Ist eine algorithmische Problemstellung lösbar und wenn ja, mit welchen Mitteln? was ist eine algorithmische Problemstellung?

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1 Überblick 1. reguläre Sprachen endliche Automaten (deterministisch vs. nichtdeterministisch) Nichtregularität 2. Berechenbarkeit Registermaschinen/Turingmaschinen Churchsche These Unentscheidbarkeit 3. effiziente Berechenbarkeit Komplexitätsklassen deterministische vs. nichtdeterministische TM P vs. NP Problem 4. Grammatiken Chomsky-Hierarchie kontextfreie und kontextsensitive Sprachen Kellerautomaten 1 Grundsätzliche Fragestellung Ist eine algorithmische Problemstellung lösbar und wenn ja, mit welchen Mitteln? was ist eine algorithmische Problemstellung? formale Sprachen benötigen einen Berechenbarkeitsbegriff Maschinenmodelle (unterschiedlich mächtig!) endliche Automaten Kellerautomaten Turingmaschinen 2

2 Bsp.: Ein unentscheidbares Problem Postsches Korrespondenzproblem (PKP) E. Post, 1946 Geg.: Folge von k Wortpaaren ( Korrespondenzen ) K = {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),, (x k,y k )} über einem endlichen Alphabet Σ wobei x i, y i nichtleere Wörter sind Ges.: Gibt es eine Zahl n 1 und Indizes i 1, i n є{1,,k}, so dass x i1 x i2 x in = y i1 y i2 y in Bsp.: K = {(1, 111), (10111, 10), (10, 0)} hat Lösung x 2 x 1 x 1 x 3 = = = y 2 y 1 y 1 y 3 3 Algorithmische Probleme - Formale Sprachen Σ Σ* LсΣ* endliches Alphabet Menge aller endlichen Wörter über Σ heißt formale Sprache über Σ Übersetzung algorithmischer Probleme in Wortprobleme für formale Sprachen: L prim = { pє{0,1}* p ist Binärdarstellung einer Primzahl} = {10, 11,101,111, 1011, } entscheide, ob für wє{0,1}* gilt, wєl prim Primzahltest L JAVA = Menge aller syntaktisch korrekten JAVA Programme 4

3 Darstellung formaler Sprachen 1. Mathematische Beschreibung 2. Maschinen -Standpunkt 3. Innerer Standpunkt 5 Mathematische Beschreibung L prim = { pє{0,1}* p ist Binärdarstellung einer Primzahl} L PKP = { x 1 #y 1 #x 2 #y 2 # #x k #y k є (Σ {#})* es gibt n 1 und i 1, i n є{1,,k}, so dass x i1 x i2 x in = y i1 y i2 y in } 6

4 Maschinen-Standpunkt L(M) = alles was von einer Maschine M erkannt wird Definition der Begriffe Maschine & erkennen nötig Bsp.: (deterministischer endlicher Automat dea ) L(M) = (0*1*0)* = {ε, 0, 00, 000,, 10, 010, 0010, } Motivation: Formalisierung des Begriffes Berechenbarkeit 7 Innerer Standpunkt L(G) = alles was von einer Grammatik G erzeugt wird Grammatik = Startsymbol + Ableitungsregeln Bsp.: (kontextfreie Grammatik über Σ={a,b}) Startsymbol S Regeln: S asb S ε ( leeres Wort ) L(G) = { a n b n n 0 } Motivation: Compilerbau, Linguistik 8

5 Darstellung formaler Sprachen 1. Mathematische Beschreibung 2. Maschinen-Standpunkt 3. Innerer Standpunkt Gesucht sind verschiedene Charakterisierungen von Klassen formaler Sprachen Bsp.: reguläre Sprachen = Sprachen die von dea erkannt werden = Sprachen die von nea erkannt werden = Sprachen die von regulären Grammatiken erzeugt werden 9 Alphabete, Wörter Σ bezeichnet ein endliches Alphabet von Zeichen Wort w über Σ = endliche Folge von Symbolen aus Σ (geschrieben ohne, und (, ) ) Bsp. Σ={a,b}, w = abba w bezeichnet die Länge des Wortes w über jedem Alphabet gibt es das leere Wort ε mit ε =0 Σ* bezeichnet die Menge aller Wörter über Σ 10

6 Konkatenation : Σ* x Σ* Σ* mit u v := uv Aneinanderfügen von Wörtern assoziative Operation mit ε als neutralem Element (Σ*,,ε) bildet ein Monoid statt u v scheibt man meist uv Σ 0 := {ε} Σ n+1 := {wa wєσ n, aєσ} Σ + := U n 1 Σ n 11 Formale Sprachen Def.: Eine Teilmenge LсΣ* heißt formale Sprache über Σ Def.: Reguläre Operationen auf Sprachen L 1,L 2 с Σ* Vereinigung L 1 L 2 = {wєσ* wєl 1 oder wєl 2 } Konkatenation L 1 L 2 = {uvєσ* uєl 1 und vєl 2 } Kleene-Stern L* = U n 0 L n wobei L 0 := {ε} L n+1 := {uv uєl n, vєl} = L L (n+1 mal) 12