WH: Arithmetik: Floating Point

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "WH: Arithmetik: Floating Point"

Transkript

1 WH: Arithmetik: Floating Point Elmar Langetepe University of Bonn Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 1

2 Real RAM Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2

3 Real RAM Reelle Zahlen Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2

4 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2

5 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2

6 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Exakte Vergleiche: <,, =,,, > Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2

7 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Exakte Vergleiche: <,, =,,, > 1 Speicherplatz je Zahl Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2

8 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Exakte Vergleiche: <,, =,,, > 1 Speicherplatz je Zahl Kosten einer Berechnung: konstant Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2

9 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Exakte Vergleiche: <,, =,,, > 1 Speicherplatz je Zahl Kosten einer Berechnung: konstant Analyse der Laufzeit: O/Ω-Notation Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2

10 Was bietet der Rechner? Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3

11 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3

12 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3

13 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3

14 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Standard IEEE 754 (binär)/ IEEE 854 (dezimal) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3

15 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Standard IEEE 754 (binär)/ IEEE 854 (dezimal) Garantiert Portabilität des Codes Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3

16 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Standard IEEE 754 (binär)/ IEEE 854 (dezimal) Garantiert Portabilität des Codes Programmiersprachen stützen sich darauf ab Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3

17 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Standard IEEE 754 (binär)/ IEEE 854 (dezimal) Garantiert Portabilität des Codes Programmiersprachen stützen sich darauf ab Untersuchung des Standards Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3

18 IEEE 754 Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4

19 IEEE Repräsentation Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4

20 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4

21 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4

22 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4

23 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) 5. Arithmetische Operationen Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4

24 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) 5. Arithmetische Operationen 6. Vergleiche Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4

25 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) 5. Arithmetische Operationen 6. Vergleiche 7. Konvertierungen Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4

26 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) 5. Arithmetische Operationen 6. Vergleiche 7. Konvertierungen 8. Spezielle Zahlen (unendlich groß/undefiniert) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4

27 IEEE 754: 1. Repräsentation Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5

28 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5

29 Basis: β; Präzision: p; IEEE 754: 1. Repräsentation Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5

30 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5

31 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Darstellung: d 0.d 1 d 2... d p 1 β e mit e E und 0 d i < β Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5

32 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Darstellung: ( d 0.d 1 d 2... d p 1 β e mit e E und 0 d i < β p 1 ) Bedeutet: i=0 d iβ i β e Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5

33 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Darstellung: ( d 0.d 1 d 2... d p 1 β e mit e E und 0 d i < β p 1 ) Bedeutet: i=0 d iβ i β e Normalisiert: d 0 0 Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5

34 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Darstellung: ( d 0.d 1 d 2... d p 1 β e mit e E und 0 d i < β p 1 ) Bedeutet: i=0 d iβ i β e Normalisiert: d 0 0 Beispiel: Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5

35 IEEE 754: Format und Layout 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6

36 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6

37 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6

38 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double Bias für Exponent: 127; 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6

39 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double Bias für Exponent: 127; statt 0 255; 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6

40 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double Bias für Exponent: 127; statt 0 255; (0 Bias) bis (255 Bias) 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6

41 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double Bias für Exponent: 127; statt 0 255; (0 Bias) bis (255 Bias) Bsp.: ( 1) ( ) Bias = = }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6

42 IEEE 754: 4. Runden Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

43 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

44 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

45 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

46 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler units in the last place (ulps) d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

47 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

48 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: Abs. Fehler: 2 ulps Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

49 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: Abs. Fehler: 2 ulps z = R-to-N(z) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

50 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: Abs. Fehler: 2 ulps z = R-to-N(z) Abs. Fehler β/2 ulps Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

51 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: Abs. Fehler: 2 ulps z = R-to-N(z) Abs. Fehler β/2 ulps(= β p+1 ) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7

52 IEEE 754: 4. Runden Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8

53 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8

54 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Relativer Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 β e z z Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8

55 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Relativer Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 β e z z Relativer Fehler bei R-to-N: Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8

56 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Relativer Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 β e z z Relativer Fehler bei R-to-N: 1 2 β p 1 2 ulp β 2 β p Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8

57 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Relativer Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 β e z z Relativer Fehler bei R-to-N: 1 2 β p 1 2 ulp β 2 β p Maschinen Epsilon: ɛ = β 2 β p Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8

58 IEEE 754: 5. Arithmetik Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9

59 IEEE 754: 5. Arithmetik Einfache Operationen: +,,, und / durch,,, und Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9

60 IEEE 754: 5. Arithmetik Einfache Operationen: +,,, und / durch,,, und Bedingung: z.b. entspricht exakte Rechnung und dann R-to-N Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9

61 IEEE 754: 5. Arithmetik Einfache Operationen: +,,, und / durch,,, und Bedingung: z.b. entspricht exakte Rechnung und dann R-to-N z.b.: x y = xy(1 + δ) und δ < ɛ = β 2 β p Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9

62 IEEE 754: 5. Arithmetik Einfache Operationen: +,,, und / durch,,, und Bedingung: z.b. entspricht exakte Rechnung und dann R-to-N z.b.: x y = xy(1 + δ) und δ < ɛ = β 2 β p Kann das beliebig teuer werden? Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9

63 IEEE 754: 5. Arithmetik Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10

64 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Regel Shift-and-discard Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10

65 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10

66 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden p = 4, β = 10 x = y = x y = Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10

67 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden p = 4, β = 10 Stellen sparen x = y = x y = Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10

68 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden p = 4, β = 10 Stellen sparen Einfache Regel: Kann in jeder Stelle falsch sein x = y = x y = Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10

69 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden p = 4, β = 10 Stellen sparen Einfache Regel: Kann in jeder Stelle falsch sein Beispiel: Fehler 200 ulps x = y = x y = x = y = x y = Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10

in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen

in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen Gleitkommazahlen in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen allgemeine Gleitkommazahl zur Basis r

Mehr

Lösungen: zu 1. a.) 0 0 1 1 b.) 1 1 1 1 c.) 0 1 1 0 + 1 1 0 0 + 0 0 1 1 + 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1

Lösungen: zu 1. a.) 0 0 1 1 b.) 1 1 1 1 c.) 0 1 1 0 + 1 1 0 0 + 0 0 1 1 + 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 Lösungen: zu 1. a.) 0 0 1 1 b.) 1 1 1 1 c.) 0 1 1 0 + 1 1 0 0 + 0 0 1 1 + 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 vorzeichenlose Zahl: 15 vorzeichenlose Zahl: 18 vorzeichenlose Zahl: 13 Zweierkomplement: - 1

Mehr

Fehler in numerischen Rechnungen

Fehler in numerischen Rechnungen Kapitel 1 Fehler in numerischen Rechnungen Analyse numerischer Rechnungen: - Welche möglichen Fehler? - Einfluss auf Endergebnis? - Nicht alles in der Comp.Phys./Numerical Analysis dreht sich um Fehler

Mehr

Dezimalkomma (decimal point) rechts von Stelle mit Wertigkeit 100 nachfolgende Stellen haben Wertigkeit 10-1, 10-2, etc.

Dezimalkomma (decimal point) rechts von Stelle mit Wertigkeit 100 nachfolgende Stellen haben Wertigkeit 10-1, 10-2, etc. Fixpunktdarstellung Fixed-point numbers Bsp. Dezimaldarstellung Dezimalkomma (decimal point) rechts von Stelle mit Wertigkeit 100 nachfolgende Stellen haben Wertigkeit 10-1, 10-2, etc. Binärdarstellung

Mehr

Computerarithmetik ( )

Computerarithmetik ( ) Anhang A Computerarithmetik ( ) A.1 Zahlendarstellung im Rechner und Computerarithmetik Prinzipiell ist die Menge der im Computer darstellbaren Zahlen endlich. Wie groß diese Menge ist, hängt von der Rechnerarchitektur

Mehr

Grundlagen der Technischen Informatik Wintersemester 12/13 J. Kaiser, IVS-EOS

Grundlagen der Technischen Informatik Wintersemester 12/13 J. Kaiser, IVS-EOS Gleit komma zahlen Gleitkommazahlen in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen wird eine große Dynamik benötigt: sowohl sehr kleine als auch sehr große Zahlen sollen einheitlich dargestellt

Mehr

Binäre Gleitkommazahlen

Binäre Gleitkommazahlen Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 72

Mehr

2 Rechnen auf einem Computer

2 Rechnen auf einem Computer 2 Rechnen auf einem Computer 2.1 Binär, Dezimal und Hexadezimaldarstellung reeller Zahlen Jede positive reelle Zahl r besitzt eine Darstellung der Gestalt r = r n r n 1... r 1 r 0. r 1 r 2... (1) := (

Mehr

Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik

Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik Helmar Burkhart Departement Informatik Universität Basel Helmar.Burkhart@unibas.ch Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1:

Mehr

a) Da die Zahlen im IEEE-32Bit-Format dargestellt werden sollen, ist der Bias = 127.

a) Da die Zahlen im IEEE-32Bit-Format dargestellt werden sollen, ist der Bias = 127. Übung 2, Aufgabe 4) a) Da die Zahlen im IEEE-32Bit-Format dargestellt werden sollen, ist der Bias = 127. 1,125 in IEEE 754 (32Bit) 0,125 2 = 0,25 0,25 2 = 0,5 0,5 2 = 1 1,125 10 = 1,001 2 Da die Zahl bereits

Mehr

Kapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung

Kapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung Kapitel 2 Grundlegende Konzepte 1 2.1 Zahlensysteme Römisches System Grundziffern I 1 erhobener Zeigefinger V 5 Hand mit 5 Fingern X 10 steht für zwei Hände L 50 C 100 Centum heißt Hundert D 500 M 1000

Mehr

Binäre Division. Binäre Division (Forts.)

Binäre Division. Binäre Division (Forts.) Binäre Division Umkehrung der Multiplikation: Berechnung von q = a/b durch wiederholte bedingte Subtraktionen und Schiebeoperationen in jedem Schritt wird Divisor b testweise vom Dividenden a subtrahiert:

Mehr

Das Rechnermodell - Funktion

Das Rechnermodell - Funktion Darstellung von Zahlen und Zeichen im Rechner Darstellung von Zeichen ASCII-Kodierung Zahlensysteme Dezimalsystem, Dualsystem, Hexadezimalsystem Darstellung von Zahlen im Rechner Natürliche Zahlen Ganze

Mehr

183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10.

183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10. VU Grundlagen digitaler Systeme Übung 2: Numerik, Boolesche Algebra 183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10. Aufgabe 1: Binäre Gleitpunkt-Arithmetik Addition & Subtraktion Gegeben sind die Zahlen: A

Mehr

Technische Informatik I

Technische Informatik I Technische Informatik I Vorlesung 2: Zahldarstellung Joachim Schmidt jschmidt@techfak.uni-bielefeld.de Übersicht Geschichte der Zahlen Zahlensysteme Basis / Basis-Umwandlung Zahlsysteme im Computer Binärsystem,

Mehr

21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer?

21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer? Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/people/pfisterer Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen

Mehr

Musterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1

Musterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 Musterlösung 2 Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 WS2014/2015 Hinweis: Die folgenden Aufgaben erheben nicht den Anspruch, eine tiefergehende Kenntnis zu vermitteln; sie sollen lediglich den Einstieg

Mehr

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Darstellung von Zahlen/Zeichen in der Maschine Bit (0/1) ist die kleinste Informationseinheit Größere Einheiten durch Zusammenfassen mehrerer Bits, z.b. 8 Bit =

Mehr

Zahlen und Zeichen (1)

Zahlen und Zeichen (1) Zahlen und Zeichen () Fragen: Wie werden Zahlen repräsentiert und konvertiert? Wie werden negative Zahlen und Brüche repräsentiert? Wie werden die Grundrechenarten ausgeführt? Was ist, wenn das Ergebnis

Mehr

Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik

Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Wintersemester 2012/13 Wie rechnet ein Computer? Ein Mikroprozessor ist ein Netz von Transistoren,

Mehr

Kapitel 1. Zahlendarstellung. Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann. Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik

Kapitel 1. Zahlendarstellung. Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann. Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik Kapitel 1 Zahlendarstellung Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik Zahlensystemkonvertierung Motivation Jede nichtnegative Zahl z lässt

Mehr

Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen

Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen Kapitel 4: Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen Einführung in die Informatik Wintersemester 2007/08 Prof. Bernhard Jung Übersicht Codierung von rationalen Zahlen Konvertierung

Mehr

Zahlensysteme. Digitale Rechner speichern Daten im Dualsystem 435 dez = 1100110011 binär

Zahlensysteme. Digitale Rechner speichern Daten im Dualsystem 435 dez = 1100110011 binär Zahlensysteme Menschen nutzen zur Angabe von Werten und zum Rechnen vorzugsweise das Dezimalsystem Beispiel 435 Fische aus dem Teich gefischt, d.h. 4 10 2 + 3 10 1 +5 10 0 Digitale Rechner speichern Daten

Mehr

Kapitel 2. Zahlensysteme, Darstellung von Informationen

Kapitel 2. Zahlensysteme, Darstellung von Informationen Kapitel 2 Zahlensysteme, Darstellung von Informationen 1 , Darstellung von Informationen Ein Computer speichert und verarbeitet mehr oder weniger große Informationsmengen, je nach Anwendung und Leistungsfähigkeit.

Mehr

Grundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen

Grundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen Zahlendarstellung Zahlen und ihre Darstellung in Digitalrechnern Grundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen Linear organisierter Speicher zu einer Adresse gehört ein Speicher mit 3 Bit-Zellen

Mehr

Programmieren. Kapitel 3: Wie funktioniert ein moderner Computer? Wintersemester 2008/2009. Prof. Dr. Christian Werner

Programmieren. Kapitel 3: Wie funktioniert ein moderner Computer? Wintersemester 2008/2009. Prof. Dr. Christian Werner Institut für Telematik Universität zu Lübeck Programmieren Kapitel 3: Wie funktioniert ein moderner Computer? Wintersemester 8/9 Prof. Dr. Christian Werner 3- Überblick Typische Merkmale moderner Computer

Mehr

Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang. Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen

Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang. Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen

Mehr

Numerisches Programmieren, Übungen

Numerisches Programmieren, Übungen Technische Universität München SoSe 0 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Math Jürgen Bräckle Nikola Tchipev, MSc Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung Übungsblatt: Zahlendarstellung,

Mehr

Binärdarstellung von Fliesskommazahlen

Binärdarstellung von Fliesskommazahlen Binärdarstellung von Fliesskommazahlen 1. IEEE 754 Gleitkommazahl im Single-Format So sind in Gleitkommazahlen im IEEE 754-Standard aufgebaut: 31 30 24 23 0 S E E E E E E E E M M M M M M M M M M M M M

Mehr

Teil II. Schaltfunktionen

Teil II. Schaltfunktionen Teil II Schaltfunktionen 1 Teil II.1 Zahlendarstellung 2 b-adische Systeme Sei b IN mit b > 1 und E b = {0, 1,..., b 1} (Alphabet). Dann ist jede Fixpunktzahl z (mit n Vorkomma und k Nachkommastellen)

Mehr

Rechnerstrukturen WS 2012/13

Rechnerstrukturen WS 2012/13 Rechnerstrukturen WS 2012/13 Repräsentation von Daten Repräsentation natürlicher Zahlen (Wiederholung) Repräsentation von Texten Repräsentation ganzer Zahlen Repräsentation rationaler Zahlen Repräsentation

Mehr

Inhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 -

Inhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 - Binärsystem 7.Klasse - 1 - Inhalt: Binärarithmetik... 2 Negative Zahlen... 2 Exzess-Darstellung 2 2er-Komplement-Darstellung ( two s complement number ) 2 Der Wertebereich vorzeichenbehafteter Zahlen:

Mehr

TOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen

TOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen TOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen Computer verarbeiten Daten unter der Steuerung eines Programmes, das aus einzelnen Befehlen besteht. Diese Daten stellen Informationen dar und können sein:

Mehr

Einstieg in die Informatik mit Java

Einstieg in die Informatik mit Java 1 / 34 Einstieg in die Informatik mit Java Zahldarstellung und Rundungsfehler Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 34 1 Überblick 2 Darstellung ganzer Zahlen,

Mehr

Gleitkommaarithmetik und Fehleranalyse

Gleitkommaarithmetik und Fehleranalyse Gleitkommaarithmetik und Fehleranalyse Olaf Schenk Departement Informatik, Universität Basel http://informatik.unibas.ch 8 Mai 2003 IEEE Gleitkommaarithmetik und Fehleranalyse 1 IEEE Gleitkommaarithmetik

Mehr

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14. Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten

Mehr

Grundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung

Grundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Polyadische Zahlensysteme Gleitkomma-Arithmetik 4.

Mehr

Musterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1

Musterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 Musterlösung 2 Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 WS2013/2014 Hinweis: Die folgenden Aufgaben erheben nicht den Anspruch, eine tiefergehende Kenntnis zu vermitteln; sie sollen lediglich den Einstieg

Mehr

2 Gleitpunktarithmetik und Fehleranalyse

2 Gleitpunktarithmetik und Fehleranalyse Numerik 47 2 Gleitpunktarithmetik und Fehleranalyse Einführendes Beispiel: Berechnung von π. y (cos(2π/n)/2, π = Umfang eines Kreises mit Radius r = 1 2, U n = Umfang eines einbeschriebenen regelmäßigen

Mehr

Computerarithmetik (1)

Computerarithmetik (1) Computerarithmetik () Fragen: Wie werden Zahlen repräsentiert und konvertiert? Wie werden negative Zahlen und Brüche repräsentiert? Wie werden die Grundrechenarten ausgeführt? Was ist, wenn das Ergebnis

Mehr

Programmierparadigmen. Programmierparadigmen. Imperatives vs. objektorientiertes Programmieren. Programmierparadigmen. Agenda für heute, 4.

Programmierparadigmen. Programmierparadigmen. Imperatives vs. objektorientiertes Programmieren. Programmierparadigmen. Agenda für heute, 4. Agenda für heute, 4. Mai, 2006 Programmierparadigmen Imperative Programmiersprachen In Prozeduren zusammengefasste, sequentiell ausgeführte Anweisungen Die Prozeduren werden ausgeführt, wenn sie als Teil

Mehr

1 Zahlen. 1.1 Die reellen Zahlen

1 Zahlen. 1.1 Die reellen Zahlen Zahlen Die aus dem Alltagsleben bekannten rationalen Zahlen (Bruchzahlen) reichen nicht aus, um Analysis rigoros betreiben zu können. Die historische Entwicklung zeigt vielmehr, dass für die Belange der

Mehr

Rechnerarithmetik. Vorlesung im Sommersemester 2008. Eberhard Zehendner. FSU Jena. Thema: Die Standards ANSI/IEEE 754 und 854

Rechnerarithmetik. Vorlesung im Sommersemester 2008. Eberhard Zehendner. FSU Jena. Thema: Die Standards ANSI/IEEE 754 und 854 Rechnerarithmetik Vorlesung im Sommersemester 2008 Eberhard Zehendner FSU Jena Thema: Die Standards ANSI/IEEE 754 und 854 Eberhard Zehendner (FSU Jena) Rechnerarithmetik Die Standards ANSI/IEEE 754 und

Mehr

Leseprobe. Taschenbuch Mikroprozessortechnik. Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-42331-2

Leseprobe. Taschenbuch Mikroprozessortechnik. Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-42331-2 Leseprobe Taschenbuch Mikroprozessortechnik Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-4331- Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-4331-

Mehr

Rechnerarithmetik Ganzzahlen und Gleitkommazahlen Ac 2013

Rechnerarithmetik Ganzzahlen und Gleitkommazahlen Ac 2013 Rechnerarithmetik Ganzzahlen und Gleitkommazahlen Ac 2013 Im folgenden soll ein Überblick über die in Computersystemen bzw. Programmiersprachen verwendeten Zahlen inklusive ausgewählter Algorithmen (in

Mehr

1. Grundlagen der Informatik Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung

1. Grundlagen der Informatik Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung 1. Grundlagen der Informatik Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung Inhalt Grundlagen digitaler Systeme Boolesche Algebra / Aussagenlogik Organisation und Architektur von Rechnern Algorithmen,

Mehr

Die versteckten Fallen der "Jahr-2000"-Fähigkeit von Software am Beispiel von REXX

Die versteckten Fallen der Jahr-2000-Fähigkeit von Software am Beispiel von REXX Die versteckten Fallen der "Jahr-2000"-Fähigkeit von Software am Beispiel von REXX Zusammenfassung: Autorin/Autor: Um Software "Jahr-2000"-fähig zu machen, müssen Programmierer auch auf Fallen achten,

Mehr

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen:

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen: Zahlensysteme. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis darstellen: n n n n z a a... a a a Dabei sind die Koeffizienten a, a, a,... aus der

Mehr

Darstellung von Informationen

Darstellung von Informationen Darstellung von Informationen Bit, Byte, Speicherzelle und rbeitsspeicher Boolesche Operationen, Gatter, Schaltkreis Bit Speicher (Flipflop) Binär- Hexadezimal und Dezimalzahlensystem, Umrechnungen Zweierkomplement

Mehr

bereits in A,3 und A.4: Betrachtung von Addierschaltungen als Beispiele für Schaltnetze und Schaltwerke

bereits in A,3 und A.4: Betrachtung von Addierschaltungen als Beispiele für Schaltnetze und Schaltwerke Rechnerarithmetik Rechnerarithmetik 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Übersicht bereits in A,3 und A.4: Betrachtung von Addierschaltungen als Beispiele für Schaltnetze und Schaltwerke in diesem

Mehr

D A T E N... 1 Daten Micheuz Peter

D A T E N... 1 Daten Micheuz Peter D A T E N.....! Symbole, Alphabete, Codierung! Universalität binärcodierter Daten! Elementare Datentypen! Speicherung binärcodierter Daten! Befehle und Programme! Form und Bedeutung 1 Daten Micheuz Peter

Mehr

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f

Mehr

Programmieren in C Einführung

Programmieren in C Einführung Programmieren in C Einführung Aufbau eines Programms Einfache Programme Datentypen und Vereinbarungen Das Entwicklungswerkzeug Seite Einfache Programme Kugeltank-Berechnung #include void main

Mehr

Prof. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer. Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung

Prof. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer. Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung Prof. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung Zahlensysteme Problem: Wie stellt man (große) Zahlen einfach, platzsparend und rechnergeeignet

Mehr

Binärcodierung elementarer Datentypen: Darstellung negativer Zahlen

Binärcodierung elementarer Datentypen: Darstellung negativer Zahlen Binärcodierung elementarer Datentypen: Darstellung negativer Zahlen Statt positive Zahlen von 0 bis 2 n -1mit einem Bitmuster der Länge n darzustellen und arithmetische Operationen darauf auszuführen,

Mehr

Logische Verknüpfungen. while-schleifen. Zahlendarstellung auf dem Computer. Formatierung von Zahlen in MATLAB.

Logische Verknüpfungen. while-schleifen. Zahlendarstellung auf dem Computer. Formatierung von Zahlen in MATLAB. Logische Verknüpfungen. while-schleifen. Zahlarstellung auf dem Computer. Formatierung von Zahlen in MATLAB. Logische Verknüpfungen In der letzten Sitzung haben wir kennengelernt, wie wir Zahlen mit Operationen

Mehr

Übung RA, Kapitel 1.2

Übung RA, Kapitel 1.2 Übung RA, Kapitel 1.2 Teil 1: Zahlen und Logik A) Aufgaben zu den ganzen Zahlen 1. Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in die Binärform: 1984 Immer durch 2 teilen, der Rest ergibt das Bit. Jeweils mit

Mehr

Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik*

Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* 1. Darstellung positiver ganzer Zahlen 2. Darstellung negativer ganzer Zahlen 3. Brüche und Festkommazahlen 4. binäre Addition 5. binäre Subtraktion *Die Folien

Mehr

BITte ein BIT. Vom Bit zum Binärsystem. A Bit Of Magic. 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen?

BITte ein BIT. Vom Bit zum Binärsystem. A Bit Of Magic. 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen? BITte ein BIT Vom Bit zum Binärsystem A Bit Of Magic 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen? 3. Gegeben ist der Bitstrom: 10010110 Was repräsentiert

Mehr

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird.

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. Zahlensysteme Definition: Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. In der Informatik spricht man auch von Stellenwertsystem,

Mehr

3 Rechnen und Schaltnetze

3 Rechnen und Schaltnetze 3 Rechnen und Schaltnetze Arithmetik, Logik, Register Taschenrechner rste Prozessoren (z.b. Intel 4004) waren für reine Rechenaufgaben ausgelegt 4 4-Bit Register 4-Bit Datenbus 4 Kbyte Speicher 60000 Befehle/s

Mehr

620.900 Propädeutikum zur Programmierung

620.900 Propädeutikum zur Programmierung 620.900 Propädeutikum zur Programmierung Andreas Bollin Institute für Informatik Systeme Universität Klagenfurt Andreas.Bollin@uni-klu.ac.at Tel: 0463 / 2700-3516 Lösung der Aufgaben (1/2) Lösung Aufgabe

Mehr

Zyklen von indefiniten binären quadratischen Formen und die engere Idealklassengruppe reell quadratischer Zahlkörper mit Diskriminante d < 10 6

Zyklen von indefiniten binären quadratischen Formen und die engere Idealklassengruppe reell quadratischer Zahlkörper mit Diskriminante d < 10 6 Zyklen von indefiniten binären quadratischen Formen und die engere Idealklassengruppe reell quadratischer Zahlkörper mit Diskriminante d < 10 6 1. Einleitung. von Daniel C. Mayer. Dem Gedächtnis an Alexander

Mehr

Java Einführung VARIABLEN und DATENTYPEN Kapitel 2

Java Einführung VARIABLEN und DATENTYPEN Kapitel 2 Java Einführung VARIABLEN und DATENTYPEN Kapitel 2 Inhalt dieser Einheit Variablen (Sinn und Aufgabe) Bezeichner Datentypen, Deklaration und Operationen Typenumwandlung (implizit/explizit) 2 Variablen

Mehr

Übungen zu Informatik 1

Übungen zu Informatik 1 Communication Systems Group (CSG) Prof. Dr. Burkhard Stiller, Universität Zürich, Binzmühlestrasse 14, CH-8050 Zürich Telefon: +41 44 635 6710, Fax: +41 44 635 6809, stiller@ifi.uzh.ch Fabio Hecht, Telefon:

Mehr

Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8. Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt

Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8. Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8 Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt Kapitel 8: Themen Zahlensysteme - Dezimal - Binär Vorzeichen und Betrag Zweierkomplement Zahlen

Mehr

2 Einfache Rechnungen

2 Einfache Rechnungen 2 Einfache Rechnungen 2.1 Zahlen Computer, auch bekannt als Rechner, sind sinnvoller eingesetzt, wenn sie nicht nur feste Texte ausgeben, sondern eben auch rechnen. Um das Rechnen mit Zahlen zu verstehen,

Mehr

Die Mikroprogrammebene eines Rechners

Die Mikroprogrammebene eines Rechners Die Mikroprogrammebene eines Rechners Das Abarbeiten eines Arbeitszyklus eines einzelnen Befehls besteht selbst wieder aus verschiedenen Schritten, z.b. Befehl holen Befehl dekodieren Operanden holen etc.

Mehr

Arithmetik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck

Arithmetik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Arithmetik Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Übersicht Zahlendarstellung Addition und Subtraktion Multiplikation Division Fest- und Gleitkommazahlen

Mehr

2.0 Zahlendarstellung, Konvertierungsalgorithmen und arithmetische Algorithmen

2.0 Zahlendarstellung, Konvertierungsalgorithmen und arithmetische Algorithmen 2.0 Zahlendarstellung, Konvertierungsalgorithmen und arithmetische Algorithmen Ziele dieses Kapitels Kennenlernen wesentlicher Zahlensysteme und die Konvertierung von Zahlen zwischen unterschiedlichen

Mehr

1. 4-Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen 2. 4-Bit Binärzahlen mit Vorzeichen 3. 4-Bit Binärzahlen im 2er Komplement 4. Rechnen im 2er Komplement

1. 4-Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen 2. 4-Bit Binärzahlen mit Vorzeichen 3. 4-Bit Binärzahlen im 2er Komplement 4. Rechnen im 2er Komplement Kx Binäre Zahlen Kx Binäre Zahlen Inhalt. Dezimalzahlen. Hexadezimalzahlen. Binärzahlen. -Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen. -Bit Binärzahlen mit Vorzeichen. -Bit Binärzahlen im er Komplement. Rechnen im

Mehr

Prinzip 8 der von-neumann Architektur: (8) Alle Daten werden binär kodiert

Prinzip 8 der von-neumann Architektur: (8) Alle Daten werden binär kodiert Binäre Repräsentation von Information Bits und Bytes Binärzahlen ASCII Ganze Zahlen Rationale Zahlen Gleitkommazahlen Motivation Prinzip 8 der von-neumann Architektur: (8) Alle Daten werden binär kodiert

Mehr

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192.

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192. Binäres und dezimales Zahlensystem Ziel In diesem ersten Schritt geht es darum, die grundlegende Umrechnung aus dem Dezimalsystem in das Binärsystem zu verstehen. Zusätzlich wird auch die andere Richtung,

Mehr

Informationsdarstellung im Rechner

Informationsdarstellung im Rechner Informationsdarstellung im Rechner Dr. Christian Herta 15. Oktober 2005 Einführung in die Informatik - Darstellung von Information im Computer Dr. Christian Herta Darstellung von Information im Computer

Mehr

Informatik I: Abschnitt 7

Informatik I: Abschnitt 7 Informatik I: Abschnitt 7 Inhalt: 7. Interne Informationsdarstellung 7.1 Ganzzahlige Datentypen 7.2 Gleitkomma-Datentypen Die Folien basieren zum Teil auf einen Foliensatz von R. Großmann und T. Wiedemann

Mehr

1.7 Assembler Programmierung

1.7 Assembler Programmierung 1.7 Assembler Programmierung Die nach außen sichtbare Programmierschnittstelle eines Prozessors ist der Befehlscode. Dies ist eine binäre Dateninformation, die vom Prozessor Byte für Byte abgearbeitet

Mehr

Information in einem Computer ist ein

Information in einem Computer ist ein 4 Arithmetik Die in den vorhergehenden Kapiteln vorgestellten Schaltungen haben ausschließlich einfache, Boole sche Signale verarbeitet. In diesem Kapitel wird nun erklärt, wie Prozessoren mit Zahlen umgehen.

Mehr

Beispiel: e x. Fehler

Beispiel: e x. Fehler Beispiel: e x Computerintensive Methoden Friedrich Leisch Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München WS 2010/2011 2 Maschinenzahlen & Computerarithmetik Reihendarstellung: Funktioniert

Mehr

Praktikum zu Einführung in die Informatik für LogWiIngs und WiMas Wintersemester 2015/16. Vorbereitende Aufgaben. Präsenzaufgaben

Praktikum zu Einführung in die Informatik für LogWiIngs und WiMas Wintersemester 2015/16. Vorbereitende Aufgaben. Präsenzaufgaben Praktikum zu Einführung in die Informatik für LogWiIngs und WiMas Wintersemester 2015/16 Fakultät für Informatik Lehrstuhl 14 Lars Hildebrand, Marcel Preuß, Iman Kamehkhosh, Marc Bury, Diana Howey Übungsblatt

Mehr

Technische Informatik - Eine Einführung

Technische Informatik - Eine Einführung Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Ausgabe: 2005-02-21 Abgabe: 2005-02-21 Technische Informatik - Eine

Mehr

2. Aufgabenblatt mit Lösungen

2. Aufgabenblatt mit Lösungen Problem 1: (6*1 = 6) TI II 2. Aufgabenblatt mit Lösungen Geben Sie für jede der folgenden Zahlen deren Ziffernschreibweisen im Dezimal-, Dual-, Oktal- und Hexadezimal-System an. a) (2748) 10 b) (1010011011)

Mehr

Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10

Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10 Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754 Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen Die wissenschaftliche Darstellung einer Zahl ist wie folgt definiert: n = f * 10 e. f ist

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik

Mehr

5. Übung: Binäres Rechnen und Fließkommazahlen Abteilung Verteilte Systeme, Universität Ulm

5. Übung: Binäres Rechnen und Fließkommazahlen Abteilung Verteilte Systeme, Universität Ulm 5. Übung: Binäres Rechnen und Fließkommazahlen Aufgabe 1: Binäres Rechnen a) Berechnen Sie: x = 01100101b*(0101101b-10110100b)+10101b. Alle Zahlen sind 8 Bit breit und in Zweierkomplement-Notation angegeben.

Mehr

Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik. 1. Zahlensysteme

Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik. 1. Zahlensysteme Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik 1. Zahlensysteme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Teich Dr.-Ing. Christian Haubelt Lehrstuhl für Hardware-Software Software-Co-Design Grundlagen der Digitaltechnik

Mehr

Hochschule Fakultät Technologie und Management Informationsverarbeitung Ravensburg-Weingarten Vorlesung zur Datenverarbeitung 1 Zahlensysteme Inhalt

Hochschule Fakultät Technologie und Management Informationsverarbeitung Ravensburg-Weingarten Vorlesung zur Datenverarbeitung 1 Zahlensysteme Inhalt Inhalt 2 ZAHLENSYTEME...2-2 2.1 ZAHL...2-2 2.2 ZAHLENDARSTELLUNG...2-3 2.2.1 Zahlensysteme für die EDV...2-5 2.2.2 Umwandlung (Konvertierung)...2-6 2.2.2.1 Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen...2-7

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Hans Delfs Helmut Knebl Christian Schiedermeier Grundlagen der Informatik nhtw Nürnberger Hochschulskripten für Technik und Wirtschaft Prof. Dr. Hans Delfs Prof. Dr. Helmut Knebl Prof. Dr. Christian Schiedermeier

Mehr

Daten verarbeiten. Binärzahlen

Daten verarbeiten. Binärzahlen Daten verarbeiten Binärzahlen In Digitalrechnern werden (fast) ausschließlich nur Binärzahlen eingesetzt. Das Binärzahlensystem ist das Stellenwertsystem mit der geringsten Anzahl von Ziffern. Es kennt

Mehr

Einführung in die Informatik für Hörer aller Fakultäten II. Andreas Podelski Stephan Diehl Uwe Waldmann

Einführung in die Informatik für Hörer aller Fakultäten II. Andreas Podelski Stephan Diehl Uwe Waldmann Einführung in die Informatik für Hörer aller Fakultäten II Andreas Podelski Stephan Diehl Uwe Waldmann 1 Einführung in die Informatik für Hörer aller Fakultäten II Andreas Podelski Stephan Diehl Uwe Waldmann

Mehr

Grundlagen der Informatik (BSc) Übung Nr. 5

Grundlagen der Informatik (BSc) Übung Nr. 5 Übung Nr. 5: Zahlensysteme und ihre Anwendung Bitte kreuzen Sie in der folgenden Auflistung alle Zahlensysteme an, zu welchen jeder Ausdruck als Zahl gehören kann! (Verwenden Sie 'x für Wahl, ' ' für Ausschluß

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Mag. Christian Gürtler Programmierung Grundlagen der Informatik 2011 Inhaltsverzeichnis I. Allgemeines 3 1. Zahlensysteme 4 1.1. ganze Zahlen...................................... 4 1.1.1. Umrechnungen.................................

Mehr

Numerische Datentypen. Simon Weidmann

Numerische Datentypen. Simon Weidmann Numerische Datentypen Simon Weidmann 08.05.2014 1 Ganzzahlige Typen 1.1 Generelles Bei Datentypen muss man immer zwei elementare Eigenschaften unterscheiden: Zuerst gibt es den Wertebereich, zweitens die

Mehr

Gleitkomma-Arithmetik führt zu ungenauen Ergebnissen in Excel

Gleitkomma-Arithmetik führt zu ungenauen Ergebnissen in Excel 1 von 5 26.09.2008 13:03 Gleitkomma-Arithmetik führt zu ungenauen Ergebnissen in Excel Produkte anzeigen, auf die sich dieser Artikel beziehtdieser Artikel wurde zuvor veröffentlicht unter D38732 Artikel

Mehr

Daten, Informationen, Kodierung. Binärkodierung

Daten, Informationen, Kodierung. Binärkodierung Binärkodierung Besondere Bedeutung der Binärkodierung in der Informatik Abbildung auf Alphabet mit zwei Zeichen, in der Regel B = {0, 1} Entspricht den zwei möglichen Schaltzuständen in der Elektronik:

Mehr

L6. Operatoren und Ausdrücke

L6. Operatoren und Ausdrücke L6. Operatoren und Ausdrücke 1. Arithmetische Operatoren: +, -, *, /, %, --, ++ 2. Zuweisung-Operatoren: =, +=, -=, *=, /= 3. Vergleichsoperatoren: =, ==,!= 4. Logische Operatoren:!, &&, 5.

Mehr

Technische Informatik

Technische Informatik Bernd Becker Rolf Drechsler Paul Molitor Technische Informatik Eine Einführung ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sysney Mexico City Madrid

Mehr

1 : Die Rechnungsarten

1 : Die Rechnungsarten 1 von 22 23.10.2006 14:08 0 : Inhalt von Kapitel DAT 1 : Die Rechnungsarten 2 : Die Worte 3 : Hilfsprozessoren 4 : Binäre Zahlendarstellung 5 : Interpretationen 6 : Division mit Rest 7 : Horner Schema

Mehr

Microcontroller Kurs. 08.07.11 Microcontroller Kurs/Johannes Fuchs 1

Microcontroller Kurs. 08.07.11 Microcontroller Kurs/Johannes Fuchs 1 Microcontroller Kurs 08.07.11 Microcontroller Kurs/Johannes Fuchs 1 Was ist ein Microcontroller Wikipedia: A microcontroller (sometimes abbreviated µc, uc or MCU) is a small computer on a single integrated

Mehr

1. Stellenwerte im Dualsystem

1. Stellenwerte im Dualsystem 1. a) Definitionen Stellenwertsystem Ein Zahlensystem bei dem der Wert einer Ziffer innerhalb einer Ziffernfolge von ihrer Stelle abhängt, wird Stellenwertsystem genannt. Die Stellenwerte sind also ganzzahlige

Mehr