Modul IP7: Rechnerstrukturen

Transkript

1 Modul IP7: 3. Arithmetik Norman Hendrich Universität Hamburg MIN Fakultät, Department Informatik Vogt-Kölln-Str. 30, D Hamburg WS 2013/2014 Norman Hendrich 1

2 Arithmetik Universität Hamburg Rechner-Arithmetik Wiederholung: Stellenwertsystem Addition: Ganzzahlen, Zweierkomplementzahlen Überlauf Multiplikation Division Schiebe-Operationen Norman Hendrich 2

3 Wiederholung: Stellenwertsystem Wahl einer geeigneten Zahlenbasis b ( Radix ) 10: Dezimalsystem 2: Dualsystem Menge der entsprechenden Ziffern {0, 1,..., b 1} inklusive einer besonderen Ziffer für den Wert Null Auswahl der benötigten Anzahl n von Stellen n 1 z = a i b i i=0 b: Basis, a i Koeffizient an Stelle i universell verwendbar, für beliebig große Zahlen Norman Hendrich 3

4 Integer-Datentypen in C und Java C: Zahlenbereiche definiert in Headerdatei /usr/include/limits.h LONG MIN, LONG MAX, ULONG MAX, etc. Zweierkomplement (signed), Ganzzahl (unsigned) die Werte sind plattformabhängig (!) Java: 16-bit, 32-bit, 64-bit Zweierkomplementzahlen Wrapper-Klassen Short, Integer, Long Short.MAX_VALUE = Integer.MIN_VALUE = Integer.MAX_VALUE = Long.MIN_VALUE = L etc. Werte sind für die Sprache fest definiert Norman Hendrich 4

5 Addition im Dualsystem Addition mehrstelliger Zahlen erfolgt stellenweise Additionsmatrix: Beispiel: Ü Norman Hendrich 5

6 Visualisierung: 4-bit Addition Wortbreite w, hier 4-bit Zahlenbereich der Operanden x, y ist 0.. (2 w 1) Zahlenbereich des Resultats s ist 0.. (2 w+1 2) Norman Hendrich 6

7 Addition: 4-bit unsigned Operanden und Resultat jeweils 4-bit Überlauf, sobald das Resultat größer als (2 w 1) oberstes Bit geht verloren Norman Hendrich 7

8 Überlauf: 4-bit unsigned x + y 2 w+1 Overflow 2 w x + u y 0 Wortbreite w, hier 4-bit Zahlenbereich der Operanden x, y ist 0.. (2 w 1) Zahlenbereich des Resultats s ist 0.. (2 w+1 2) Werte s 2 w werden in den Bereich 0..2 w 1 abgebildet Norman Hendrich 8

9 Subtraktion im Dualsystem Subtraktion mehrstelliger Zahlen erfolgt stellenweise (Minuend - Subtrahend), Überträge berücksichtigen Beispiel: = Ü Alternative: Ersetzen der Subtraktion durch Addition des b-komplements Norman Hendrich 9

10 Subtraktion mit b-komplement bei Rechnung mit fester Stellenzahl n gilt: K b (z) + z = b n = 0 weil b n gerade nicht mehr in n Stellen hineinpasst (!) also gilt für die Subtraktion auch: x y = x + K b (y) Subtraktion kann also durch Addition des b-komplements ersetzt werden und für Integerzahlen gilt außerdem x y = x + K b 1 (y) + 1 Norman Hendrich 10

11 Visualisierung: 4-bit Zweierkomplement-Addition Zahlenbereich der Operanden ist 2 w 1.. (2 w 1 1) Zahlenbereich des Resultats ist 2 w.. (2 w 2) Überlauf in beide Richtungen möglich Norman Hendrich 11

12 Überlauf: 4-bit signed-addition x + y +2 w Positive overflow Case 4 x + t y +2 w 1 +2 w 1 Case Case 2 2 w 1 2 w 1 Case 1 Negative overflow 2 w Zahlenbereich der Operanden ist 2 w 1.. (2 w 1 1) Zahlenbereich des Resultats ist 2 w.. (2 w 2) Überlauf in beide Richtungen möglich Norman Hendrich 12

13 Überlauf: Erkennung Erkennung eines Überlaufs bei der Addition? wenn beide Operanden das gleiche Vorzeichen haben und Vorzeichen des Resultats sich unterscheidet Java-Codebeispiel: int a, b, sum; boolean ovf; // operands and sum // ovf flag indicates overflow sum = a + b; ovf = ((a < 0) == (b < 0)) && ((a < 0)!= (sum < 0)); Norman Hendrich 13

14 Veranschaulichung: Zahlenkreis Beispiel für 4-bit Zahlen Komplement 1-Komplement Betrag+Vorzeichen Komplement-Arithmetik als Winkeladdition Norman Hendrich 14

15 Zahlenkreis: Addition, Subtraktion =0110, =1001, =0100 Norman Hendrich 15

16 Unsigned-Zahlen in C 8/16/32/64-bit Werte in Binärdarstellung z.b. für hardwarenahe Programme und Treiber für modulare Arithmetik ( multi-precision arithmetic ) evtl. vom Compiler schlecht unterstützt Vorsicht vor solchen Fehlern: unsigned int i, cnt =...; for( i = cnt-2; i >= 0; i-- ) { a[i] += a[i+1]; } Norman Hendrich 16

17 Unsigned-Typen in C: Casting-Regeln Bit-Repräsentation wird nicht verändert kein Effekt auf positiven Zahlen Negative Werte als (große) positive Werte interpretiert: short int x = 15213; unsigned short int ux = (unsigned short) x; // short int y = ; unsigned short int uy = (unsigned short) y; // Schreibweise für Konstanten: ohne weitere Angabe: signed Suffix U für unsigned: 0U, U Norman Hendrich 17

18 Interpretation: unsigned/signed 2 w Unsigned 2 w w 1 0 Two s complement 2 w 1 2 w +2 w 1 Two s complement 0 2 w 1 0 Unsigned 2 w 1 Norman Hendrich 18

19 Typumwandlung in C: Vorsicht Arithmetische Ausdrücke: bei gemischten Operanden: Auswertung als unsigned auch für die Vergleichsoperationen <, >, ==, <=, >= Beispiele für Wortbreite 32-bit: Konstante1 Relation Konstante2 Auswertung Resultat 0 == 0U unsigned 1-1 < 0 signed 1-1 < 0U unsigned 0* > signed U > unsigned 0* > (int) U signed 1* -1 > -2 signed 1 (unsigned) -1 > -2 unsigned 1 Norman Hendrich 19

20 Sign-Extension Gegeben: w-bit Integer x Umwandeln in w + k-bit Integer x mit gleichem Wert? Sign-Extension: Vorzeichenbit kopieren x = x w 1,... x w 1, x w 1, x w 2,... x 0 [0110] 4-bit signed: +6 [ ] 8-bit signed: +6 [ ] 16-bit signed: +6 [1110] 4-bit signed: -2 [ ] 8-bit signed: -2 [ ] 16-bit signed: -2 Norman Hendrich 20

21 Java Puzzlers No.5 public static void main( String[] args ) { System.out.println( Long.toHexString( 0x L + 0xcafebabe )); } Programm addiert zwei Konstanten, Ausgabe in Hex-Format Was ist das Resultat der Rechnung? 0xffffffffcafebabe 0x Ü cafebabe (sign-extension!) J. Bloch, N. Gafter: Java Puzzlers: Traps, Pitfalls, and Corner Cases, Addison-Wesley 2005 Norman Hendrich 21

22 Ariane-5 Absturz Norman Hendrich 22

23 Ariane-5 Absturz Erstflug der Ariane-5 ( V88 ) am 04. Juni 1996 Kurskorrektur wegen vermeintlich falscher Fluglage Selbstzerstörung der Rakete nach 36.7 Sekunden Schaden ca. 370 M$ (teuerster Softwarefehler der Geschichte?) bewährte Software von Ariane-4 übernommen aber Ariane-5 viel schneller als Ariane-4 64-bit Gleitkommawert für horizontale Geschwindigkeit Umwandlung in 16-bit Integer: dabei Überlauf ( V88) Norman Hendrich 23

24 Arithmetik - Multiplikation Multiplikation: Dualsystem funktioniert genau wie im Dezimalsystem p = a b mit Multiplikator a und Multiplikand b Multiplikation von a mit je einer Stelle des Multiplikanten b Addition der Teilterme Multiplikationsmatrix ist sehr einfach: * Norman Hendrich 24

25 Arithmetik - Multiplikation Multiplikation: Beispiel * 1101 = 179 * 13 = 2327 = 0x Ü Norman Hendrich 25

26 Arithmetik - Multiplikation Multiplikation: Wertebereich unsigned bei Wortbreite w bit Zahlenbereich der Operanden ist 0.. (2 w 1) Zahlenbereich des Resultats ist 0.. (2 w 1) 2 = 2 2w 2 w bis zu 2w bits erforderlich C: Resultat enthält nur die unteren w bits Java: keine unsigned Integer Hardware: teilweise zwei Register high, low für die oberen und unteren Bits des Resultats Norman Hendrich 26

27 Arithmetik - Multiplikation Multiplikation: Zweierkomplement Zahlenbereich der Operanden ist 2 w 1.. (2 w 1 1) Zahlenbereich des Resultats ist 2 w (2 w 1 1).. (2 2w 2 ) bis zu 2w bits erforderlich C, Java: Resultat enthält nur die unteren w bits Überlauf wird ignoriert int i = 100*200*300*400; // Wichtig: Bit-Repräsentation der unteren Bits des Resultats entspricht der unsigned Multiplikation kein separater Algorithmus erforderlich Beweis: siehe Bryant/O Hallaron, Norman Hendrich 27

28 Arithmetik - Multiplikation Java Puzzlers No. 3 public static void main( String args[] ) { final long MICROS_PER_DAY = 24 * 60 * 60 * 1000 * 1000; final long MILLIS_PER_DAY = 24 * 60 * 60 * 1000; System.out.println( MICROS_PER_DAY / MILLIS_PER_DAY ); } druckt den Wert 5, nicht MICROS_PER_DAY mit 32-bit berechnet, dabei Überlauf Konvertierung nach 64-bit long erst bei Zuweisung long-konstante schreiben: 24L * 60 * 60 * 1000 * 1000 J. Bloch, N. Gafter: Java Puzzlers: Traps, Pitfalls, and Corner Cases, Addison-Wesley 2005 Norman Hendrich 28

29 Arithmetik - Division Division: Dualsystem d = a/b mit Dividend a und Divisor b funktioniert genau wie im Dezimalsystem schrittweise Subtraktion des Divisors Berücksichtigen des Stellenversetzens in vielen Prozessoren nicht (oder nur teilweise) durch Hardware unterstützt daher deutlich langsamer als Multiplikation Norman Hendrich 29

30 Arithmetik - Division Division: Beispiel im Dualsystem /3 10 = /11 2 = / 11 = (Rest) Norman Hendrich 30

31 Arithmetik - Division Division: Beispiel im Dualsystem /13 10 = / = / 1101 = Norman Hendrich 31

32 Arithmetik - Höhere Funktionen Höhere mathematische Funktionen Berechnung von x, log x, exp x, sin x,...? Approximation über Polynom (Taylor-Reihe) bzw. Approximation über rationale Funktionen vorberechnete Koeffizienten für höchste Genauigkeit Ausnutzen mathematischer Identitäten für Skalierung Sukzessive Approximation über iterative Berechnungen Bsp. Quadratwurzel und Reziprok-Berechnung häufig schnelle (quadratische) Konvergenz Berechnungen erfordern nur die Grundrechenarten Norman Hendrich 32

33 Arithmetik - Höhere Funktionen Reziprokwert: Iterative Berechnung von 1/x Berechnung des Reziprokwerts y = 1/x über y i+1 = y i (2 x y i ) geeigneter Startwert y 0 als Schätzung erforderlich Beispiel x = 3, y 0 = 0.5: y 1 = 0.5 ( ) = 0.25 y 2 = 0.25 ( ) = y 3 = ( ) = y 4 = y 5 = y 6 = Norman Hendrich 33

34 Arithmetik - Höhere Funktionen Quadratwurzel: Heron-Verfahren für x Babylonisches Wurzelziehen Sukzessive Approximation von y = x gemäss y n+1 = y n + x/y n 2 quadratische Konvergenz in der Nähe der Lösung Anzahl der gültigen Stellen verdoppelt sich mit jedem Schritt aber langsame Konvergenz fernab der Lösung Lookup-Tabelle und Tricks für brauchbare Startwerte y 0 Norman Hendrich 34

35 Arithmetik - Informationstreue Informationstreue Welche mathematischen Eigenschaften gelten bei der Informationsverarbeitung, in der gewählten Repräsentation? Beispiele: Gilt x 2 0? float: ja signed integer: nein Gilt (x + y) + z = x + (y + z)? integer: ja float: nein 1.0E20 + (-1.0E ) = 0 Norman Hendrich 35

36 Arithmetik - Informationstreue Festkomma Addition unsigned Arithmetik Wortbreite auf w begrenzt kommutative Gruppe / Abel sche Gruppe Abgeschlossenheit 0 a u w b 2 w 1 Kommutativgesetz a u w b = b u w a Assoziativgesetz a u w (b u w c) = (a u w b) u w c neutrales Element a u w 0 = a Inverses a u w a = 0; a = 2 w a Norman Hendrich 36

37 Arithmetik - Informationstreue Festkomma Addition (cont.) signed Arithmetik Wortbreite auf w begrenzt 2-Komplement signed und unsigned Addition sind auf Bit-Ebene identisch a s w b = U2S(S2U(a) u w S2U(b)) isomorphe Algebra zu u w kommutative Gruppe / Abel sche Gruppe Abgeschlossenheit 2 w 1 a s w b 2 w 1 1 Kommutativgesetz a s w b = b s w a Assoziativgesetz a s w (b s w c) = (a s w b) s w c neutrales Element a s w 0 = a Inverses a s w a = 0; a = a, a 2 w 1 a, a = 2 w 1 Norman Hendrich 37

38 Arithmetik - Informationstreue Festkomma Multiplikation unsigned Arithmetik Wortbreite auf w begrenzt Modulo-Arithmetik a u w b = (a b)mod2 w u w und u w bilden einen kommutativen Ring u w ist eine kommutative Gruppe Abgeschlossenheit 0 a u w b 2 w 1 Kommutativgesetz a u w b = b u w a Assoziativgesetz a u w (b u w c) = (a u w b) u w c neutrales Element a u w 1 = a Distributivgesetz a u w (b u w c) = (a u w b) u w (a u w c) Norman Hendrich 38

39 Arithmetik - Informationstreue Festkomma Multiplikation (cont.) signed Arithmetik signed und unsigned Multiplikation sind auf Bit-Ebene identisch... isomorphe Algebren unsigned Addition und Multiplikation; Wortbreite w signed Addition und Multiplikation; Wortbreite w 2-Kompl. isomorph zum Ring der ganzen Zahlen modulo2 w Ordnungsrelation im Ring der ganzen Zahlen a > 0 a + b > b a > 0, b > 0 a b > 0 diese Relationen gelten nicht bei Rechnerarithmetik Überlauf! Norman Hendrich 39

40 Arithmetik - Informationstreue Eigenschaften: Gleitkomma-Addition Abgeschlossen (Addition)? Kommutativ? Assoziativ? (Überlauf, Rundungsfehler) Null ist neutrales Element? Inverses Element existiert? (außer für NaN und Infinity) Ja Ja Nein Ja Fast Monotonie? (a b) (a + c) (b + c)? (außer für NaN und Infinity) Fast Norman Hendrich 40

41 Arithmetik - Informationstreue Eigenschaften: Gleitkomma-Multiplikation Abgeschlossen (Multiplikation)? (aber Infinity oder NaN möglich) Kommutativ? Assozativ? (Überlauf, Rundungsfehler) Eins ist neutrales Element? Distributivgesetz? Ja Ja Nein Ja Nein Monotonie? (a b)&(c 0) (a c) (b c)? (außer für NaN und Infinity) Fast Norman Hendrich 41