Man kann die natürlichen Zahlen in verschiedenen Klassen einteilen:

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1 A.1.1 Zahlenmengen Die Menge der natürlichen Zahlen, die mit N bezeichnet werden N = {1, 2, 3, 4, 5,... } benutzen wir im Alltag, um mehrere gleichartige Gegenstände zu zählen. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. (Manchmal wird die 0 auch dazugerechnet.) Eine Veranschaulichung auf dem Zahlenstrahl ist einsichtig: Man kann die natürlichen Zahlen in verschiedenen Klassen einteilen: Gerade Zahlen N g = { 2, 4, 6, }, Ungerade Zahlen N u = {1, 3, 5, } und Primzahlen P = { 1, 2, 5, 7, 11, } Die Menge N der natürlichen Zahlen wird zunächst zu der Menge der ganzen Zahlen Z einfach erweitert indem auf dem Zahlenstrahl nach links negative Zahlen (so wie im Alltag es Temperaturen unter Null gibt) mit der gleichen Einheit abgetragen werden: Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Die ganzen Zahlen Z enthalten die natürlichen Zahlen N und dies wird in der Mengenschreibweise dann folgendermaßen dargestellt: Z É N Im Alltag ist es notwendig auch Teile eines Ganzen (Bruchteile) zu zählen, deshalb wird 3 dieser Sachverhalt mittels neuer Zahlen gekennzeichnet wie z.b. (Lies: drei Viertel). 4 1

2 Diese Zahlen die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben lassen werden mit Q bezeichnet und rationale Zahlen genannt. Verallgemeinert in der Mengenschreibweise gilt: z Q = { q = z Î Z, n Î Z, n ¹ 0 } n wobei z den Zähler des Bruches und n der Nenner des Bruches darstellt. Wenn der Nenner als eine Zehnerpotenz darstellbar ist, dann kann der Bruch auch als Dezimalbruch dargestellt werden: Beispiel: 21 = 0, Der Dezimalbruch hat eine endliche Anzahl von Stellen hinter dem Komma oder ist periodisch, d.h. von einer bestimmten Stelle an aus einer immer wiederholten Zifferngruppe besteht. Bemerkung: Die rationalen Zahlen liegen sehr dicht auf dem Zahlenstrahl aber trotzdem wird dieser nicht ganz ausgefüllt wie spätere Überlegungen im Jahresverlauf zeigen werden. Verschiedene Darstellungsmöglichkeiten der Zahlen Die aktuell gebräuchlichsten Darstellungen der Zahlen sind: a) Die Dezimaldarstellung, d.h. die Stellenschreibweise mit Zehnerpotenzen: z.b = b) Die Binärdarstellung, d.h. die Stellenschreibweise mit Zweierpotenzen: z. B = c) Die Hexadezimaldarstellung d.h. die Stellenschreibweise mit 16-ner Potenzen: z.b. AF5E =

3 Die Darstellung von sehr großen und sehr kleinen Zahlen als Zehnerpotenzen oder mit Hilfe der festgelegten Prefixen Die folgenden Beispiele zeigen die bequeme und kurze Schreibweise Die mittlere Entfernung der Erde zur Sonne = 1, km = 150 Mm Der mittlere Durchmesser eines Wasserstoffatoms = 1, m = 0,106 nm Die Masse der Erde = 5, kg Die Masse eines Wasserstoffatoms = 1, kg A1.2 Algebraische Grundoperationen - Die Addition = = 7 d.h. es gilt das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) und weil dies in Q für alle Zahlen gilt kann es auch mit Platzhalter geschrieben werden: i) a + b = b + a 3 + ( - 3) = 0 ( - 3) ist die Gegenzahl zu 3 und damit wird die Subtraktion nur ein Sonderfall der Addition, und zwar die Addition mit der Gegenzahl. ii) a - b = a + ( - b) Die Null 0 wird auch als das neutrale Element gegenüber der Addition bezeichnet und sein Äquivalent muss in jeder Algebra vorhanden sein. iii) Die Addition kann nur zwischen gleichnamigen Termen erfolgen: 4+ 2a +5,5 + 3a + 6b = 9,5 + 5a + 6b - Die Multiplikation i) 3 5 = 5 3 = 15 d.h. es gilt auch hier das Vertauschungsgesetz. 3

4 ii) = (3 5) 8 = 120 d.h. es gilt das Assoziativgesetz. a b c = (a b) c = a (b c) 3 (7 + 9) = = 48 d.h. es gilt das Distributivgesetz iii) a (b + c) =a b + a c 3 : 5 = = 3 5 d.h. die Division ist eigentlich die Multiplikation mit dem Kehrwert des Nenners (Invers). iiii) a 1 a = 1 d.h. 1 ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Übungen zu A.1 (1.Ü) iiiii) Bei der Multiplikation gelten folgende Vorzeichen Regeln: (+) (+) = (+) ; (+) ( - ) = ( - ) ; ( - ) ( - ) = ( + ) 1.Ü.1 Geben Sie für folgende periodischen Brüche den gemeinen Bruch an: 1,4 = ; 1,14 = ; 1,7 = 1.Ü.2 1.Ü.3 1.Ü.4 1.Ü.5 Schreiben Sie folgende Angaben mit Hilfe von Zehnerpotenzen: 60 mv = ; 1,90 μm = ; 12 nm = 8,5 MWh = Geben Sie die entsprechende Dezimalzahl an: = AFFE = Geben Sie folgende Dezimalzahlen als Zahlen in der Binärdarstellung an: 6 = ; 10 = ; 12 = Geben Sie folgende Dezimalzahlen als Zahlen in der Hexadezimaldarstellung an: 10 = ; 16 = ; 128 = ; 255 = 1.Ü.6 Berechnen Sie schrittweise, d.h. achten Sie auf die gleichnamigen Monome und ihre Koeffizienten, mit Hilfe der Grundoperationen den jeweiligen Term: a) T 1 = 12+ 2a +5a +4 ; T 2 = 2,5-4, a ; T 3 = 2x + 3-6x - 9,5 ; b) T 1 = 1,2 + 2ax +5ax +4 ; T 2 = 2,5a - 9, a ; T 3 = 2x + 3a - 6x - 9,5 a ; 4

5 c) T1 = + 3a a - a ; T2 = 1-4ax + 3,5 + ax + ax ; T 3 = 2x +3a d) T 1 = 2a 2-4a + 5a 2 + 1,5a ; T2 = 3ax 2 + 2x 2-5,4 ax2 +7x 2 +3 e) T 1 = ; T 2 = 3 2a + 5 4a ; T 3 = 3 2a - 5 4a + b f) T 1 = 3 (2a + 1,5x) - 3 (4x + 2) ; T 2 = 3,5a - 2 (1,5x + 4,75a) ; g) T 1 = 4a (-2a + 3x - 2x 2 ) +4x ; T 2 = (2a - 3) (4 + 4a) - 8a 2 ; h) T 1 = - 3 (3a + 3 x 8 ) + 2x (3 + 3 x 8 ) - 3 x 2 4 ; T 2 = 2 (x - 4a) (x + 4a) ; i) T 1 = 2a 3x 5 ; T 2 = (x - 2) (x +4) (x - 1) ; T 3 = (x - 3) 2 ; 5

6 A.1.3 Zahlenmengen und algebraische Strukturen Die klassischen Strukturen der Algebra, die sich in vielen Gebieten der Mathematik als nützlich erwiesen, sind die Struktur einer Gruppe und die eines Körpers: Eine nichtleere Menge G in der eine innere Verknüpfung (Operation) Å definiert ist erhält dadurch die Struktur einer Gruppe (G, Å ), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: G.1 Die Operation Å ist wohl definiert, d. h. für jedes a, b aus G gilt: a Å b = c und zugleich ist c Î G. G.2 Die Operation Å ist assoziativ, d. h. für alle a, b und c aus G gilt: aå (b Å c) = (aå b) Å c. G.3 Es gibt ein neutrales Element e OP von (G, Å ), d. h. für alle a aus G gilt: e OP Å a = a = aå e OP. G.4 Zu jedem a aus G existiert ein inverses Element a* aus G mit a*a = e = a*a. Eine Gruppe (G, Å ) heißt kommutativ oder abelsch, wenn es zusätzlich gilt: G.5 aå b = b Å a. Die Menge der natürlichen Zahlen (N 0,+) mit der Addition von Skalaren als Operation bildet keine Gruppe weil Deshalb wird die Menge N 0 mit den negativen Vielfachen von -1 erweitert und als Z, die Menge der ganzen Zahlen bezeichnet. Die Menge (Z, +) ist eine Gruppe weil Es gilt sogar auch G.5, so dass die Gruppe kommutativ ist. 6

7 Die Menge der ganzen Zahlen Z \ {0} (Z, ) mit der Multiplikation von Skalaren als Operation bildet keine Gruppe weil Deshalb wird Z mit den Bruchzahlen erweitert und als Q, die Menge der rationalen Zahlen bezeichnet. Die Menge der rationalen Zahlen (Q, +) mit der Addition und auch (Q, ) mit der Multiplikation haben die Struktur einer kommutativen Gruppe. Wenn eine Menge (K, Å, ) eine Gruppe bezüglich zweier unterschiedlicher Operation ist, und es zusätzlich das Distributivgesetz für die beiden Operationen gilt, d.h. D.1 a (b Å c) = a b Å a c für alle a, b, und c aus K, dann hat (K, Å, ) die algebraische Struktur eines Körpers. Die Menge der rationalen Zahlen Q ist ein Körper (Q, +, ), mit folgenden neutralen Elemente: Die Menge der irrationalen Zahlen ist keine Gruppe bezüglich der Addition (+) und auch keine bezüglich der Multiplikation ( )weil Die Menger der reellen Zahlen R ist aber ein Körper (R, +, ). Übungen A.1.3 ÜA.1.1 Zeigen Sie, dass die Menge der Polynome (ganze rationale Funktionen) vom Grad 2 oder kleiner P( Grad 2) eine Gruppe bezüglich der Addition bilden. Gilt dies auch für die Multiplikation? ÜA.1.2 Zeigen Sie, dass die Restklassen Modulo-p, wenn p eine Primzahl ist, einen Körper bezüglich der Addition und Multiplikation bilden. 7

8 ÜA.1.3 Zeigen Sie, dass die Menge der Drehungen mit einem Winkel von 120, d.h. D(0 ), D(120 ) und D(240 ) eine Gruppe bilden, wobei die Operation ( ) die hintereinander Ausführung der Drehungen ist. 8