Grundlagen der Technischen Informatik. 3. Übung. Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

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1 Grundlagen der Technischen Informatik 3. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

2 3. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Zahlendarstellungen I Zahlendarstellungen II Zahlendarstellungen III Zahlenkonversion Binär- und Hexadezimalarithmetik

3 3. Übungsblatt Aufgabe 1 a) Beschreiben Sie den allgemeinen Aufbau einer Zahl N in einem polyadischen Zahlensystem. N = d n-1 R n d 1 R 1 + d 0 R 0 R: Basis R i : Wertigkeit d i : Ziffer der Stelle i Z: 0,, R-1

4 3. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Welche ist die größte mit n Bits darstellbare Dezimalzahl? 2 n - 1

5 3. Übungsblatt Aufgabe 1 c) Geben Sie den Wertebereich einer n Bit breiten Zahl N = d n-1 d n-2 d 1 d 0 in (I) Vorzeichen / Betrags-, (II) 1er- und (III) 2er-Komplementdarstellung an und nennen Sie die Formel für die Berechnung des Zahlenwertes. Darstellung Wertebereich Zahlenwert I [-2 n-1 + 1, 2 n-1-1] II [-2 n-1 + 1, 2 n-1-1] III [-2 n-1, 2 n-1-1] d dn 1 ( 1) n 2 i 0 d i 2 n 2 n 1 i ( d 2 ) d 2 n 1 n 1 i i 0 n 2 n 1 i 2 ) 2 1 i i 0 ( d n d i

6 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplementdarstellung dar. (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung: 1. Umwandeln der Dezimalzahl in Binärzahl 2. Dezimalzahl < 0: Voranstellen einer 1 3. Dezimalzahl > 0: Voranstellen einer 0

7 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplementdarstellung dar. (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung: 2 10 = 2 1 = (0) = 2 6 = (0) = = (0) = = (0) => = (1) = 2 5 = (0) => = (1)

8 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplementdarstellung dar. (II) 1er-Komplement: 1. Umwandeln der Dezimalzahl in Binärzahl 2. Führende 0 an den Beginn der Binärzahl 3. Falls Dezimalzahl < 0 invertieren der Bits der Binärzahl

9 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplementdarstellung dar. (II) 1er-Komplement: 2 10 = 2 1 = = 2 6 = = = = = => = = 2 5 = => =

10 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplementdarstellung dar. (III) 2er-Komplement: 1. Dezimalzahl > 0: 2er-Komplement = 1er-Komplement 2. Dezimalzahl < 0: 2er-Komplement = 1er-Komplement + 1

11 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplementdarstellung dar. (III) 2er-Komplement: 2 10 = 2 1 = = 2 6 = = = = = => = => = = 2 5 = => = => =

12 3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, , , Stellen Sie diese Zahlen in der (I) Vorzeichen / Betragsdarstellung (II) 1er-Komplement und (II) 2er-Komplementdarstellung dar. Dezimal Vorzeichen/Betrag 1er-Komplement 2er-Komplement 2 (0) (0) (0) (1) (1)

13 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (I) Hexadezimal 1. Erweitern der Binärzahlen auf 4er-Blöcken 2. Zusammenfassen der 4er-Blöcke

14 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (I) Hexadezimal 10 2 = = = = = = 3F = = = = FF = = FE 16

15 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (II) Oktalzahl 1. Erweitern der Binärzahlen auf 3er-Blöcken 2. Zusammenfassen der 3-Blöcke

16 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (II) Oktalzahl 10 2 = = = = = = = = = = = = 376 8

17 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (III) BCD-Zahl 1. Umwandeln der Binärzahlen in Dezimalzahlen 2. Umwandeln der Dezimalziffern zu 4er-Blöcken

18 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (III) BCD-Zahl 10 2 = 2 1 = 2 10 = (0010) BCD = = = ( ) BCD = = = ( ) BCD = 2 6 = = ( ) BCD = = = = ( ) BCD = = = = ( ) BCD

19 3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, , , , , Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. Binär Hexadezimal Oktal BCD F FF FE

20 3. Übungsblatt Aufgabe 4 a) Konvertieren Sie die folgende Hexadezimalzahl mit sukzessiver Division unter ausschließlicher Verwendung der angegebenen Zahlensysteme ins Binär- bzw. Ternärsystem: (A03) 16 = (?) 2 (A03) 16 = (?) 3 Anmerkungen: I. Konvertierung von großem auf kleines Zahlensystem: sukzessive Division II. Konvertierung von kleinem auf großes Zahlensystem: Horner-Schema oder sukzessive Division bei sukzessiver Division: Umwandlung der großen Basis in kleines Zahlensystem

21 3. Übungsblatt Aufgabe 4 a) (A03) 16 = (?) 2 A03 : 2 = A : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = A : 2 = A0 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 0A + 0 (A03) 16 = ( ) 2

22 3. Übungsblatt Aufgabe 4 a) (A03) 16 = (?) 3 A03 : 3 = : 3 = 11C C : 3 = 5E + 2 5E : 3 = 1F + 1 1F : 3 = 0A + 1 A : 3 = : 3 = : 3 = (A03) 16 = ( ) 3

23 3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) Konvertieren Sie die folgende Binärzahl unter ausschließlicher Verwendung der angegebenen Zahlensysteme ins Oktal- bzw. Ternärsystem: ( ) 2 = (?) 8 ( ) 2 = (?) 3 Horner-Schema: von links nach rechts

24 3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) ( ) 2 = (?) 8 1 * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = = = 347 8

25 3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) ( ) 2 = (?) 3 1 * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = = =

26 3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) ( ) 2 = (?) : 11 2 = R : 11 2 = R : 11 2 = R : 11 2 = 10 2 R : 11 2 = 0 2 R =

27 3. Übungsblatt Aufgabe 4 c) Konvertieren Sie die Dezimalzahl 234, ins Binärformat. Verwenden Sie für die Nachkommadarstellung maximal 4 Bit. 234 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = =

28 3. Übungsblatt Aufgabe 4 c) Konvertieren Sie die Dezimalzahl 234, ins Binärformat. Verwenden Sie für die Nachkommadarstellung maximal 4 Bit. 0,28125 * 2 = 0, ,5625 * 2 = 1, ,125 * 2 = 0,25 0 0,25 * 2 = 0,5 0 0, ,0100 2

29 3. Übungsblatt Aufgabe 4 c) Konvertieren Sie die Dezimalzahl 234, ins Binärformat. Verwenden Sie für die Nachkommadarstellung maximal 4 Bit. 234, ,0100 2

30 3. Übungsblatt Aufgabe 5 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln: a) Addition im Binär- und Hexadezimalsystem: = B674FC DA9D4B

31 3. Übungsblatt Aufgabe 5 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln: a) Addition im Binär- und Hexadezimalsystem: = B674FC DA9D4B2 16 = E41ED0C4 16 B F C D A 9 D 4 B E 4 1 E D 0 C 4

32 3. Übungsblatt Aufgabe 5 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln: b) Multiplikation im Binärsystem: * = *

33 3. Übungsblatt Aufgabe 5 c) Subtraktion im Binärsystem: Minuend Subtrahend Subtrahend (B-1) Subtrahend (B-2) Minuend = Übertrag = => Ergebnis positiv

34 3. Übungsblatt Aufgabe 5 c) Subtraktion im Binärsystem: Minuend Subtrahend Subtrahend (B-1) Subtrahend (B-2) Minuend = Übertrag = => Ergebnis negativ

35 3. Übungsblatt Aufgabe 5 d) Prozessoren arbeiten mit einer endlichen Wortbreite, was den darstellbaren Zahlenbereich einschränkt. Welche Auswirkungen kann dies bei der Subtraktion und Addition haben? Können Sie sich vorstellen, wie diese Probleme in der Praxis gelöst werden?

36 3. Übungsblatt Aufgabe 5 d) Prozessoren arbeiten mit einer endlichen Wortbreite, was den darstellbaren Zahlenbereich einschränkt. Welche Auswirkungen kann dies bei der Subtraktion und Addition haben? Es kann zu falschen Ergebnissen kommen, falls der darstellbare Zahlenbereich verlassen wird.

37 3. Übungsblatt Aufgabe 5 d) Prozessoren arbeiten mit einer endlichen Wortbreite, was den darstellbaren Zahlenbereich einschränkt. Können Sie sich vorstellen, wie diese Probleme in der Praxis gelöst werden? Im Prozessor existiert ein Carry Flag, welches den Übertrag von der n-ten in die (n+1)-te Stelle enthält und vom Programmierer explizit überprüft und verarbeitet werden kann.

38 3. Übungsblatt Aufgabe 5 d) Prozessoren arbeiten mit einer endlichen Wortbreite, was den darstellbaren Zahlenbereich einschränkt. Können Sie sich vorstellen, wie diese Probleme in der Praxis gelöst werden? Bei der Darstellung im 2er-Komplement kann zu einem arithmetischen Überlauf kommen, bei dem das Vorzeichen des Ergebnisses falsch ist. Hierfür existiert im Prozessor das Overflow Flag.

39 3. Übungsblatt Danke für die Aufmerksamkeit