1 Folgen und Reihen. Schreibweise: (a n ) n N.

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1 Krlsruhe Institute of Technology 1 Folgen und Reihen (1.1) Eine Folge reeller Zhlen ist eine Abbildung N R. Schreibweise: ( n ) n N. (1.2) Sei ( n ) n N eine Folge. ) Für n j N mit 1 n 1 < n 2 <... heißt ( nj ) j N eine Teilfolge von ( n ) n N. b) Die Folge ( n ) n N heißt beschränkt, flls es ein S R gibt mit n S für lle n N. c) Die Folge ( n ) n N heißt konvergent, wenn R existiert mit: für lle ε > 0 existiert N = N(ε) N mit n < ε für lle n > N. = lim n n heißt Grenzwert (Limes). d) Die Folge ( n ) n N heißt Cuchy-Folge, wenn für lle ε > 0 ein N = N(ε) N existiert mit n k < ε für lle n,k > N. (1.3) Es gilt: ) ( n ) n N konvergent = ( n ) n N beschränkt. b) ( n ) n N konvergent = ( n ) n N Cuchy-Folge. c) Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. (1.4) Seien ( n ) n N und (b n ) n N konvergente Folgen. Dnn gilt: ) ( n + b n ) n N ist konvergent und es gilt lim ( n + b n ) = lim n + lim b n n n n b) ( n b n ) n N ist konvergent und es gilt lim ( n b n ) = lim n lim b n n n n 1 c) Sei lim n 0. Dnn gilt: lim = 1 n n n lim. n n C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 1

2 Krlsruhe Institute of Technology 1 Folgen und Reihen (1.5) ( n ) n N heißt monoton wchsend, wenn n n+1 für lle n N. (1.6) Jede monoton wchsende und nch oben beschränkte reelle Folge ( n ) n N ist konvergent, und es gilt lim n n = sup{ n n N}. (1.7) Stz von Bolzno-Weierstrß: Jede beschränkte reelle Folge ( n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge. (1.8) Die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen von ( n ) n N heißen Häufungspunkte von ( n ) n N. (1.9) Jede reelle Cuchy-Folge ist konvergent. n (1.10) Sei ( k ) k N eine Folge. Dnn heißt s n := k die n-te Prtilsumme, (s n ) n N heißt Reihe. Konvergente Reihen bilden einen Vektorrum, d.h. wenn k und b k konvergieren, dnn konvergieren uch ( k + b k ) und (λ k ) für λ R, und es gilt ( k + b k ) = k + b k und λ k = λ k. (1.11) Notwendige Bedingung: k konvergent = lim k = 0. k C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 2

3 Krlsruhe Institute of Technology 1 Folgen und Reihen (1.11) Konvergenz-Kriterien ) Cuchy-Kriterium k konvergent ε > 0 N = N(ε) m n N : m k < ε k=n b) Leibniz-Kriterium: Sei ( k ) k N eine monoton fllende Folge mit k 0 und lim k = 0. k Dnn konvergiert die lternierende Reihe ( 1) k k, und es gilt die Einschließung 2n 1 ( 1) k k ( 1) k 2n k ( 1) k k. (1.12) Eine Reihe k heißt bsolut konvergent, wenn die Reihe k konvergiert. (1.13) ) k bsolut konvergent die Folge (A n ) n N mit A n = n k ist beschränkt. k bsolut konvergent. b) Mjorntenkriterium: k b k und b k konvergent = c) Quotientenkriterium: Sei k 0 und q < 1 mit k+1 q für k k0. k Dnn ist k bsolut konvergent. d) Wurzelkriterium: q < 1 mit k k q für k k 0 = k bsolut konvergent. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 3

4 Krlsruhe Institute of Technology 1 Folgen und Reihen (1.14) Sei σ : N N bijektiv. Dnn ist σ(k) eine Umordnung von k. (1.15) Sei k bsolut konvergent. Dnn ist jede Umordnung σ ebenflls bsolut konvergent mit k = σ(k). (1.16) Seien k und b k bsolut konvergent. n Dnn ist c n mit c n = k b n k bsolut konvergent, und es gilt n=0 ( )( k ) b k = c n. n=0 C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 4

5 Krlsruhe Institute of Technology 2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit (2.1) Sei D R. ) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge (x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D, wenn ein ε > 0 existiert mit ]x 0 ε,x 0 + ε[ D. D 0 sei die Menge der inneren Punkte von D. c) D heißt offen, wenn D = D 0 ist. d) D heißt bgeschlossen, wenn R \ D offen ist. e) D = D D heißt Abschluss von D. f) D heißt beschränkt, flls C > 0 existiert mit D [ C,C]. g) E D heißt offen in E, wenn zu jedem x 0 E ein ε > 0 existiert mit ]x 0 ε,x 0 + ε[ D E. (2.2) Sei D R und f : D R eine Funktion. ) Wenn zu x 0 D ein y 0 R existiert, so dss für jede Folge (x n ) n N mit x n D, x n x 0 und lim x n = x 0 die Folge (f (x n )) n N konvergiert mit lim f (x n ) = y 0, dnn heißt f (x) n n konvergent für x x 0 gegen den Grenzwert y 0. Schreibweise: lim f (x) = y 0. x x0 b) Einseitige Grenzwerte: lim 0 x x 0 für lle monoton steigenden Folgen (x n ) us D \ {x 0 } mit Grenzwert x 0 gilt lim f (x n ) = y 0 n lim 0 x x 0 + für lle monoton fllenden Folgen (x n ) us D \ {x 0 } mit Grenzwert x 0 gilt lim f (x n ) = y 0. n C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 5

6 Krlsruhe Institute of Technology 2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit (2.3) Sei D R und f : D R eine Funktion. ) f heißt stetig ergänzbr in x 0 D, wenn lim x x0 f (x) R existiert. b) f heißt stetig in x 0 D D, flls lim x x0 f (x) = f (x 0 ) ist. c) f heißt stetig, flls f stetig in llen Punkten x 0 D D ist. ( ) (2.4) lim f (x) = f (x 0 ) x x0 ε > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ = f (x) f (x 0 ) < ε. (2.5) f : [,b] R sei stetig, und es gelte f () < y < f (b). Dnn existiert x 0 ],b[ mit f (x 0 ) = y. (2.6) f : D R heißt streng monoton wchsend, wenn für x,y D gilt: x < y = f (x) < f (y). Entsprechend: monoton wchsend x < y = f (x) f (y) monoton fllend x < y = f (x) f (x). (2.7) Sei f : [, b] R streng monoton wchsend. Dnn gilt: ) f 1 : [f (),f (b)] R ist wohldefiniert und streng monoton wchsend. b) Wenn f stetig ist, dnn ist uch f 1 stetig. (2.8) Sei f : [,b] R stetig. Dnn ist f ([,b]) beschränkt, und es existieren x 1,x 2 [,b] mit f (x 1 ) = min x [,b] f (x) f (x 2) = mx x [,b] f (x). C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 6

7 Krlsruhe Institute of Technology 2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit (2.9) D R heißt kompkt, wenn D bgeschlossen und beschränkt ist. (2.10) f : D R heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt: ( ) ε > 0 δ > 0 x,x 0 D : x x 0 < δ = f (x) f (x 0 ) < ε. (2.11) Sei D R kompkt und f : D R stetig. Dnn ist f gleichmäßig stetig. (2.12) Sei D R und f : D R. Zu x 0 D D heißt f (x) f (x 0) Differenzenquotient. x x 0 f (x) f (x f heißt differenzierbr im Punkt x 0, wenn der Grenzwert lim 0 ) existiert. x x0 x x 0 (2.13) Sei f : D R differenzierbr im Punkt x 0. Dnn ist f stetig in x 0. (2.14) Sei ϕ : D R, 0 D D, k N {0}. ) ϕ(h) = o(h k ) lim h 0 ϕ(h) h k = 0 b) b) ϕ(h) = O(h k ) C > 0,h 0 > 0 mit ϕ(h) Ch k für h < h 0,h D Es gilt f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = o(x x 0 ). C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 7

8 Krlsruhe Institute of Technology 2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit (2.15) Seien f,g : D R differenzierbr in x 0 D D. Dnn gilt: ) Die Ableitung ist liner: (αf + βg) (x 0 ) = αf (x 0 ) + βg (x 0 ) b) f g ist differenzierbr in x 0 mit (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ) (Produktregel) c) Sei g(x 0 ) 0. Dnn ist f ( f ) (x0 g differenzierbr in x 0 mit ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) ( g g(x0 ) ) 2 (Quotientenregel) (2.16) Seien f : D R,g : E R, x 0 D D mit y 0 = f (x 0 ) E E. Sei f differenzierbr in x 0 und g differenzierbr in y 0. Dnn gilt: ) g f : D R ist in x 0 differenzierbr in x 0 mit (g f ) (x 0 ) = g (y 0 )f (x 0 ). b) Sei zusätzlich f injektiv und f (x 0 ) 0. Dnn ist die Umkehrfunktion in y 0 differenzierbr mit (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 8

9 Krlsruhe Institute of Technology 2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit (2.17) Sei f : D R, D R, x 0 D. ) x 0 ist ein globles Mximum von f in D, wenn f (x) f (x 0 ) für x D. b) x 0 ist ein strenges globles Mximum von f in D, wenn f (x) < f (x 0 ) für x D \ {x 0 }. c) x 0 ist ein lokles Mximum von f, wenn ein δ > 0 existiert mit f (x) f (x 0 ) für x D ]x 0 δ,x 0 + δ[. d) x 0 ist ein strenges lokles Mximum von f, wenn ein δ > 0 existiert mit f (x) < f (x 0 ) für x D ]x 0 δ,x 0 + δ[, x x 0. Anlog werden Minimim definiert. Ein Extremum ist ein Minimum oder ein Mximum. (2.18) Sei f : [,b] R, und sei x 0 ],b[ ein lokles Extremum. Dnn gilt: Wenn f in x 0 differenzierbr ist, dnn ist f (x 0 ) = 0 (notwendige Bedingung). (2.19) Sei f : [, b] R stetig und differenzierbr in ], b[. ) Flls f () = f (b), dnn existiert x 0 ],b[ mit f (x 0 ) = 0 (Stz von Rolle). b) Es existiert x 0 ],b[ mit f (x 0 ) = f (b) f () b (Mittelwertstz). (2.20) Sei f : [,b] R zweiml stetig differenzierbr. Wenn für eine kritische Stelle x 0 ],b[ mit f (x 0 ) = 0 zusätzlich f (x 0 ) > 0 gilt, dnn ist x 0 ein strenges lokles Minimum. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 9

10 Krlsruhe Institute of Technology 2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit (2.21) Seien f,g : ],b[ R differenzierbr, und für x 0 ],b[ gelte f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0 und g (x) 0 für x x 0. Dnn gilt die Regel von l Hospitl: f (x) f (x) Wenn der Grenzwert lim x x0 g existiert, dnn ist lim (x) x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). (2.22) Sei f : [, b] R eine Funktion. ) f heißt konvex, wenn für x 1 < x x 2 b gilt f (x) f (x 1 ) + x x 1 x 2 x 1 ( f (x2 ) f (x) ). b) f heißt konkv, wenn f konvex ist. c) f heißt streng konvex, wenn für x 1 < x < x 2 gilt f (x) < f (x 1 ) + x x 1 x 2 x 1 ( f (x2 ) f (x 1 ) ). d) f heißt streng konkv, flls f streng konvex ist. (2.23) Sei f : [,b] R eine konvexe Funktion, und sei x 0 [,b] ein lokles Minimum. Dnn ist x 0 ein globles Minimum. (2.24) Sei f : [, b] R eine zweiml stetig differenzierbre Funktion. Dnn gilt: ) f (x) > 0 für x ],b[ = f (x) streng konvex. b) f (x) < 0 für x ],b[ = f (x) streng konkv. (2.25) Sei f : [,b] R eine Funktion und x 0 ],b[. Wenn ein ε > 0 existiert mit f konvex in ]x 0 ε,x 0 [ und f konkv in ]x 0,x 0 + ε[ (oder umgekehrt), dnn heißt x 0 Wendepunkt von f. (2.26) Sei f : [, b] R zweiml stetig differenzierbr. Dnn gilt: ) Wenn x 0 ],b[ ein Wendepunkt ist, dnn gilt f (x 0 ) = 0 (notwendige Bedingung). b) Wenn zusätzlich f dreiml stetig differenzierbr ist, und wenn f (x 0 ) 0 ist, dnn ist x 0 ein Wendepunkt (hinreichende Bedingung). C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 10

11 Krlsruhe Institute of Technology 2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit (2.29) Sei f : [,b] R n-ml stetig differenzierbr, und sei x 0 ],b[. Dnn existiert eine Drstellung f (x) = T n (x;x 0 ) + R n (x;x 0 ) n mit dem Tylor-Polynom n-ten Grdes T n (x;x 0 ) = f (k) (x 0 ) k! 1 d k k! dx k f (x 0)(x x 0 ) k Restglied R n (x;x 0 ) = o ( (x x 0 ) n). Wenn f (n + 1)-ml stetig differenzierbr ist, dnn existiert zu jedem x [,b] eine Zwischenstelle ξ = x 0 + θ(x x 0 ) mit 0 < θ < 1 und und dem 1 d k+1 R n (x;x 0 ) = (k + 1)! dx k+1 f (ξ )(x x 0) n+1. (2.30) cosx ht genu eine kleinste Nullstelle x 0 ]0, 6[. Wir definieren π = 2x 0. (2.31) Sei f : [,b] R zweiml stetig differenzierbr, und sei x ],b[ eine Nullstelle von f mit f (x ) 0. Dnn konvergiert ds Newton-Verfhren x n+1 = x n f (x n )/f (x n ) in der Nähe von x qudrtisch, d.h. flls x 0 x klein genug, gilt x n+1 x < C x n x 2. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 11

12 Krlsruhe Institute of Technology 2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit (2.32) Zu ( k ) k N {0} und x 0 sei f (x) = k (x x 0 ) k die Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x 0 mit den Koeffizienten 0, 1, 2,... (2.33) Für eine Potenzreihe f (x) = k (x x 0 ) k ist der Konvergenzrdius r definiert durch: ) r = 0, flls die Reihe nur für x = x 0 konvergiert; b) r =, flls die Reihe für lle x konvergiert; c) flls die Reihe für ein x 1 bsolut konvergiert und für ein x 2 divergiert, dnn existiert r = sup{ρ > 0: die Reihe konvergiert bsolut für lle x mit x x 0 < ρ}. (2.34) Für die Potenzreihe ) Wenn c = lim k k+1 k (x x 0 ) k gilt: existiert, dnn ist der Konvergenzrdius r = k k b) Wenn d = lim k existiert, dnn ist der Konvergenzrdius r = k 0 c = 1 c c 0 c = 0 0 d = 1 d d 0 d = 0 C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 12

13 Krlsruhe Institute of Technology 2 Stetigkeit und Differenzierbrkeit (2.35) Sei D R und sei (f n ) n N eine Funktionenfolge mit f n : D R. ) Wenn für lle x D der Grenzwert lim f n (x) existiert, dnn ist die Grenzfunktion n f (x) = lim f n (x) punktweise definiert (punktweise Konvergenz). n b) Sei f = sup f (x). Wenn zusätzlich lim f n f = 0 gilt, dnn ist die Konvergenz x D n gleichmäßig uf D (gleichmäßige Konvergenz). (2.36) Sei D R, f n : D R stetig für n N, und sei f (x) = lim f n (x) wohldefiniert. n Wenn f n f gleichmäßig konvergiert, dnn ist f stetig. (2.37) Seien f k : D R stetig, (D R, k N {0}) und sei s n (x) = konvergent gegen f k (x) für x D. Dnn ist f k (x) stetig. (2.38) Sei f (x) = k (x x 0 ) k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius r > 0. n f k (x) gleichmäßig Dnn ist f stetig für x (x 0 r,x 0 + r), die bgeleitete Potenzreihe g(x) = k k (x x 0 ) k 1 ht ebenflls den Konvergenzrdius r, und f ist differenzierbr mit f (x) = g(x). (3.1) F : [,b] R heißt Stmmfunktion zu f, wenn F differenzierbr uf [,b] ist, und wenn F (x) = f (x) für x [,b] gilt. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 13

14 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.1) ) Z = {x 0,...,x n } mit = x 0 < x 1 < < x n = b heißt eine Zerlegung von [,b] in endlich viele Teilintervlle. Z (oder Z [, b]) sei die Menge ller Zerlegungen von [, b]. b) Z = mx x i x i 1 heißt Feinheit der Zerlegung. i=1,...,n n c) R(f,Z,ξ ) = (x i 1 x i )f (ξ i ) Riemnn-Summe zu Zwischenstellen ξ i [x i 1,x i ] i=1 n d) U(f,Z ) = (x i 1 x i ) inf f (x) Untersumme i=1 x [x i 1,x i ] n e) O(f,Z ) = (x i 1 x i ) sup f (x) Obersumme i=1 x [x i 1,x i ] (3.2) ) Die Grenzwerte U(f ) = sup{u(f,z ) Z Z } bzw. O(f ) = inf{o(f,z ) Z Z } heißen Riemnnsches Unter- bzw. Oberintegrl. b) Flls U(f ) = O(f ), dnn heißt f (Riemnn)-integrierbr. Wir schreiben für ds Integrl f (x)dx = U(f ) = O(f ). (3.3) ) Sei < c < b. Dnn gilt: f über [, b] integrierbr f über [, c] integrierbr und f über [c, b] integrierbr. c Es gilt f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. c b) Ds Integrl ist liner: [αf (x) + βg(x)]dx = α f (x)dx + β g(x) dx. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 14

15 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.3) c) Ds Integrl ist monoton: f (x) g(x) in [, b] = f (x)dx g(x) dx. (3.4) Eine beschränkte Funktion f : [,b] R ist genu dnn integrierbr, wenn für lle ε > 0 eine Zerlegung Z Z existiert mit O(f,Z ) U(f,Z ) < ε. (3.5) Sei f : [, b] R beschränkte Funktion. ) f monoton = f integrierbr. b) f stetig = f integrierbr. (3.6) Eine Menge N R heißt Nullmenge, wenn zu jedem ε > 0 eine Folge von Intervllen ] k,b k [ mit k > b k, N ] k,b k [ und k (b k k ) ε existiert. (3.7) Seien f,g : R R. Dnn heißt f = g fst überll, wenn {x R: f (x) g(x)} eine Nullmenge ist. (3.8) Eine Funktion φ : R R heißt Treppenfunktion, wenn endlich viele disjukte Intervlle I k existieren, so dss φ(x) c k für x I k gilt. (3.9) ) Eine Funktion f : R [0, ] heißt Lebesgue-integrierbr, wenn eine monoton steigende Folge von Treppenfunktionen φ k mit lim k φ k = f fst überll und R φ k (x)dx C < existiert. Dnn ist R f (x)dx = lim k R φ k (x)dx. ) Eine Funktion f : R [,] heißt Lebesgue-integrierbr, wenn f + = mx{0,f } und f = mx{0, f } Lebesgue-integrierbr sind. Es ist f (x)dx = f + (x)dx R f (x)dx. R R C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 15

16 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.10) F : [,b] R heißt Stmmfunktion zu f, wenn F differenzierbr uf [,b] ist, und wenn F (x) = f (x) für x [,b] gilt. (3.11) Mittelwertstz der Integrlrechnung Sei f : [,b] R stetig. Dnn existiert ξ [,b] mit f (ξ ) = 1 b (3.11) Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Sei f : [,b] R stetig. Dnn ist F : [,b] R mit x F (x) := f (t)dt eine Stmmfunktion zu f, d.h. F = f (x). f (x)dx (3.12) Sei f : [,b] R stetig und sei F : [,b] R eine Stmmfunktion. Dnn gilt: f (t)dt = F (b) F () (3.13) Seien f,g : [,b] R stetig differenzierbr. Dnn gilt: = f (x)g (x)dx = f (x)g(x) b f (x)g(x)dx (Prtielle Integrtion). (3.14) Sei g : [,b] [c,d] stetig differenzierbr, und sei f : [c,d] R stetig. Dnn gilt: f ( g(t) ) g(b) g (t)dt = f (x) dx (Substitutionsregel). g() C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 16

17 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.12) Sei f (x) = k (x x 0 ) k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius r. j=0 Dnn gilt f (x)dx = k (k + 1) (x x 0) k+1 + C für x 0 r < x < x 0 + r. (3.13) Sei f : [,b] R stetig, p : [,b] R integrierbr und p(x) 0 für x [,b]. Dnn existiert ξ [,b] mit f (x)p(x)dxx = f (ξ ) p(x)dx. (3.14) Sei f : [,b] R (n + 1)-ml stetig differenzierbr, und sei x 0 ],b[. n f Dnn gilt f (x) = (k) (x 0 ) (x x k! 0 ) n + R n (x;x 0 ) mit dem Restglied R n (x;x 0 ) = 1 x (x t) n f (n+1) (t)dt. n! x 0 (3.15) Ein rtionles Polynom R(x) = P(x) mit grd P < grd Q besitzt eine Prtilbruch-Zerlegung Q(x) n ( P(x) Q(x) = αj1 + α j2 x x j=1 j (x x j ) α ) jr j (x x j ) r j ( m β + k1 + γ k1 x β ksk + γ ksk x (x c k ) 2 + dk ( (x ck ) 2 + dk 2 ) sk ). C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 17

18 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion Uneigentliche Integrle (3.16) Sei D R und sei f : D R eine Funktion. ) f heißt lokl integrierbr, wenn f über jedes kompkte Intervll [, b] D integrierbr ist. b) Sei f über [, [ lokl integrierbr. Dnn definiere f (x)dx := lim f (x)dx b c) Sei f über R lokl integrierbr. Dnn definiere f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx d) Sei f über ], b[ lokl integrierbr. Dnn definiere c z f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx z + z z b c (3.17) Sei f : [, b] R lokl integrierbr. ) f (x)dx existiert = ε > 0 C > : z 2 f (x)dx < ε für z 2 > z 1 > C z 1 b) Wenn f (x) dx existiert (bsolute Konvergenz), dnn existiert uch f (x)dx. c) Sei f (x) g(x) für x und sei g(x) dx konvergent, dnn ist f (x)dx konvergent. d) Gilt 0 g(x) f (x) und g(x)dx = = f (x) dx divergent. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 18

19 Krlsruhe Institute of Technology (3.18) 3 Integrtion Rottionskörper ( ) y ) Zu einer Menge K R 3 und x R sei Q(x) = R 2 x y K der Querschnitt. z z b) Zu f : [,b] R ist K = x y [,b] R 2 y 2 + z 2 f (x) ein Rottionskörper. z c) F (x) = Q(x) bezeichnet die Querschnittsfläche, und V = K ds Volumen. (3.19) Zu einer Zerlegung Z = { = x 0 < x 1 < < x n = b} ist die entsprechende Riemnnsumme für V. n V (Z ) = Q(x i ) (x i x i 1 ) i=1 (3.20) Hben jeweils zwei Körper K und K die gleiche Querschnittsfläche F (x) = Q(x) = Q (x), dnn sind ihre Volumen gleich (V = K = K ) (Prinzip von Cvlieri). Ds Volumen berechnet sich durch V = Q(x) dx. Für einen Rottionskörper berechnet sich die Mntelfläche durch M = π f (x) 1 + f (x) 2 dx. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 19

20 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion Kurven (3.21) ) Eine stetige Funktion c: [,b] R n heißt Prmeterdrstellung einer Kurve. b) Wenn jede Komponente von c stetig differenzeirbr ist, heißt c eine C 1 -Kurve. c) Die Kurve heißt gltt, wenn ċ(t) 0 für lle t [,b]. m (3.22) Zu jeder Zerlegung Z = { = t 0 < t 1 < t m = b} sei L(Z ) = c(t i ) c(t i 1 ) i=1 die Länge des Polygonzugs c(t 0 ),c(t 1 ),...,c(t m ). Wenn {L(Z ) Z Z [,b]} beschränkt ist, dnn heißt die Kurve rektifizierbr und L(c) = sup{l(z ) Z Z [,b]} heißt Länge der Kurve. (3.23) Jede C 1 -Kurve ist rektifizierbr, und für die Länge gilt L(c) = ċ(t) dt. (3.24) Eine Umprmeterisierung einer Kurve c: [,b] R n ist eine stetige, bijektive, monoton wchsende Funktion h : [α, β] [, b]. (3.25) Die Länge einer C 1 -Kurve ist prmeterisierungsvrint. (3.26) ) Sei c: [,b] R eine C 1 -Kurve. Dnn heißt S(t) = t ċ(τ) dt Bogenlängenfunktion. b) Wenn c eine gltte C 1 -Kurve ist, dnn ist S 1 : [0,L(c)] [,b] eine Umprmeterisierung, und c(s) = c ( S 1 (s) ) heißt Prmeterisierung nch der Bogenlänge. c) κ(s) = c (s) heißt Krümmung von c. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 20

21 Krlsruhe Institute of Technology 3 Periodische Funktionen und Fourier-Reihen (3.27) ) Eine Funktion f : R heißt periodisch mit der Periode T, flls f (t + T ) = f (t) für lle t R. b) Eine Reihe der Form f (t) = ( k cos(kωt) + b k sin(kωt) ) heißt Fourier-Reihe. (3.28) Für trigonometrische Polynome gilt f N (t) = N N [ k cos(kωt) + b k sin(kωt)] = γ k exp(ikωt) k= N γ 0 = 1 2 k, γ k = 1 2 ( e ib k ), γ k = γ k, 0 = 2γ 0, k = 2Re(γ k ),b k = 2Im(γ k ) (k = 1,2,...,N). (3.29) Es gilt für ω = 2π T T { T k = l ) exp(ikωt) exp( i lωt) dt = 0 0 k l T T /2 k = l 0 b) cos(kωt) cos(lωt) dt = T k = l = k l T { T /2 k = l 0 c) sin(kωt) sin(lωt) dt = 0 0 k l T d) sin(kωt) cos(lωt) dt = 0. 0 C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 21

22 Krlsruhe Institute of Technology 3 Periodische Funktionen und Fourier-Reihen (3.30) Sei f : [0, T ] R stückweise stetig (d.h., es existiert eine Zerlegung 0 = t 0 < t 1 < < t m = T, so dss f [tj 1,t j ] stetig ist). Dnn heißt F (f )(t) = ( ) k cos(kωt) + b k sin(kωt) mit k = 2 T f (t)cos(kωt)dt und b T k = 2 T f (t)sin(kωt)dt Fourierreihe zu f. 0 T 0 (3.31) Sei f : R R periodisch und stückweise stetig differenzierbr. Dnn gilt: F (f )(t) = 1 2 ( f (t ) + f (t + ) ). { 1 } (3.32) Sei T N = spn 2,cos(ωt),sin(ωt),...,cos(Nωt),sin(Nωt) der Vektorrum der trigonometrischen Polynome vom Grd N, und sei F N (f ) T N die Fourier-Approximtion von f. Dnn gilt f F N (f ) f g für lle g T N ( 2 bzgl. der Norm g = T T ) ( ) 1/2 2 g(t) dt. 0 C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 22

23 Krlsruhe Institute of Technology 4 Differentilrechnung mehrerer Veränderlicher (4.1) Sei U R N offen, und sei f : U R eine Funktion. ) f heißt stetig in x, wenn für jede Folge x k U mit lim x k = x gilt: lim f (x k ) = f (x). k k b) f heißt prtiell differenzierbr nch der i-ten Komponente, wenn die Funktion g k (t) = f (x 1,...,x i 1,t,x i+1,...,x N ) differenzierbr ist. (4.2) Sei f : U R zweiml stetig prtiell differenzierbr. Dnn gilt (4.3) ( f ) grdf (x) = b) H f (x) = f ) (x),..., (x) R 1 N heißt Grdient. x i x N ) i,j=1,...,n RN N heißt Hesse-Mtrix. ( f x i x j (x) 2 f (x) = 2 f (x). x i x j x j x i (4.4) Sei x U lokles Minimum von f. Dnn gilt grdf (x) = 0 (Notwendige Bedingung). (4.5) Sei U R N offen, und sei f : U R N zweiml stetig differenzierbr. Sei x U ein kritischer Punkt, d.h. grdf (x) = 0. Dnn gilt: ) Ist H f (x) positiv definit, dnn ist x ein strenges lokles Minimum von f. b) Ist H f (x) negtiv definit, dnn ist x strenges lokles Mximum von f. c) Ist H f (x) indefinit, dnn ist x keine Extremstelle. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 23

24 Krlsruhe Institute of Technology 4 Differentilrechnung mehrerer Veränderlicher (4.6) Sei U R N offen, f,g : U R stetig differenzierbr. x U heißt lokle Minimlstelle von f unter der Nebenbedingung g(x) = 0, wenn δ > 0 existiert mit f (x ) f (x) für x U mit g(x) = 0 und x x 0 < δ. (4.7) L: U R R, L(x,λ) = f (x) + λg(x) heißt Lgrnge-Funktion. (4.8) Sei x U lokles Minimum von f unter g(x) = 0, und sei grdg(x ) 0. Dnn existiert ein Lgrnge-Prmeter λ R mit grdf (x ) + λ grdg(x ) = 0. (4.9) Sei U R N offen, und sei f: U R K. f heißt (vollständig oder totl) differenzierbr in x, wenn eine Mtrix A R K N existiert mit f(y) f(x) A(y x) = o(x y), 1 ( ) (d.h. lim f (x + h) f(x) Ah) = 0. Dnn heißt Jf (x) = A Jcobi-Mtrix. h 0 h (4.10) Sei U R N offen und f: U R M. Wenn lle prtiellen Ableitungen ( ) in U existieren und in x fi stetig sind, dnn ist f in x differenzierbr, und es gilt: J f (x) =. x j i=1,...,k, j=1,...,n (4.11) Seien U R N,D R K offen, f: U R M,g: D R N,x D. Sei g in x differenzierbr, y = g(x) U, und f in y differenzierbr. Dnn ist f g in x differenzierbr, und es gilt J f g (x) = J f ( g(x) ) Jg (x) R M,K. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 24