WH: Arithmetik: Floating Point
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- Gretel Adler
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1 WH: Arithmetik: Floating Point Elmar Langetepe University of Bonn Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 1
2 Real RAM Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2
3 Real RAM Reelle Zahlen Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2
4 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2
5 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2
6 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Exakte Vergleiche: <,, =,,, > Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2
7 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Exakte Vergleiche: <,, =,,, > 1 Speicherplatz je Zahl Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2
8 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Exakte Vergleiche: <,, =,,, > 1 Speicherplatz je Zahl Kosten einer Berechnung: konstant Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2
9 Real RAM Reelle Zahlen Standard Arithmetik: +,,, /; (Erweiterte Arithmetik) Exakte Vergleiche: <,, =,,, > 1 Speicherplatz je Zahl Kosten einer Berechnung: konstant Analyse der Laufzeit: O/Ω-Notation Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2
10 Was bietet der Rechner? Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3
11 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3
12 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3
13 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3
14 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Standard IEEE 754 (binär)/ IEEE 854 (dezimal) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3
15 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Standard IEEE 754 (binär)/ IEEE 854 (dezimal) Garantiert Portabilität des Codes Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3
16 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Standard IEEE 754 (binär)/ IEEE 854 (dezimal) Garantiert Portabilität des Codes Programmiersprachen stützen sich darauf ab Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3
17 Was bietet der Rechner? Real RAM nicht realistisch: Z.B.: 0.1 im Rechner nicht endlich darstellbar Kosten für Operationen nicht konstant Vergleiche realistisch! Standard IEEE 754 (binär)/ IEEE 854 (dezimal) Garantiert Portabilität des Codes Programmiersprachen stützen sich darauf ab Untersuchung des Standards Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 3
18 IEEE 754 Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4
19 IEEE Repräsentation Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4
20 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4
21 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4
22 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4
23 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) 5. Arithmetische Operationen Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4
24 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) 5. Arithmetische Operationen 6. Vergleiche Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4
25 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) 5. Arithmetische Operationen 6. Vergleiche 7. Konvertierungen Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4
26 IEEE Repräsentation 2. Formate (single/double) 3. Layout der Formate 4. Runden (ULP/Abs. Fehler/Relativ Fehler) 5. Arithmetische Operationen 6. Vergleiche 7. Konvertierungen 8. Spezielle Zahlen (unendlich groß/undefiniert) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 4
27 IEEE 754: 1. Repräsentation Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5
28 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5
29 Basis: β; Präzision: p; IEEE 754: 1. Repräsentation Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5
30 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5
31 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Darstellung: d 0.d 1 d 2... d p 1 β e mit e E und 0 d i < β Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5
32 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Darstellung: ( d 0.d 1 d 2... d p 1 β e mit e E und 0 d i < β p 1 ) Bedeutet: i=0 d iβ i β e Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5
33 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Darstellung: ( d 0.d 1 d 2... d p 1 β e mit e E und 0 d i < β p 1 ) Bedeutet: i=0 d iβ i β e Normalisiert: d 0 0 Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5
34 IEEE 754: 1. Repräsentation Basis: β; Präzision: p; Exponent Intervall: [e min, e max ] = E Darstellung: ( d 0.d 1 d 2... d p 1 β e mit e E und 0 d i < β p 1 ) Bedeutet: i=0 d iβ i β e Normalisiert: d 0 0 Beispiel: Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 5
35 IEEE 754: Format und Layout 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6
36 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6
37 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6
38 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double Bias für Exponent: 127; 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6
39 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double Bias für Exponent: 127; statt 0 255; 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6
40 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double Bias für Exponent: 127; statt 0 255; (0 Bias) bis (255 Bias) 1 }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6
41 IEEE 754: Format und Layout Single: p = 24, e min = 126, e max = 127 Anderes Format: double Bias für Exponent: 127; statt 0 255; (0 Bias) bis (255 Bias) Bsp.: ( 1) ( ) Bias = = }{{} VZ Exponent 2 8 bit {}}{ }{{} Signifikanten 23 bit Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 6
42 IEEE 754: 4. Runden Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
43 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
44 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
45 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
46 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler units in the last place (ulps) d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
47 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
48 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: Abs. Fehler: 2 ulps Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
49 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: Abs. Fehler: 2 ulps z = R-to-N(z) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
50 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: Abs. Fehler: 2 ulps z = R-to-N(z) Abs. Fehler β/2 ulps Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
51 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Round to nearest (R-to-N): z darstellbar mit p digits, z z minimal mit dieser Eigenschaft Tie-Breaking: Round-to-zero (kleinst.)/ Round-to-even(größt.) z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Absoluter Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 z/β e β p 1 units in the last place (ulps) Bsp: z = 3.12 z = 3.14: Abs. Fehler: 2 ulps z = R-to-N(z) Abs. Fehler β/2 ulps(= β p+1 ) Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 7
52 IEEE 754: 4. Runden Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8
53 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8
54 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Relativer Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 β e z z Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8
55 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Relativer Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 β e z z Relativer Fehler bei R-to-N: Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8
56 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Relativer Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 β e z z Relativer Fehler bei R-to-N: 1 2 β p 1 2 ulp β 2 β p Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8
57 IEEE 754: 4. Runden β, p, z gegeben z = d 0.d 1 d 2... d p 1 β e : Relativer Fehler d 0.d 1 d 2... d p 1 β e z z Relativer Fehler bei R-to-N: 1 2 β p 1 2 ulp β 2 β p Maschinen Epsilon: ɛ = β 2 β p Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 8
58 IEEE 754: 5. Arithmetik Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9
59 IEEE 754: 5. Arithmetik Einfache Operationen: +,,, und / durch,,, und Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9
60 IEEE 754: 5. Arithmetik Einfache Operationen: +,,, und / durch,,, und Bedingung: z.b. entspricht exakte Rechnung und dann R-to-N Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9
61 IEEE 754: 5. Arithmetik Einfache Operationen: +,,, und / durch,,, und Bedingung: z.b. entspricht exakte Rechnung und dann R-to-N z.b.: x y = xy(1 + δ) und δ < ɛ = β 2 β p Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9
62 IEEE 754: 5. Arithmetik Einfache Operationen: +,,, und / durch,,, und Bedingung: z.b. entspricht exakte Rechnung und dann R-to-N z.b.: x y = xy(1 + δ) und δ < ɛ = β 2 β p Kann das beliebig teuer werden? Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 9
63 IEEE 754: 5. Arithmetik Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10
64 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Regel Shift-and-discard Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10
65 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10
66 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden p = 4, β = 10 x = y = x y = Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10
67 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden p = 4, β = 10 Stellen sparen x = y = x y = Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10
68 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden p = 4, β = 10 Stellen sparen Einfache Regel: Kann in jeder Stelle falsch sein x = y = x y = Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10
69 IEEE 754: 5. Arithmetik Subtraktion: Shift-and-discard Regel Normieren und Abschneiden p = 4, β = 10 Stellen sparen Einfache Regel: Kann in jeder Stelle falsch sein Beispiel: Fehler 200 ulps x = y = x y = x = y = x y = Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 10
in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen
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