Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

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1 Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt W (/ ). Die Normale im Punkt P( 3 / ) hat die Steigung. Bestimmen Sie den Funktionsterm. Für t > 0 ist die Funktion f t gegeben durch Das Schaubild von f t heißt t ft (x) x x x ; x R. K t... (9 Punkte) Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von K. Zeigen Sie: Die Tangente an K im Schnittpunkt mit der y-achse ist parallel zu der Geraden durch die Wendepunkte. Zeichnen Sie K... (7 Punkte) Die Gerade mit der Gleichung y x schließt mit K zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie den exakten Inhalt eines der beiden Flächenstücke...3 (7 Punkte) Bestimmen Sie die Ortskurve der Wendepunkte von.3 Für 0 a ist die Funktion h a gegeben durch h a (x) a sin(x a), x R. Das Schaubild von h a heißt C a..3. (6 Punkte) Wie entsteht das Schaubild K t, die links von der y-achse liegen. C a aus dem Schaubild der Funktion k mit k(x) sin(x)? Geben Sie zwei Schnittpunkte mit der x-achse, einen Hoch- und einen Tiefpunkt von C a an.

2 .3. (8 Punkte) Die folgenden Abbildungen zeigen Schaubilder einer Funktion h a, einer Ableitungsfunktion h a, einer Stammfunktion H a 3 von h a 3 und einer weiteren Funktion. Ordnen Sie die Schaubilder den Funktionen zu und begründen Sie diese Zuordnung. Geben Sie a, a und a 3 an.

3 Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. Gegeben ist für jedes a > 0 die Funktion f a durch fa(x) ax e ; x R K a ist das Schaubild von f a... (6 Punkte) Betrachten Sie K a für verschiedene Werte von a und geben Sie drei gemeinsame Eigenschaften an. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von K a... (6 Punkte) Die Tangente und die Normale von K im Punkt S(0/) begrenzen zusammen mit der x-achse ein Dreieck. Begründen Sie, dass das Dreieck gleichschenklig ist und berechnen Sie seinen Umfang...3 ( Punkte) Die folgende Abbildung zeigt ein Schaubild K a mit der zugehörigen Tangente im Punkt S(0/) sowie die Gerade mit der Gleichung x = u. Begründen Sie, dass das Schaubild zum Wert a = 0, gehört. Berechnen Sie für u = 3 den Inhalt der grau unterlegten Fläche. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt für u > 3 den Wert nicht überschreitet. 3

4 .. (6 Punkte) Für a > 0 und c > 0 ist eine Funktion g gegeben durch g(x) fa(x c) ; x R Wie entsteht das Schaubild von g aus K a? g(x) beschreibt den Wert eines PKW in nach x Jahren. Beim Kauf (x = 0) hat der PKW einen Wert von Der jährliche Wertverlust beträgt 6%. Wie müssen a und c gewählt werden, damit g diesen Sachverhalt beschreibt?. Gegeben ist die Funktion h mit h(x) cos x ; x [- ; 3] C ist das Schaubild von h... ( Punkte) Bestimmen Sie die Nullstelle und den Wertebereich von h. Zeichnen Sie C... ( Punkte) Durch die Achsenschnittpunkte von C ist eine Gerade festgelegt. Es gibt eine Tangente an C, die parallel zu dieser Gerade verläuft. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes...3 (8 Punkte) In die Fläche, die C mit den Koordinatenachsen einschließt, soll ein Viereck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.

5 Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe. Der Funktionsansatz lautet 3 f(x) ax bx cx dx e 3 f(x) ax 3bx cx d f(x) ax 6bx c Da im Ansatz Parameter enthalten sind, werden Bedingungen benötigt, um eine eindeutige Funktionsgleichung aufzustellen. S(0/) liegt auf dem Schaubild: f(0) e W (/ ) liegt auf dem Schaubild: f() a b c d e P( 3 / ) liegt auf dem Schaubild: f( 3) 8a 7b 9c 3d e Bei x = existiert eine Wendestelle: f () 0 a 6b c 0 Bei x = -3 gilt mnorm mtan g f( 3) 08a 7b 6c d Mit dem GTR kann das Gleichungssystem gelöst werden: a, b = 0, c, d =, e = f(x) x x x.. K ist das Schaubild der Funktion, die bereits in. berechnet wurde. 3 f(x) x x x f(x) x x f(x) x f (x) x 3 Bedingung für Wendepunkte: f (x) 0 x 0 x Es gilt f ( ) 0, damit existieren an diesen beiden Stellen Wendepunkte. 3 7 W (/ ) und W ( / ) Man hätte die Wendepunkte bei dieser Aufgabenstellung auch direkt mit dem GTR ermitteln können. Die Gerade, die durch die beiden Wendepunkte verläuft, besitzt die Steigung 3 7 y y m x x ( ) Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-achse besitzt die Steigung f (0). Da beide Steigungen identisch sind, sind die Geraden parallel.

6 Schaubild von K.. Da eine exakte Berechnung verlangt ist, genügt es nicht, die Fläche mit dem GTR zu ermitteln. Zunächst werden die Schnittpunkte der beiden Schaubilder benötigt: x x x x x ( x Als Lösung ergibt sich x = 0 oder x 6. Fläche von einem der Flächenstücke 6 ) 0 A = (( x ) ( x x x ))dx ( x 0 60 x x Hinweis: Das andere Flächenstück ist genau so groß. 6 x )dx 6

7 ..3 Zur Bestimmung der Ortskurve der Wendepunkte, müssen zunächst die Wendepunkte von K ermittelt werden. t 3 ft (x) x t x ft (x) x t ft (x) x 3 Bedingung für Wendepunkte: ft (x) 0 x t 0 x t Es gilt f t ( t) t 0 Damit gibt es zwei Wendepunkte: W ( t / t t ) und W(t / t t ) Wegen t > 0 liegt W links von der y-achse. Somit ist die Ortskurve von W gesucht: x t t x y t t ( x) ( x) x x Dies ist die Gleichung der Ortskurve..3. Der Faktor a hat die Bedeutung der Amplitude. Es ist der Streckfaktor parallel zur y-achse. Der Ausdruck (x-a) bedeutet für a > 0 eine Verschiebung um a Einheiten nach rechts. Das Schaubild von k(x) sin(x) hat Nullstellen z.b. bei x = 0 und x. Durch den Faktor a (Amplitude) ändert sich die Lage der Nullstellen nicht. Der Ausdruck x a verschiebt die Nullstellen allerdings um a Einheiten nach rechts. Somit lauten zwei Nullstellen der Funktion h a x 0 a a und x a. Das Schaubild von k(x) sin(x) hat einen Hochpunkt H( /) und einen Tiefpunkt 3 T( / ). Durch den Faktor a (Amplitude) ändern sich die y-werte der Extrempunkte; diese Werte mit dem Faktor a multipliziert. Der Ausdruck x a verschiebt die Extrempunkte und damit ihre x-werte um a Einheiten nach rechts. 3 Somit lauten zwei Extrempunkte der Funktion h a H( a / a) und T( a / a).3. Mit (x) a sin(x a) gilt (x) a cos(x a) und (x) a cos(x a) C, C beliebig h a h a Bei allen drei Funktionen ist die Amplitude a. Aus den Schaubildern kann man entnehmen: Schaubild besitzt die Amplitude a =, Schaubild besitzt die Amplitude a = 0, Schaubild 3 besitzt die Amplitude a = Schaubild besitzt die Amplitude a = H a Da für den Parameter a laut Aufgabenstellung Funktionen gehören und scheidet damit aus. 0 a gilt, kann Schaubild 3 zu keiner der 7

8 Da alle Schaubilder auch um den a-wert nach rechts verschoben sind, war das Schaubild bevor es um a =, nach rechts verschoben wurde, eine Sinusfunktion. Somit muss Schaubild der Funktion h a entsprechen mit a =, Analog war das Schaubild, bevor es um a = nach rechts verschoben wurde, eine Kosinusfunktion. Somit muss Schaubild der Funktion h a entsprechen mit a =. Somit gehört das Schaubild zu einer nach oben verschobenen Stammfunktion a = 0,. H a mit 8

9 Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe.. Gemeinsame Eigenschaften: Alle Schaubilder laufen durch den Punkt P(0/). Für x gilt f(x) 0 (x-achse ist waagrechte Asymptote) Alle Schaubilder verlaufen oberhalb der x-achse. Die Schaubilder sind streng monoton fallend und besitzen weder Extrem- noch Wendepunkte. Das Krümmungsverhalten wird mit der zweiten Ableitung f a untersucht. ax ax ax fa(x) e fa (x) a e fa (x) a e Da für alle x-werte gilt f a (x) 0, ist das Schaubild von f überall linksgekrümmt... Tangentensteigung m f(0) und damit Tangentengleichung y x tan g Normalensteigung: m Norm und damit Normalengleichung y x Die Schnittstellen der Normale und der Tangente mit der x-achse sind P(/0) bzw. Q(-/0). Da die Strecken PS und QS sind gleich lang (Symmetrie!) und damit ist das Dreieck gleichschenklig. 9

10 Umfang des Dreiecks: Es gilt PS (Pythagoras) und damit LE U Dreieck..3 Die einzeichnete Tangente geht durch die Punkte S(0/) und R(/0). Sie besitzt die Steigung m. Es gilt (0) a und damit muss a = 0, sein. f a Fläche für u = 3: Die Fläche wird in zwei Teile zerlegt, da die untere Randkurve bis zur Stelle x = die Tangente darstellt und ab x = die x-achse ist. Die Tangentengleichung lautet y x 3 0,x 0,x 0,x A (e ( x ))dx e dx e x x 0 0,, e ( 0) e e e 0, FE Für allgemeines u > 3 gilt: u 0,x 0,x 0,x A (e ( x ))dx e dx e 0 0,u 0,u e ( 0) e e e x x 0 0,x e 3 0,x e u Da der Summand 0,u e immer negativ ist, gilt A < für alle u > 3.. Das Schaubild von g entsteht aus g(x) a(x c) ax ac fa(x c) e e e g(0) 0000 ac e Es soll gelten: 0000 () K a durch eine Verschiebung um c Einheiten nach rechts. Bei einem jährlichen Verlust von 6% bedeutet dies g() = 6800 Euro a ac g() 6800 e e 6800 () a Einsetzen von () in () ergibt: e e 0,8 a ln(0,8) 0, 7 0,7c Eingesetzt in () ergibt: e ,7c ln(0000) c 6, 80 Die Funktion lautet g (x) 0,7(x 6,80) e a 0

11 .. Schaubild von h: Nullstelle: cos x 0 Die Kosinusfunktion cos(u) besitzt bei u (k ) mit ganzzahligem k Nullstellen, also 3 3 bei u {...,,,,,...}. Folglich besitzt h im Intervall x [ ;3 ] nur für x = eine Nullstelle, denn dort nimmt die Klammer den Wert an. Wertebereich von h: An der Stelle x = 0 wird der höchste Wert h(0) = angenommen. Der kleinste y-wert wird gemäß Schaubild bei x = 3 angenommen mit h(3) 0,707 Damit lautet die Wertemenge W = [ ;].. Die Achsenschnittpunkte lauten S(0/) und N(/0). 0 Die Steigung der Gerade durch S und N ist m. 0 Gesucht ist nun ein Punkt auf dem Schaubild von h mit der Steigung h (x) sin x sin x mit x [ ;3 ]. Als Lösung mit dem GTR ergibt sich x = 0,879. Mit h(0,879) 0, 77 folgt B(0,879/0,77) als Berührpunkt.

12 ..3 Da das gesuchte Viereck keine bestimmte Gestalt haben muss, ergibt sich der größte Flächeninhalt, wenn die Eckpunkte O, S und N möglichst weit außen gewählt werden. Der Punkt R(u/f(u)) mit 0 u muss nun so gewählt werden, dass das Viereck ONRS eine möglichst große Fläche liefert. Es gilt: A Viereck A Trapez ADreieck A Viereck ( h(u)) u ( u) h(u) ( cos u) u ( u) cos u Mit dem GTR ergibt sich für u = 0,879 eine maximale Fläche von A =, FE.