auch fü das Magnetfeld ein Potenzial, das die Feldbeechnung emöglicht? Annahme B als Gadient eines skalaen Potenzials dastellba B gadφ magn Einsetzen in Ampeesches Gesetz: ot B I ot B ot ( gadφ φ magn magn Widespuch B nicht als Gadient eines skalaen Potenzials dastellba Das Vektopotenzial Definition A( ektoielle Feldgöße gegeben duch Relation B ( ot A( A( A( Vektopotenzial Alledings Vektopotenzial nicht eindeutig bestimmt, muss dazu noch Zusatzbedingung efüllen: di A ( Coulombeichung gilt nu im stationäen Fall

3 Magnetfeld beliebige Stometeilungen Stategie: Beechnung des Vektopotenzials A B duch Bildung on ot A beechnen Wie kann ich das Vektopotenzial eine beliebigen Stometeilung bestimmen? B ot A ot B ot ot A gad di A di gad A A A Vektopotenzial aus Stometeilung bestimmba: Lösen on DGL fü dei Komponenten (x,y,z sonst äquialent zu Poissongleichung fü elektostatisches Feld Hoffnung: Lösungen können übenommen weden Vektopotenzial eine Stometeilung dv Volumen V 1 1 A ( 1 Stomdichte im Volumselement dv an Stelle ezeugt Vektopotenzial da in 1 ; fü gesamtes Vektopotenzial in A( 1 Integation übe Volumen ( ( A 1 dv Volumen 1 ( ( ( B 1 ot A 1 dv 4 Beechnung on B aus A π Volumen 1 ( e1 B( 1 dv e 1 Einheitsekto in Richtung 1 Volumen 1

4 Feldgleichungen ( ( A 1 dv 1 ( ( e B 1 1 Vektopotenzial 1 dv Integal fü Komponenten lösen Integal fü Komponenten lösen Hilft es übehaupt das Vektopotenzial einzufühen? Im Pinzip Integation fü A leichte (kein Keuzpodukt Fü einfache Poblem meist nicht: Lösen on Integal, dann noch ot-bildung Symmetien B: nu in Symmetiepunkt, A auch in Umgebung beechnen, damit Ableitung gebildet weden kann A hat physikalische Bedeutung: Beeich B null, abe nicht A (lange Spule Quantenmechanische Beeinflussung on Teilchen Gesetz on Biot-Saat Stomfluss in einem dünnen Daht: dv dads Ids Volumsintegal zu Linienintegal e1 ds db( 1 I 1 Biot-Saat Gesetz e1 ds B( 1 I Leite ds 1 1 Jedes Leitestück mit Länge ds und Stom I ezeugt Feld db Leite mit Länge L und Stom I A( ezeugt Feld B 1 Punkt P( 1 db( 1 B nomal auf Ebene aufgespannt on d s und 1 Daht in Bildebene B in Bildebene hinein 4

5 Magnetfeld eine Leiteschleife Leiteschleife mit Radius R on Stom I duchflossen Gesucht: Magnetfeld B entlang de z- Achse Als Funktion on z Veeinfachung Schleife symmetisch zu Uspung in x-y Ebene Aus Symmetiebedingungen B(z B z (z nu Komponenten in z- Richtung IR B z ( z + R ( z / 1/z Magnetfeld eine Leiteschleife: Allgemein Integal ohne Symmetie nicht exakt lösba Fü Annahme > > R B 4 π θ ( I ( cos( θ e + sin( θ e Feld egleichba mit dem eines kuzen Stabmagneten Stomschleife magnetische Dipol Magnetisches Dipolmoment p Daaus egibt sich m B p El. Dipol el E pm I A Fläche A π R e z R z I B( 5

6 Magnetische Felde Feld eine Leiteschleife Feld eines kuzen Stabmagneten Magnetische Dipol Zylindespule endliche Länge Länge L B Ampeeschen Gesetz: B N I/ L Annahmen seh lang und dünn B im Inneen homogen Duchmesse R Exakte Rechnung mit Biot-Saat I z + L / z L / B( z N L R + z + L / R + z L ( ( / Mittelpunkt de Spule z, L>>R I L B( z N L R + L / 4 I N L >> R L Ende de Spule z L/ (L>>R I B( z L / N L 6

7 Beispiel Biot-Saat Magnetfeld im Inneen eine Leiteschleife mit meheen Windungen Stom I 1A Radius de Schleife R 9.5 cm Windungszahl N Innees de Leiteschleife z B ( z I N 1 R + L / 4 L 1cm R>>L: B(z mt L 1 cm B(z 1,8 mt B(z L/,9 mt Übepüfung duch Messung Helmholtz Spulenpaa d B(z (auf Achse R z z Helmholtz- Spulenpaa Optimale Homogenität im Spulenzentum Theoie: B(z homogen, wenn Helmholtzbedingung efüllt d R Anwendung: Ezeugung on homogenen Magnetfelden Spulenpaae: Kompensation on Magnetfelden (Edmagnetfeld 7