Klausur Nr. 2. Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper. keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.

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1 Klausur Nr. 2 Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Bilden Sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich: a) 1 cos b) sin 2 2. Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz aber prägnant. a) Für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation einer Funktion auf dem Intervall [a; b] entsteht, gilt:. / 5 b) Die Abbildung zeigt die Graphen K 1 und K 2 einer Funktion bzw. ihrer Ableitung. bitte wenden!

2 3. Mit 4 wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. Fertigen Sie eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Geben Sie auch seine Maße an! / 3 4. Gegeben sind die Funktionen und mit 2 und 17. a) Berechnen Sie b) Für welchen Wert von ist 6? Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

3 Klausur Nr. 2 Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper Wahlteil Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 5. Gegeben ist die Funktion mit a) Skizzieren Sie den Verlauf des Schaubilds für x im Intervall [-10; 20]. b) Finden Sie alle Extremstellen von. Entscheiden Sie, welche Art von Extremstelle jeweils vorliegt. Begründen Sie Ihre Entscheidung. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an im Schnittpunkt mit der y-achse. Sie dürfen dabei die Koeffizienten auf zwei Dezimalen gerundet angeben. d) Erklären Sie, warum 5 die einzige Nullstelle von sein muss. / Durch Rotation der Graphen von und mit bzw. 0,5 im Intervall 0; 8 um die x-achse entsteht der Glaskörper eines Sektglases ohne Stiel, eine Längeneinheit entspricht in der Realität 1cm. a) Wie viel Sekt passt in das Glas, wenn es bis 1cm unter dem Rand gefüllt ist? b) Welches Volumen hat das zur Herstellung benötigte Glas? / 5 7. Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Die Querschnittsfläche soll genau 45m² betragen. a) Fertigen Sie eine Skizze an. b) Welche Maße hat das Rechteck, wenn der Umfang minimal werden soll? / 6 Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe Viel Erfolg! Schule Notengebung von 39 Rückgabe am 12. Dezember 2012 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel:

4 Klausur Nr. 2 Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Bilden Sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich: a) 1 cos b) sin 2 1 cosx 1 sinx sin 1cos Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz aber prägnant. a) Für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation einer Funktion auf dem Intervall [a; b] entsteht, gilt:. falsch Gegenbeispiel: 2, Rotation im Intervall [0;4] liefert einen Zylinder mit Grundkreisradius 2 und Höhe 4, also Die angegebene Formel liefert jedoch nur b) Die Abbildung zeigt die Graphen K 1 und K 2 einer Funktion bzw. ihrer Ableitung. / 5 K 1 gehört zu und K 2 zu, denn z.b.: (1) An der ersten Maximalstelle von K1 hat K2 eine Nullstelle (NS) mit Vorzeichenwechsel (VZW) von Plus nach Minus, ok! An der ersten Maximalstelle von K1 hat K2 eine NS mit VZW /+, nicht ok! (2) Beide Funktionen haben die Periode, deshalb gilt für den Funktionsterm zu K1: sin 2, die zugehörige Ableitung ist 2cos 2, die Ableitung hat also die größere Amplitude. bitte wenden!

5 3. Mit 4 wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. Fertigen Sie eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Geben Sie auch seine Maße an. / 3 Es handelt sich um einen Zylinder mit Radius 2 LE und Höhe 1 LE. 4. Gegeben sind die Funktionen und mit 2 und 17. a) Berechnen Sie b) Für welchen Wert von ist 6? Einsetzen der Funktionsterme liefert: 2 176, das gilt nur für 26. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

6 Erwartungshorizont Wahlteil 5. a) Die Funktionsgleichung kann in den GTR eingegeben werden, das Schaubild sollte beschriftete und mit Einheiten versehene Koordinatenachsen und eine zeichengenaue Darstellung des Graphen auf der Grundlage einer geeigneten, aber nicht unbedingt schriftlich fixierten Wertetabelle sowie die wesentlichen Punkte enthalten - siehe nebenstehende Abbildung. (2 ) b) Mit Hilfe des GTR findet man die beiden Extremstellen und. Es handelt sich dabei um eine Maximal- bzw. eine Minimalstelle, da das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus bzw. von Minus nach Plus wechselt. (3) [Nicht erwartet, aber der Vollständigkeit halber sei angegeben: Außer diesen beiden Stellen kann es keine Extremstellen geben, denn die Funktion h mit ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und diese haben maximal zwei Extremstellen. Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion kann sich die Anzahl der Nullstellen durch Wurzelziehen aus dem zweiten Faktor nicht erhöhen.] c) Mit Hilfe des GTR können 0 und 0 näherungsweise bestimmt werden: 0 8,17007 und 0 1,17502 Die Tangentengleichung hat die Form, wobei gilt: 0 0 8,17 und 0 1,18. Also heißt die Tangentengleichung im Schnittpunkt mit der y-achse näherungsweise:,, (3 ) d) Wegen des Satzes vom Nullprodukt muss mindestens einer der beiden Faktoren und den Wert Null haben, damit gleich Null ist. Der erste Faktor ist Null für 5. Um zu prüfen, ob auch der zweite Faktor der Wert Null annimmt, genügt es zu prüfen, ob der Radikand Null wird. Die Diskriminante der abc-formel hat den Wert , daher gibt es keine reelle Lösung für die Gleichung Somit ist 5 die einzige Nullstelle von f. (2 )

7 6. a) Da der Graph von h die innere Wand des Sektglases beschreibt, gilt für das gesuchte Volumen (in cm³):, 0,5² 0,5, 66,4 Es passen gut 66cm³ Sekt in das so gefüllte Glas. (2 ) b) Das gesuchte Volumen erhält man, indem man die Volumina der beiden Rotationskörper voneinander subtrahiert. Diese entstehen wenn man g bzw. h vom jeweiligen Beginn bis 8 um die x-achse rotieren lässt: ß 100,53 und, 43,02 ß 100,53 43,02 57,5. Man benötigt also zur Herstellung eines Sektglases ca. 57,5cm³ Glas. (3 ) liefern 7. a) Skizze der Situation, siehe rechts. (1 ) b) Die zu minimierende Größe ist der Umfang:, 22 2 (1 ) Die Nebenbedingung legt für den Flächeninhalt A fest: 45, der Flächeninhalt berechnet sich so: 2, also gilt Radius r Höhe h Nach h aufgelöst: 45 :2 (1 ) Eingesetzt in, erhält man (unvereinfacht) : 245 :22 2 (1) Das Schaubild von u kann man mit dem GTR plotten lassen (s.r., 0 10, 0 50) und die Minimalstelle 3,55 finden. (1 ) Die zugehörige Höhe findet man durch Einsetzen in die Nebenbedingung: 45 3,55 : 2 3,55 3,55 (1 )