Codierung: Zahlen (Nachträge)

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis 1 Umwandlungen Zwischen Hexadezimal-/Oktal- und Binärsystem Speichergröÿen typischer Variablentypen C/C Java Notationen von Zahlen in Programmcode Bit- und Byteordnung, Endianness Gröÿenangaben für Speicherbereiche Groÿ- und Kleinschreibung Einige Punkte, die wir bisher im Zusammenhang mit der Codierung vernachlässigt haben, werden hier einmal kurz und relativ unzusammenhängend erläutert. Umwandlungen Zwischen Hexadezimal-/Oktal- und Binärsystem Das hexadezimale und das oktale Stellenwertsystem basieren auf Potenzen der Zahl zwei. Daher sind Umwandlungen vom und ins binäre System sehr leicht möglich. Beispiel Binär Hex Liegt etwa eine groÿe 4-Byte Zahl vor, z.b. die Binärdarstellung der Dezimalzahl , also dann reicht es aus, wenn wir diese Zahl in 4-Bit-Blöcke aufteilen und einzeln ins Hexadezimalsystem übertragen B C D 1 5 Es gilt also = = 75BCD15 16 Das funktioniert, weil 4 Bit immer exakt die gleiche Informationsmenge codieren wie eine einzelne Hexadezimalzahl. Eine einzelne Hexadezimalzahl mit n Stellen codiert 16 n verschiedene Zahlen. Es gilt aber: 2 4n = 16 n, da: 2 4n = (2 4 ) n Entsprechend codieren also 2 Hexzahlen genauso viele verschiedene Zahlen wie 8 Bit, 3 Hexzahlen soviele wie 12 Bit, 4 soviele wie 16 Bit, etc. Einzelne Bytes drückt man daher gerne als Folgen von je 2 Hexadezimalzahlen aus. Die resultierende Bitfolge ist dann bei Bedarf relativ leicht rekonstruierbar. 8F = F = AF =

2 Beispiel Binär Oktal Für das Oktalsystem nehmen wir entsprechend nicht 4, sondern drei Bits, da auch hier die abbildbaren Informationen immer gleich sind: 2 3n = (2 3 ) n = 8 n Wir können also zur Konvertierung wie folgt vorgehen: Es gilt also: = = Speichergröÿen typischer Variablentypen Die genaue Gröÿe verschiedener Datentypen im Speicher hängt oft von der Plattform ab, für die programmiert wird, sowie vom verwendeten Compiler. Einige Aussagen lassen sich aber treen. C/C++ Einige C-Standards machen Aussagen über die minimale Gröÿe von Integer-Typen. So ndet sich etwa im C99 N1256 standard draft (Zier ) Mindestangaben für Zahlbereiche zu einigen Datentypen, die den folgenden Byte-Gröÿen entsprechen würden. Ein Compiler, der mit dem Standard C 99 konform gehen möchte, müsste also diese Gröÿen mindestens realisieren, könnte sich aber auch entscheiden, gröÿere Bereiche festzulegen. Typ char 1 short 2 unsigned short 2 int 2 unsigned int 2 long 4 unsigned long 4 long long 8 unsigned long long 8 float (?) double (?) long double (?) Minimalgröÿe (Byte) Dabei signalisiert unsigned einen vorzeichenlosen Datentyp, also einen, der nur positive Werte annehmen kann. 2

3 Java Java garantiert feste Speichergröÿen für bestimmte Datentypen. (Warum die Sprache das kann, erfahren wir später im Kurs.) Im folgenden die Datentypen, die primär für Zahlen bestimmt sind: Typ byte 1 short 2 int 4 long 8 float 4 double 8 Gröÿe (Byte) Man beachte, dass hier keine unsigned Datentypen existieren. Notationen von Zahlen in Programmcode In vielen Programmiersprachen lassen sich Oktal- und Hexadezimalzahlen direkt eingeben. Dabei wird Oktalzahlen eine 0 vorangestellt und Hexadezimalzahlen ein 0x. Binärzahlen können über das Voranstellen von 0b eingegeben werden. Das folgende Beispiel wäre gültig in C/C++/Java: int dec = 100; int oct = 0100; int hex = 0x100; int bin = 0b100; Das hat denselben Eekt wie: int dec = 100; int oct = 64; int hex = 256; int bin = 4; Besonders die Schreibweise für Hexadezimalzahlen wird gern auch auÿerhalb von Programmiersprachen verwendet (z.b. in diesem Skript). Bit- und Byteordnung, Endianness Die (allerallerallermeisten) Computer und Menschen sind sich darüber einig, wie sie mit einzelnen Bits in einem Byte umgehen: Acht Bit machen ein Byte Einzelne Bits in einem Byte werden von links nach rechts gelesen Die höchstwertigste Stelle in einem Byte, das most-signicant bit, steht links Beispiel: Die höchstwertige Stelle in ist die linke 1, sie steht für 1 2 7, die rechte 1 steht lediglich für

4 Will man Bits nummerieren, so geht man immer von rechts nach links vor und beginnt mit 0. Beispiel: Besteht das Byte aus den Positionen c 7,..., c 0, so bezeichnet c 0 die rechte 1 und c 3 die mittlere 1 Uneinigkeit besteht dagegen in verschiedenen Architekturen über die Reihenfolge der Bytes. Hier gibt es zwei Optionen. Big-Endian-Systeme lesen wie wir Menschen zuerst das Big End einer Mehr-Byte- Zahl, also die höchstwertige Stelle Beispiel 1: Für die Zahl 0xFFCC33 sind vier Byte reserviert (z.b. ein int). Sie werden gespeichert in der Reihenfolge 00 FF CC 33 Beispiel 2: Für die Zahl 0x7F00 sind zwei Byte reserviert (z.b. ein short). Sie wird gespeichert in den Bytes 7F 00 Little-Endian-Systeme speichern dasjenige Byte zuerst, das insgesamt den geringsten Stellenwert hat. Die Reihenfolge der einzelnen Bits bleibt unberührt. Beispiel 3: Für die Zahl 0xFACC33 sind vier Byte reserviert. Sie werden gespeichert in der Reihenfolge: 33 CC FA 00 Beispiel 4: Für die Zahl 0x7F00 sind zwei Byte reserviert. Sie werden gespeichert in der Reihenfolge 00 7F Gröÿenangaben für Speicherbereiche Nach dem Standard des International System of Units (SI) werden die metrischen Prä- xe kilo-, mega- etc. für Vielfache von 1000 verwendet. Die Präxe werden aber auch für Vielfache von 1024 Verwendung, die oft in einem vergleichbaren Bereich liegen, aber natürlich verschieden sind. Popularisiert wurde diese Verwendung unter anderem durch die Verwendung als Standard im Betriebssystem Windows. Seit 1998 wird versucht, die Verwendung zu standardisieren, indem für Vielfache von 1024 andere Bezeichnungen eingeführt werde, die die Silbe -bi-(für binär) im Namen tragen. 1 1 B byte 1000 (Tausend) 1 kb kilobyte 2 10 = KiB kibibyte (Million) 1 MB megabyte 2 20 = MiB mebibyte (Milliarde) 1 GB gigabyte 2 30 = GiB gibibyte (Billion) 1 TB terabyte 2 40 = TiB tebibyte (Billiarde) 1 PB petabyte 2 50 = PiB pebibyte (Trillion) 1 EB exabyte 2 60 = EiB exbibyte (Trilliarde) 1 ZB zettabyte 2 70 = ZiB zebibyte 4

5 (Quadrillion) 1 YB yottabyte 2 80 = YiB yobibyte Man beachte die Kleinschreibung von k als einzigem Kürzel bei den metrischen Abkürzungen. Entsprechendes gilt für Bit statt Byte: 1 1 bit bit 1000 (Tausend) 1 kbit kilobit 2 10 = Kibit kibibit (Million) 1 Mbit megabit 2 20 = Mibit mebibit (Milliarde) 1 Gbit gigabit 2 30 = Gibit gibibit (Billion) 1 Tbit terabit 2 40 = Tibit tebibit (Billiarde) 1 Pbit petabit 2 50 = Pibit pebibit (Trillion) 1 Ebit exabit 2 60 = Eibit exbibit (Trilliarde) 1 Zbit zettabit 2 70 = Zibit zebibit (Quadrillion) 1 Ybit yottabit 2 80 = Yibit yobibit Zum leichteren Verständnis der Umrechnungen seien hier noch beispielhaft ein paar Äquivalenzen angegeben: 1 B = 8 bit 1 kbit = 125 B = 1000 bit 1 Kibit = 128 B = 1024 bit 1 kb = 1000 B = 8000 bit 1 KiB = 1024 B = 8192 bit 1 Mbit = 1000 kbit = B = bit 1 Mibit = 1024 Kibit = B = bit 1 MB = 1000 kb = B = bit 1 MiB = 1024 KiB = B = bit Groÿ- und Kleinschreibung Speziell für die Gröÿe von einem Kilobyte existiert die Konvention KB statt kb zu schreiben, wenn von 1024 statt 1000 Byte die Rede ist. Diese Konvention lässt sich aber nicht auf die anderen Gröÿenordnungen übertragen. (Man ndet also nicht mb stat MB, etc.) Die Einheit Kbit (statt kbit) wird verwendet (und zwar in beiden Verwendungen, also für 1000 sowie für 1024 bit) Für die Abkürzungen der Gröÿenordnungen von Bits existeiert auÿerdem die Konvention, die gleichen Abkürzungen zu verwenden wie für die Gröÿenordnungen der Bytes, aber ein kleines b statt dem groÿen B zu verwenden. Demnach wären 8 kb = 1 kb 8 kb = 64 kb 1 Mb = 125 kb = 1000 kb Die besser lesbare (und standardisierte) Schreibweise wäre: 8 kbit = 1kB 8 kb = 64 kbit 1 Mbit = 125 kb = 1000 kbit 5