3.1. Existenzsatz und Struktur der Lösungsmenge

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1 3. EXISTENZ UND DUALITÄT 3.1. Existenzsatz und Struktur der Lösungsmenge Nach dem Satz von Weierstraß besitzt eine lineare Funktion auf einem Polytop stets ein Minimum und ein Maximum. Im allgemeinen Fall eines Polyeders kann man durch eine zusätzliche Bedingung an die Zielfunktion diese Existenz sichern. Satz 3.1. Sei P = {x R n Ax b} undm := inf{c T x x P} >. Dann existiert min{c T c x P}. Beweis: Nach dem Satz von Motzkin giltp = Q+C mit einem PolytopQund einem konvexen polyedrischen KegelC. MitQ = conv{u 1,...,u k } undc = cone{v 1,...,v l } ergibt sich x P x = k l λ i u i + µ j v j mitλ i 0, λ i = 1,µ j 0. i=1 j=1 Insbesondere istu i P für allei. Nach Voraussetzung ist c T x = k l k λ i c T u i + µ j c T v j m λ i,µ j : λ i 0, λ i = 1,µ j 0, i=1 j=1 i=1 also c T v j 0 für alle j. Mit min{c T u i i = 1,...,k} = c T u i 0 für ein i 0 {1,...,k} folgt hieraus k c T x λ i c T u i c T u i 0 x P, also die Behauptung. i=1 Satz 3.2. Sei P R n ein nichtleeres Polyeder. (i) Ist F := argmin{c T x x P}, dann istf eine Seite von P. (ii) Ist P spitz, dann ist wenigstens eine Ecke vonp optimal. Beweis: Mitmin{c T x x P} = c T x =: m für ein x P ist F = {x P c T x = m} und die Hyperebene H := {x R n c T x = m} eine Stützhyperebene von P. Damit ist F eine Seite vonp. FallsP spitz ist, dann folgt aus Satz 2.16, dass auch F spitz ist. Definition. Sei f : R n R. Dann heißt Niveaumenge der Funktionf zum Niveauα. N f (α) := {x R n f(x) α} Die Niveaumengen einer linearen Funktionf(x) = c T x sind also Halbräume. Für die MinimalstellenmengeF von f aufp gilt dannf = P N f (m). 1

2 3.2. Dualität Wir betrachten jetzt Paare linearer Optimierungsaufgaben, bei denen man aus der Lösung der einen Aufgabe auf die Lösung der anderen Aufgabe schließen kann. Definition. Ein Paar linearer Aufgaben (P) : min{c T x x B} (D) : max{b T y y B D } heißt dual, falls gilt: (i) c T x b T y für allex B, für alley B D (ii) c T x = b T y für ein x B, für ein y B D (schwache Dualität) (starke Dualität). mit (i) Anwendungsmöglichkeiten: Schranken für Optimallösungen Existenzaussagen Optimalitätsbedingungen Lösungsalgorithmen Entsprechend der Grundtypen linearer Ungleichungssysteme betrachten wir nun folgende Grundtypen linearer Programme: Typ I: (P I ) min{c T x Ax b} Typ II: (P II ) min{c T x Ax b,x 0} Typ III: (P III ) min{c T x Ax = b,x 0} Es genügt, die Dualtät für Programme vom Typ III zu betrachten. Satz 3.3. [Dualitätssatz, Existenzsatz] IstB := {x R n Ax = b,x 0} und B D := {y R n A T y c}, dann gilt: min { c T x Ax = b,x 0 } = max { b T y R n A T y c }. Beweis: Existenz und schwache Dualität: Es gilt offensichtlich b T y = x T A T y c T x x B, y B D. (*) Sei x B,ẙ B D. Dann ist b T y c T x für alle y B D und b T ẙ c T x für alle x B. Aus Satz 3.1 folgt hieraus die Existenz von Lösungen für beide Aufgaben, also mit (*) max(d I ) min(p III ). Starke Dualität: Zulässigkeit und schwache Dualität (*) entsprechen der Implikation Ax = b x 0 = ct x+b T y 0. A T y c 2

3 Eine Umformung und die Anwendung des Homogenisierungslemmas (Lemma 2.7) ergibt Ax b t 0 Ax +b t 0 x 0 A T y c t 0 t 0 = c T x+b T y +0 t 0. Nach dem Farkas-Lemma ist diese Implikation äquivalent zur Lösbarkeit des Systems A T (u u ) v Aw = c = b b T (u u ) c T w s = 0 u,u 0,v 0,w 0,s 0. Mitu := u u und der Interpretation vonv undsals Schlupfvariable ist äquivalent dazu das folgende System lösbar: A T u c Aw = b w 0 b T u c T w 0. Sei etwa(ů,ẘ) eine Lösung. Dann istů B,ẘ B D. Zusammen mit der schwachen Dualität (*) ergibt sich b T ů = c T ẘ, also starke Dualität. Folgerung. Zweimaliges Dualisieren führt auf das Ausgangsproblem zurück. Bezeichnung: inf{c T x x B} := +, falls B = sup{b T y y B D } :=, fallsb D = Satz 3.4. [Dualitätssatz, Existenzsatz; allgemeiner Fall] IstB := {x R n Ax = b,x 0} oderb D := {y R n A T y c}, dann gilt: inf { c T x Ax = b,x 0 } = sup { b T y R n A T y c }. Existiert die Lösung einer Aufgabe, dann existiert auch die Lösung der anderen Aufgabe. Der gemeinsame Optimalwert istx T Ay für entsprechende Lösungenx,y. Beweis: Fall a: B,B D : Die Behauptung folgt aus Satz 3.3. Fall b: B = : Nach dem Farkas-Lemma existiert ein ȳ mit A T ȳ 0,b T ȳ < 0. Nach Voraussetzung istb D, es existiert also ein ỹ mita T ỹ c. Folglich gilt A T (ỹ t ȳ) c t 0 und b T (ỹ t ȳ) + fürt +. Damit istinf{c T x x B} = + = sup{b T y y B D }. Fall c: B D = : Analog zu b) erhält maninf{c T x x B} = = sup{b T y y B D }. Ist nun x eine Lösung von min{c T x x B}, dann muss nach c) B D gelten. Der Dualitätssatz 3.3 liefert dannc T x = y b = y Ax. Für eine Lösungy vonmax{b T y y B D } erhält man mit b) dasselbe Resultat. Folgerung. Besitzt das Dualproblem max{b T y A T y c} die Maximalstelle y mit m := b T y, dann existieren nichtnegative Zahlen x i, mit Hilfe derer sich die Ungleichung bt y m als Linearkombination der Ungleichungen ausa T y c darstellen lässt. 3

4 3.3. Komplementarität und Schattenpreise Seien x,s R n +. Dann heißt die Beziehung xt s = 0 zwischen x,s 0 Komplementarität. In der Optimierung ist die Komplementarität zwischen den Variablen der primalen Aufgabe und den Schlupfvariablen der dualen Aufgabe charakteristisch für optimale Lösungen beider Aufgaben. Satz 3.4. [Komplementaritätssatz] Die Optima in den Aufgaben (P III ) und (D I ) seien endlich. Für x zulässig in (P III ) undẙ zulässig in (D I ) sind dann folgende zwei Aussagen äquivalent: (i) x undẙ sind jeweils optimal. (ii) Es gilt x T (c A T ẙ) = 0 (Komplementarität). Außerdem gilt für jede Zeilea it y c i ausa T y c alternativ (iii) Es existiert eine Optimallösungx in (P III ) mitx i > 0. (iv) Es existiert eine Optimallösungy in (D I ) mita it y < c i. Beweis: (i) (ii): x undẙ sind jeweils optimal Dualität c T x = b T ẙ x T (c A T ẙ) = 0. (iii) (iv): Für jeweilige Optimallösungen schließen sich nach (ii) die Bedingungen (iii) und (iv) aus. Wir zeigen nun, dass entweder (ii) oder (iv) gilt. Sei m := c T x = min{c T x x P III } = max{b T y y P D I } = bt y. Bedingung (iv) gelte nicht für die Zeileiaus A T y c, d.h. für jede Optimallösung von (D I ) gilt: A T y c, b T y m = a it y c i, wobei a i die i-te Spalte von A bezeichnet. Diese Implikation ist nach Lemma 2.7 (Homogenisierung) äquivalent zu A T c ( ) T ( ) b T m a i y 0 = 0. 0 T c 1 i t Nach dem Farkas-Lemma ist also das folgende System imr n+2 lösbar: ( ) ( ) x A b 0 x c T m r a i =, r 0, 1 c s i s etwa mitx R n +,r,s R +. Fürx := x +e i mit demi-ten Einheitsvektore i R n gilt dann Ax = br, x 0, r 0 (*) c T x m r. (**) 1. Fall: r = 0. Dann ist Ax = 0 und c T x 0. Sei x + eine Optimallösung von (P III ), also c T x + = m. Damit ist x := x + +x wegen (*) eine zulässige und wegen (**) auch eine optimale Lösung von (P III ) mitx i > Fall: r > 0. Dann ist x := 1 x wegen (*) eine zulässige und wegen (**) auch eine r optimale Lösung von (P III ) mitx i = 1 (x r i +1) > 0. 4

5 Komplementarität: allgemeiner Fall Wir betrachten das folgende Paar allgemeiner dualer Programme: (P) : Ax+ By a Dx+ Fy = b x 0 c T x+d T y min! (D) : A T u+d T v c B T u+f T v = d u 0 a T u+ b T v max! Dann erhält man für Optimallösungenx in (P) bzw. y in (D) mit den Schlupfvariablen z := Ax +By a undw := c A T u D T v aus den Ungleichungsrestriktionen die folgenden Komplementaritätsbedingungen: w T x = 0, z T u = 0. ökonomische Interpretation der dualen Variablen: Definition. Die Optimallösungen des dualen Problems heißen Schattenpreise. Schattenpreise liefern Indikatoren für Produktionsentscheidungen beschreiben die Auswirkung kleiner Änderungen in den Ressourcenschranken auf die optimalen Kosten. Liegt in der Optimallösung Entartung vor, dann sind die Schattenpreise nicht eindeutig. 5