Einfaktorielle Varianzanalyse
|
|
- Clemens Becker
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 16 Einfaktorielle Varianzanalyse Im Zweistichprobenproblem vergleichen wir zwei Verfahren miteinander. Nun wollen wir mehr als zwei Verfahren betrachten, wobei wir unverbunden vorgehen. Beispiel 123 Im Rahmen der PISA-Studie wurde auch der Zeitaufwand der Schüler für Hausaufgaben erhoben (pisastudie, S.417). Dort wird unterschieden zwischen sehr geringem, geringem, mittlerem, großem und sehr großem Aufwand. Wir fassen die Länder mit sehr geringem und geringem Aufwand und die Länder mit großem und sehr großem Aufwand zusammen. Somit liegen drei Gruppen vor. Die Gruppe der Länder mit wenig Zeitaufwand nennen wir im Folgenden Gruppe 1, die Gruppe der Länder mit mittlerem Zeitaufwand Gruppe 2 und die Gruppe der Länder mit großem Zeitaufwand Gruppe 3. Wir wollen vergleichen, ob sich die Verteilung des Merkmals Mathematische Grundbildung in den drei Gruppen unterscheidet. Wird untersucht, ob sich die Verteilung eines Merkmals in mehreren Gruppen unterscheidet, so spricht man von univariater Varianzanalyse Varianzanalyse bei Normalverteilung Ausgangspunkt sind die Realisationen y ij der unabhängigen Zufallsvariablen Y ij, i =1,...,I, j =1,...,n i, die mit Erwartungswert µ i, i =1,...,I und Varianz σ 2 normalverteilt sind. Die Erwartungswerte der Gruppen können sich also unterscheiden, während die Varianz identisch sein muss. Dabei bezieht sich der Index i auf die i-te Gruppe, während der Index j sich auf die j-te Beobachtung bezieht. In der i-ten Gruppe liegen also n i Beobachtungen 371
2 372 KAPITEL 16. EINFAKTORIELLE VARIANZANALYSE vor. Die einzelnen Gruppen können unterschiedlich groß sein. Die Gesamtzahl aller Beobachtungen bezeichnen wir mit N. Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 371) Die Beobachtungen in den einzelnen Gruppen sind: Gruppe 1: Gruppe 2: Gruppe 3: Es ist zu testen: gegen H 0 : µ 1 =...= µ I (16.1) H 1 : µ i µ j für mind. ein Paar (i, j) miti j. Es liegt nahe zur Überprüfung von (16.1) die Mittelwerte ȳ i = 1 n i y ij (16.2) der einzelnen Gruppen zu bestimmen und zu vergleichen. Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 372) Es gilt ȳ 1 = , ȳ 2 = und ȳ 3 = Die Mittelwerte unterscheiden sich. Der Vergleich von zwei Mittelwerten ȳ 1 und ȳ 2 ist einfach. Wir bilden die Differenz ȳ 1 ȳ 2 der beiden Mittelwerte. Bei mehr als zwei Gruppen können wir alle Paare von Gruppen betrachten und ȳ i mit ȳ j für i<jvergleichen. Hierdurch erhalten wir aber kein globales Maß für den Vergleich aller Gruppen. Um dieses zu erhalten, fassen wir die Mittelwerte ȳ i, i =1,...,I als eine Stichprobe auf und bestimmen, wie stark sie um den Mittelwert ȳ = 1 n y ij (16.3) aller Beobachtungen streuen.
3 16.1. VARIANZANALYSE BEI NORMALVERTEILUNG 373 Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 372) Es gilt ȳ = Es liegt nahe, die Streuung der Mittelwerte ȳ i um das Gesamtmittel ȳ folgendermaßen zu bestimmen: (ȳ i ȳ) 2. Hierbei wird aber nicht berücksichtigt, dass die Gruppen unterschiedlich groß sein können. Eine große Gruppe sollte ein stärkeres Gewicht erhalten als eine kleine Gruppe. Wir bilden also SS B = n i (ȳ i ȳ) 2. (16.4) Man bezeichnet SS B als Streuung zwischen den Gruppen. Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 373) Es gilt SS B = 8( ) ( ) ( ) 2 = Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Größe SS B allein aber keine geeignete Teststatistik zur Überprüfung der Hypothese (16.1). Beispiel Situation: Die Werte eines Merkmals in drei Gruppen sind: Gruppe1: Gruppe2: Gruppe3: Es gilt ȳ 1 =49, ȳ 2 =56, ȳ 3 =51, ȳ = Situation: Die Werte eines Merkmals in drei Gruppen sind:
4 374 KAPITEL 16. EINFAKTORIELLE VARIANZANALYSE Gruppe1: Gruppe2: Gruppe3: Auch hier gilt ȳ 1 =49, ȳ 2 =56, ȳ 3 =51, ȳ =52. Also ist der Wert von SS B in beiden Konstellationen identisch. Wie die Abbildungen 16.1 und 16.2 zeigen, unterscheiden sich die beiden Konstellationen aber beträchtlich. Die Boxplots in Abbildung 16.1 verdeutlichen, dass die Streuung innerhalb der Gruppen klein ist, während in Abbildung 16.2 die Streuung innerhalb der Gruppen groß ist. Abbildung 16.1 spricht für einen Lageunterschied zwischen den Gruppen, während die unterschiedlichen Mittelwerte in 16.2 eher durch die hohen Streuungen erklärt werden können Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Abbildung 16.1: Boxplot von drei Gruppen mit kleiner Streuung innerhalb der Gruppen
5 16.1. VARIANZANALYSE BEI NORMALVERTEILUNG Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Abbildung 16.2: Boxplot von drei Gruppen mit großer Streuung innerhalb der Gruppen Die Stichprobenvarianzen in den Gruppen für die erste Konstellation sind s 2 1 =7.5, s 2 2 =12.5, s 2 3 =2.5. Für die Gruppen der zweiten Konstellation erhält man folgende Stichprobenvarianzen: s 2 1 =29.5, s 2 2 =45.0, s 2 3 =42.5. Wir müssen also neben der Streuung zwischen den Gruppen die Streuung innerhalb der Gruppen berücksichtigen. Die Streuung innerhalb der i-ten Gruppe messen wir durch (y ij ȳ i ) 2. (16.5) Summieren wir (16.5) über alle Gruppen, so erhalten wir SS W = (y ij ȳ i ) 2. (16.6) Wir nennen SS W auch Streuung innerhalb der Gruppen. Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 373) Es gilt SS W =
6 376 KAPITEL 16. EINFAKTORIELLE VARIANZANALYSE Die Gesamtstreuung messen wir durch: SS T = (y ij ȳ) 2. (16.7) Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 375) Es gilt SS T = Im Beispiel gilt SS T = SS B + SS W. (16.8) Dies ist kein Zufall. Diese Beziehung gilt allgemein, wie man folgendermaßen sieht: SS T = (y ij ȳ) 2 = (y ij ȳ i +ȳ i ȳ) 2 = (y ij ȳ i ) 2 + (ȳ i ȳ) 2 +2 (y ij ȳ i )(ȳ i ȳ) = (y ij ȳ i ) 2 + n i (ȳ i ȳ) 2 +2 (ȳ i ȳ) (y ij ȳ i ) = (y ij ȳ i ) 2 + n i (ȳ i ȳ) 2 = SS B + SS W. Hierbei haben wir die folgende Beziehung berücksichtigt: (y ij ȳ i ) = y ij ȳ i = n i ȳ i n i ȳ i =0. Eine geeignete Teststatistik erhält man nun, indem man die mittleren Streuungen vergleicht, wobei der Mittelwert unter der Nebenbedingung bestimmt wird, wie viele der Summanden frei gewählt werden können. Die Streuung
7 16.1. VARIANZANALYSE BEI NORMALVERTEILUNG 377 zwischen den Stichproben setzt sich aus I Summanden zusammen, von denen aber nur I 1freigewählt werden können, da sich der Mittelwert der I-ten Stichprobe aus ȳ, ȳ 1,...,ȳ I 1 ergibt. Die Streuung innerhalb der Stichproben setzt sich aus n Summanden zusammen. In der i-ten Stichprobe ergibt sich aber y ini aus der Kenntnis von y i1,...,y ini 1, ȳ i. Somit sind von den N Summanden nur n I frei wählbar. Wir erhalten also MSS B = SS B /(I 1) und MSS W = SS W /(N I). Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 376) Es gilt MSS B = und MSS W = Die Teststatistik ist F = MSS B MSS W = 1 I 1 1 n I n i (Ȳi Ȳ )2 n i. (16.9) (Y ij Ȳi) 2 Ist die mittlere Streuung zwischen den Stichproben groß im Verhältnis zur mittleren Streuung innerhalb der Stichproben, so wird die Nullhypothese identischer Erwartungswerte abgelehnt. Unter der Nullhypothese ist die Teststatistik in (16.9) F -verteilt mit I 1 und n I Freiheitsgraden. Wir lehnen die Hypothese (16.1) zum Niveau α ab, wenn gilt F>F I 1,N I;1 α, wobei F I 1,N I;1 α das 1 α-quantil der F -Verteilung mit I 1 und N I Freiheitsgraden ist. Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 377) Es gilt F = = Der Tabelle C.9 auf Seite 441 entnehmen wir F 2,28;0.95 =3.34. Wir lehnen die Hypothese (16.1) also nicht ab. Man spricht auch vom F -Test. Da die Teststatistik das Verhältnis von zwei Schätzern der Varianz σ 2 ist, spricht man von Varianzanalyse. Die Ergebnisse einer Varianzanalyse werden in einer ANOVA-Tabelle zusammengestellt. Dabei steht ANOVA für Analysis Of Variance. Tabelle 16.1 zeigt den allgemeinen Aufbau einer ANOVA-Tabelle.
8 378 KAPITEL 16. EINFAKTORIELLE VARIANZANALYSE Tabelle 16.1: Allgemeiner Aufbau einer ANOVA-Tabelle Quelle der Quadrat- Freiheits- Mittlere Qua- F Variation summen grade dratsummen zwischen SS B I 1 MSS B MSS B /M SS W den Gruppen innerhalb SS W n I MSS W der Gruppen Gesamt SS T n 1 Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 377) In Tabelle 16.2 ist die ANOVA-Tabelle zu finden. Tabelle 16.2: ANOVA-Tabelle für den Vergleich des Merkmals Mathematische Grundbildung in den 3 Gruppen Quelle der Quadrat- Freiheits- Mittlere Qua- F Variation summen grade dratsummen zwischen den Gruppen innerhalb der Gruppen Gesamt Der Kruskal-Wallis-Test Ist die Annahme der Normalverteilung nicht gerechtfertigt, so sollte man einen nichtparametrischen Test durchführen. Am bekanntesten ist der Kruskal-Wallis-Test. Dieser beruht auf der Annahme, dass die Beobachtungen y ij, i =1,...,I, j =1,...,n i Realisationen von unabhängigen Zufallsvariablen Y ij, i =1,...,I, j =1,...,n i mit stetiger Verteilungsfunktion sind. Es ist zu testen H 0 : Die Verteilungen in allen Gruppen sind identisch (16.10)
9 16.2. DER KRUSKAL-WALLIS-TEST 379 gegen H 1 : Mindestens zwei Gruppen unterscheiden sich hinsichtlich der Lage. Der Kruskal-Wallis-Test beruht auf den Rängen R ij der y ij, i =1,...,I, j =1...,n i, unter allen Beobachtungen. Dabei ist der Rang R ij gleich der Anzahl der Beobachtungen, die kleiner oder gleich y ij sind. Sind Beobachtungen identisch, so spricht man von Bindungen. In diesem Fall vergibt man für die gebundenen Werte Durchschnittsränge.
10 380 KAPITEL 16. EINFAKTORIELLE VARIANZANALYSE Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 378) Schauen wir uns noch einmal die Daten an: Gruppe 1: Gruppe 2: Gruppe 3: Die Ränge in den einzelnen Gruppen sind: Gruppe1: Gruppe 2: Gruppe3: Beim Kruskal-Wallis-Test werden nun für i =1,...,I die Rangsummen R i in den einzelnen Gruppen bestimmt: R i = R ij. Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 380) Es gilt R 1 = 157.5, R 2 = 241, R 3 =97.5. Diese Rangsummen werden mit ihren Erwartungswerten E(R i ) unter (16.10) verglichen. Wenn keine Bindungen vorliegen, so werden bei n Beobachtungen die Ränge 1,...,n vergeben. Trifft (16.10) zu, so ist für eine Beobachtung jeder Rang gleichwahrscheinlich. Es gilt also P (R ij = k) = 1 n für k =1,...,n, i =1,...,I und j =1,...,n i. Der erwartete Rang E(R ij ) von Y ij ist dann E(R ij ) = n k 1 n k=1 = n(n +1) 2n = n Die erwartete Rangsumme der i-ten Gruppe ist somit E(R i ) = E ( ni R ij ) = E(R ij )= n +1 2 = n i(n +1). 2
11 16.2. DER KRUSKAL-WALLIS-TEST 381 Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 380) Mit n = 31, n 1 =8,n 2 = 13 und n 3 = 10 gilt E(R 1 ) = 128, E(R 2 ) = 208, E(R 3 ) = 160. Die Teststatistik des Kruskal-Wallis-Tests vergleicht die Rangsummen R i mit ihren Erwartungswerten E(R i ). Sie lautet: H = 12 n(n +1) 1 n i ( R i n ) 2 i(n +1) (16.11) 2 Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 381) Es gilt H = [ ( ) ( ) ] ( )2 10 = Wir lehnen die Hypothese (16.10) ab, wenn gilt H h 1 α. Dabei ist h 1 α das 1 α-quantil der Verteilung von H. Die Verteilung von H ist für kleine Werte von n bei Büning, Trenkler: Nichtparametrische Statistische Methoden tabelliert. Für große Stichprobenumfänge ist H approximativ chiquadratverteilt mit I 1 Freiheitsgraden. Wir lehnen (16.10) ab, wenn gilt H χ 2 I 1,1 α. Dabei ist χ 2 I 1,1 α das 1 α-quantil der χ2 -Verteilung mit I 1 Freiheitsgraden. Im Beispiel liegen Bindungen vor. In diesem Fall wird H modifiziert zu H = H 1 1 r (b 3 n 3 l b l ) n l=1. (16.12) Dabei ist r die Anzahl der Gruppen mit identischen Beobachtungen und b l die Anzahl der Beobachtungen in der l-ten Bindungsgruppe. Wir lehnen (16.10) im Fall von Bindungen ab, wenn gilt H χ 2 I 1,1 α.
12 382 KAPITEL 16. EINFAKTORIELLE VARIANZANALYSE Beispiel 123 (fortgesetzt von Seite 381) Der Wert 514 kommt dreimal und die Werte 529 und 533 kommen jeweils zweimal vor. Somit gibt es 2 Bindungsgruppen mit zwei Beobachtungen und eine Bindungsgruppe mit drei Beobachtungen. Hieraus folgt 1 1 n 3 n r (b 3 l b l )= l=1 Also ist H = Der Tabelle C.4 auf Seite 438 entnehmen wir χ 2 2,0.95 = Wir lehnen die Hypothese (16.10) zum Niveau 0.05 also ab Varianzanalyse in R Wir wollen die Varianzanalyse für das Beispiel 123 auf Seite 371 durchführen. Im Zweistichprobenproblem haben wir für jede Stichprobe eine Variable erzeugt. Liegen mehr als zwei Stichproben vor, so gehen wir anders vor. Wir weisen alle Werte einer Variablen in der Reihenfolge der Gruppen zu. Diese Variable nennen wir Punkte. > Punkte<-c(536,557,514,446,515,510,529,498,533,520) > Punkte<-c(Punkte,334,514,490,517,514,533,547,537,499,454,493) > Punkte<-c(Punkte,447,529,503,457,463,387,470,478,476,488) Die ersten 8 Komponenten von Punkte gehören zur ersten Gruppe, die nächsten 13 Komponenten zur zweiten Gruppe und die letzte 10 Komponenten zur dritten Gruppe. Wir erzeugen einen Vektor A, bei dem die ersten 8 Komponenten gleich 1, die nächsten 13 Komponenten gleich 2 und die letzten 10 Komponenten gleich 3 sind. Hierzu benutzen wir die Funktion rep. Der Aufruf rep(x,times) erzeugt einen Vektor, in dem das Argument x times-mal wiederholt wird: > rep(1,8) [1] Dabei können x und times Vektoren sein. Sind x und times gleich lange Vektoren,so wird x[i] times[i]-mal wiederholt. > A<-rep(1:3,c(8,13,10)) > A [1] [28]
FAKTORIELLE VERSUCHSPLÄNE. Andreas Handl
FAKTORIELLE VERSUCHSPLÄNE Andreas Handl 1 Inhaltsverzeichnis 1 Versuchsplanung 4 2 Einfaktorielle Varianzanalyse 6 2.1 DieAnnahmen... 6 2.2 Die ANOVA-Tabelle und der F -Test... 6 2.3 Versuche mit zwei
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik (Master)
Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungsfreie Verfahren Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften
MehrMotivation. Wilcoxon-Rangsummentest oder Mann-Whitney U-Test. Wilcoxon Rangsummen-Test Voraussetzungen. Bemerkungen
Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 825 Wilcoxon-Rangsummentest oder Mann-Whitney U-Test Motivation In Experimenten ist die Datenmenge oft klein Daten sind nicht normalverteilt Dann
MehrVarianzanalyse ANOVA
Varianzanalyse ANOVA Johannes Hain Lehrstuhl für Mathematik VIII Statistik 1/23 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Bisher war man lediglich in der Lage, mit dem t-test einen Mittelwertsvergleich für
MehrÜberblick über die Verfahren für Ordinaldaten
Verfahren zur Analyse ordinalskalierten Daten 1 Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten Unterschiede bei unabhängigen Stichproben Test U Test nach Mann & Whitney H Test nach Kruskal & Wallis parametrische
MehrNichtparametrische statistische Verfahren
Nichtparametrische statistische Verfahren (im Wesentlichen Analyse von Abhängigkeiten) Kategorien von nichtparametrischen Methoden Beispiel für Rangsummentests: Wilcoxon-Test / U-Test Varianzanalysen 1-faktorielle
MehrEinige Statistische Tests für den Ein- Zwei- und k-stichprobenfall (Nach Sachs, Stat. Meth.)
ue biostatistik: nichtparametrische testverfahren / ergänzung 1/6 h. Lettner / physik Statistische Testverfahren Einige Statistische Tests für den Ein- Zwei- und k-stichprobenfall (Nach Sachs, Stat. Meth.)
MehrEinfache statistische Testverfahren
Einfache statistische Testverfahren Johannes Hain Lehrstuhl für Mathematik VIII (Statistik) 1/29 Hypothesentesten: Allgemeine Situation Im Folgenden wird die statistische Vorgehensweise zur Durchführung
MehrStatistik II für Betriebswirte Vorlesung 3
PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 5. November 2013 Beispiel: Aktiensplit (Aczel & Sounderpandan, Aufg. 14-28) Ein Börsenanalyst
MehrWeitere (wählbare) Kontraste in der SPSS Prozedur Allgemeines Lineares Modell
Einfaktorielle Versuchspläne 27/40 Weitere (wählbare) Kontraste in der SPSS Prozedur Allgemeines Lineares Modell Abweichung Einfach Differenz Helmert Wiederholt Vergleich Jede Gruppe mit Gesamtmittelwert
Mehr8. Methoden der klassischen multivariaten Statistik
8. Methoden der klassischen multivariaten Statistik 8.1. Darstellung von Daten Voraussetzungen auch in diesem Kapitel: Grundgesamtheit (Datenraum) Ω von Objekten (Fällen, Instanzen), denen J-Tupel von
MehrBusiness Value Launch 2006
Quantitative Methoden Inferenzstatistik alea iacta est 11.04.2008 Prof. Dr. Walter Hussy und David Tobinski UDE.EDUcation College im Rahmen des dokforums Universität Duisburg-Essen Inferenzstatistik Erläuterung
MehrStatistik II für Betriebswirte Vorlesung 2
PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander
MehrIm Modell der Varianzanalyse (mit festen Effekten) ist das. aus dem Durchschnittsmesswert für y plus dem Effekt des.
Einfatorielle Varianzanalyse Varianzanalyse untersucht den Einfluss verschiedener Bedingungen ( = nominalsalierte(r) Variable(r)) auf eine metrische Variable. Die Bedingungen heißen auch atoren und ihre
MehrBiostatistik, Winter 2011/12
Biostatistik, Winter 2011/12 Vergleich zweier Stichproben, nichtparametrische Tests Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 11. Vorlesung: 27.01.2012 1/86 Inhalt 1 Tests t-test 2 Vergleich zweier
MehrWebergänzung zu Kapitel 10
Webergänzung zu Kapitel 10 10.1.4 Varianzanalyse (ANOVA: analysis of variance) Im Kapitel 10 haben wir uns hauptsächlich mit Forschungsbeispielen beschäftigt, die nur zwei Ergebnissätze hatten (entweder
Mehr2. Korrelation, lineare Regression und multiple Regression
multiple 2.2 Lineare 2.2 Lineare 1 / 130 2.2 Lineare 2 / 130 2.1 Beispiel: Arbeitsmotivation Untersuchung zur Motivation am Arbeitsplatz in einem Chemie-Konzern 25 Personen werden durch Arbeitsplatz zufällig
MehrMathematische und statistische Methoden II
Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike
MehrBeispiel: Sonntagsfrage. Einführung in die induktive Statistik. Statistische Tests. Statistische Tests
Beispiel: Sonntagsfrage Vier Wochen vor der österreichischen Nationalratswahl 1999 wurde 499 Haushalten die Sonntagsfrage gestellt: Falls nächsten Sonntag Wahlen wären, welche Partei würden Sie wählen?
MehrDIPLOMVORPRÜFUNG GRUNDZÜGE DER STATISTIK, TEIL B WINTERSEMESTER 2006/07 28.02.2007
Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt DIPLOMVORPRÜFUNG GRUNDZÜGE DER STATISTIK, TEIL B WINTERSEMESTER 006/07 8.0.007 Lösung Prof. Dr. R Friedmann / Dr. R. Hauser Hinweise für die Klausurteilnehmer
MehrVersuchsplanung. Teil 1 Einführung und Grundlagen. Dr. Tobias Kiesling <kiesling@stat.uni-muenchen.de> Einführung in die Versuchsplanung
Versuchsplanung Teil 1 Einführung und Grundlagen Dr. Tobias Kiesling Inhalt Einführung in die Versuchsplanung Hintergründe Grundlegende Prinzipien und Begriffe Vorgehensweise
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik
Willkommen zur Vorlesung Statistik Thema dieser Vorlesung: Varianzanalyse Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften Prof. Dr. Wolfgang
MehrWilcoxon-Rangsummen-Test
Wilcoxon-Rangsummen-Test Theorie: Wilcoxon-Rangsummen-Test Der Wilcoxon-Rangsummen-Test prüft, ob sich die Verteilungen der Grundgesamtheiten zweier Stichproben bezüglich ihrer Lage unterscheiden. Ein
MehrGrundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!
Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)
MehrÜberblick über die Tests
Anhang A Überblick über die Tests A.1 Ein-Stichproben-Tests A.1.1 Tests auf Verteilungsannahmen ˆ Shapiro-Wilk-Test Situation: Test auf Normalverteilung H 0 : X N(µ, σ 2 ) H 1 : X nicht normalverteilt
MehrMultivariate Statistik
Hermann Singer Multivariate Statistik 1 Auflage 15 Oktober 2012 Seite: 12 KAPITEL 1 FALLSTUDIEN Abbildung 12: Logistische Regression: Geschätzte Wahrscheinlichkeit für schlechte und gute Kredite (rot/blau)
MehrGüte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
MehrProfil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8
1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen
MehrEinfache Varianzanalyse für abhängige
Einfache Varianzanalyse für abhängige Stichproben Wie beim t-test gibt es auch bei der VA eine Alternative für abhängige Stichproben. Anmerkung: Was man unter abhängigen Stichproben versteht und wie diese
Mehr2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen
4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik 2-1 2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen Für die Auswertung einer Messreihe, die in Form
MehrBeurteilung der biometrischen Verhältnisse in einem Bestand. Dr. Richard Herrmann, Köln
Beurteilung der biometrischen Verhältnisse in einem Bestand Dr. Richard Herrmann, Köln Beurteilung der biometrischen Verhältnisse in einem Bestand 1 Fragestellung Methoden.1 Vergleich der Anzahlen. Vergleich
Mehr2.3 Univariate Datenanalyse in R
2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R 47 2.3 Univariate Datenanalyse in R Wir wollen nun lernen, wie man in R Daten elementar analysiert. R bietet eine interaktive Umgebung, Befehlsmodus genannt, in der man
MehrEine Einführung in R: Statistische Tests
Eine Einführung in R: Statistische Tests Bernd Klaus, Verena Zuber Institut für Medizinische Informatik, Statistik und Epidemiologie (IMISE), Universität Leipzig http://www.uni-leipzig.de/ zuber/teaching/ws12/r-kurs/
Mehr90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft
Prof. Dr. Helmut Küchenhoff SS08 90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft am 22.7.2008 Anmerkungen Überprüfen Sie bitte sofort, ob Ihre Angabe vollständig ist. Sie sollte
Mehra) Zeichnen Sie in das nebenstehende Streudiagramm mit Lineal eine Regressionsgerade ein, die Sie für passend halten.
Statistik für Kommunikationswissenschaftler Wintersemester 2009/200 Vorlesung Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Übung Cornelia Oberhauser, Monia Mahling, Juliane Manitz Thema 4 Homepage zur Veranstaltung: http://www.statistik.lmu.de/~helmut/kw09.html
Mehr3.3 Das allgemeine lineare Modell (ALM), Methode der kleinsten Quadrate
31 und 31 und (), Methode der 33 Das allgemeine (), Methode der kleinsten Quadrate 37 Modelle mit Messwiederholungen 1 / 113 Eine grundsätzliche Bemerkung zu Beginn Es bestehen viele Ähnlichkeiten zwischen
Mehr25. Januar 2010. Ruhr-Universität Bochum. Methodenlehre III, WS 2009/2010. Prof. Dr. Holger Dette. 4. Multivariate Mittelwertvergleiche
Ruhr-Universität Bochum 25. Januar 2010 1 / 75 2 / 75 4.1 Beispiel: Vergleich von verschiedenen Unterrichtsmethoden Zwei Zufallsstichproben (A und B) mit je 10 Schülern und 8 Schülern Gruppe A wird nach
MehrStochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008
Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)
MehrEinleitung 19. Teil I Datenanalyse und Modellbildung Grundlagen 25
Inhaltsverzeichnis Einleitung 19 Zu diesem Buch 19 Konventionen in diesem Buch 20 Was Sie nicht lesen müssen 21 Falsche Voraussetzungen 21 Wie dieses Buch aufgebaut ist 21 Teil I: Datenanalyse und Grundlagen
MehrTeil I Beschreibende Statistik 29
Vorwort zur 2. Auflage 15 Vorwort 15 Kapitel 0 Einführung 19 0.1 Methoden und Aufgaben der Statistik............................. 20 0.2 Ablauf statistischer Untersuchungen..............................
MehrSchätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N. Stichprobenmedian X N
Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.1 Schätzer für Lage- und Skalenparameter und Verteilungsmodellwahl Lageparameter (l(x + a) = l(x) + a): Erwartungswert EX Median von X
MehrMultivariate Verfahren
Selbstkontrollarbeit 2 Multivariate Verfahren Musterlösung Aufgabe 1 (28 Punkte) Der Marketing-Leiter einer Lebensmittelherstellers möchte herausfinden, mit welchem Richtpreis eine neue Joghurt-Marke auf
Mehr7. Mai 2010. Ruhr-Universität Bochum. Methodenlehre II, SS 2009. Prof. Dr. Holger Dette
Ruhr-Universität Bochum 7. Mai 2010 1 / 95 Methodenlehre II NA 3/73 Telefon: 0234 322 8284 Email: holger.dette@rub.de Internet: www.ruhr-uni-bochum.de/mathematik3/index.html Vorlesung: Montag, 8.30-10.00
MehrEin möglicher Unterrichtsgang
Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige
MehrStatistik Musterlösungen
Statistik Musterlösungen Regina Tüchler & Achim Zeileis Institut für Statistik & Mathematik Wirtschaftsuniversität Wien 1 Grundbegriffe (1.23) Skript Reaktionen auf Videofilm. Aussagen M, E, P, S h(m)
MehrVarianzanalyse (ANOVA: analysis of variance)
Varianzanalyse (AOVA: analysis of variance) Einfaktorielle VA Auf der Basis von zwei Stichproben wird bezüglich der Gleichheit der Mittelwerte getestet. Variablen müssen Variablen nur nominalskaliert sein.
MehrBiostatistik, WS 2015/2016 Der zwei-stichproben-t-test
1/29 Biostatistik, WS 2015/2016 Der zwei-stichproben-t-test (t-test für ungepaarte Stichproben) Matthias Birkner http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/biostatistik1516/ 11.12.2015 2/29 Inhalt 1 t-test
MehrR ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org
R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. www.r-project.org Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird
Mehr9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz
9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,
Mehr8. Februar 2007. 5. Bei Unterschleif gilt die Klausur als nicht bestanden und es erfolgt eine Meldung an das Prüfungsamt.
L. Fahrmeir, C. Belitz Department für Statistik Bitte für die Korrektur freilassen! Aufgabe 1 2 3 4 Punkte Klausur zur Vorlesung Statistik III für Studenten mit Wahlfach Statistik 8. Februar 2007 Hinweise:
Mehr3. Der t-test. Der t-test
Der t-test 3 3. Der t-test Dieses Kapitel beschäftigt sich mit einem grundlegenden statistischen Verfahren zur Auswertung erhobener Daten: dem t-test. Der t-test untersucht, ob sich zwei empirisch gefundene
MehrPrüfen von Mittelwertsunterschieden: t-test
Prüfen von Mittelwertsunterschieden: t-test Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) t-test
MehrForschungsstatistik I
Prof. Dr. G. Meinhardt. Stock, Nordflügel R. 0-49 (Persike) R. 0- (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 008/009 Fachbereich
MehrKlausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min
Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker 08.08.2006 Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe
MehrAufgabe 1 10 ECTS. y i x j gering mittel hoch n i Hausrat 200 25 0 225 KFZ 0 10 75 85 Unfall 20 35 90 145 Reiserücktritt 40 5 0 45 n j 260 75 165 500
Aufgabe 1 Für die Securance-Versicherung liegen Ihnen die gemeinsamen absoluten Häugkeiten der Merkmale X: Schadenshöhe und Y : Versicherungsart für die letzten 500 gemeldeten Schäden vor. 1. Interpretieren
MehrInhaltsverzeichnis. Vorwort 1. Kapitel 1 Einführung 3. Kapitel 2 Messtheorie und deskriptive Statistik 13
Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Kapitel 1 Einführung 3 1.1 Ziele... 4 1.2 Messtheorie und deskriptive Statistik... 8 1.3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung... 9 1.4 Inferenzstatistik... 9 1.5 Parametrische
MehrStatistische Auswertung der Daten von Blatt 13
Statistische Auswertung der Daten von Blatt 13 Problemstellung 1 Graphische Darstellung der Daten 1 Diskussion der Normalverteilung 3 Mittelwerte und deren Konfidenzbereiche 3 Signifikanz der Behandlung
MehrKlausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Wintersemester 2010/2011. Aufgabe 1
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Wintersemester 2010/2011 Aufgabe 1 Nach einer
MehrWelch-Test. Welch-Test
Welch-Test Welch-Test Test auf Lageunterschied zweier normalverteilter Grundgesamtheiten mit unbekannten Varianzen durch Vergleich der Mittelwerte zweier unabhängiger Zufallsstichproben. Beispiel Im Labor
Mehr5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung
5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.
MehrAnalytische Statistik I. Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2009/10
Analytische Statistik I Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2009/10 Testen Anpassungstests (goodness of fit) Weicht eine gegebene Verteilung signifikant von einer bekannten
MehrMarktforschung I. Marktforschung I 2
Marktforschung I Marktforschung I Einführung in die Testtheorie (Toporowski) Mathematische Grundlagen (Toporowski) Varianzanalyse (Toporowski) Regressionsanalyse (Boztuğ) Diskriminanzanalyse (Hammerschmidt)
MehrNachholklausur STATISTIK II
Nachholklausur STATISTIK II Name, Vorname: Matrikel-Nr.: Die Klausur enthält zwei Typen von Aufgaben: T e i l A besteht aus Fragen mit mehreren vorgegebenen Antwortvorschlägen, von denen mindestens eine
MehrKapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion
MehrInhaltsverzeichnis. Regressionsanalyse. http://mesosworld.ch - Stand vom: 20.1.2010 1
Inhaltsverzeichnis Regressionsanalyse... 2 Lernhinweise... 2 Einführung... 2 Theorie (1-8)... 2 1. Allgemeine Beziehungen... 3 2. 'Best Fit'... 3 3. 'Ordinary Least Squares'... 4 4. Formel der Regressionskoeffizienten...
MehrStandardab er des. Testwert = 145.5 95% Konfidenzintervall. T df Sig. (2-seitig) Differenz Untere Obere -2.011 698.045-5.82-11.50 -.14.
Aufgabe : einfacher T-Test Statistik bei einer Stichprobe Standardfehl Standardab er des Mittelwert weichung Mittelwertes 699 39.68 76.59 2.894 Test bei einer Sichprobe Testwert = 45.5 95% Konfidenzintervall
MehrZusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Darstellung des Zusammenhangs, Korrelation und Regression Daten liegen zu zwei metrischen Merkmalen vor: Datenpaare (x i, y i ), i = 1,..., n Beispiel: x: Anzahl
MehrAuswertung mit dem Statistikprogramm SPSS: 30.11.05
Auswertung mit dem Statistikprogramm SPSS: 30.11.05 Seite 1 Einführung SPSS Was ist eine Fragestellung? Beispiel Welche statistische Prozedur gehört zu welcher Hypothese? Statistische Berechnungen mit
MehrMultinomiale logistische Regression
Multinomiale logistische Regression Die multinomiale logistische Regression dient zur Schätzung von Gruppenzugehörigkeiten bzw. einer entsprechenden Wahrscheinlichkeit hierfür, wobei als abhänginge Variable
MehrEinseitig gerichtete Relation: Mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel sinkt im allgemeinen die Lufttemperatur.
Statistik Grundlagen Charakterisierung von Verteilungen Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilungen Schätzen und Testen Korrelation Regression Einführung Die Analyse und modellhafte
MehrFüllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge
2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
MehrKlausur Statistik Lösungshinweise
Klausur Statistik Lösungshinweise Prüfungsdatum: 1. Juli 2015 Prüfer: Etschberger, Heiden, Jansen Studiengang: IM und BW Aufgabe 1 14 Punkte Ein Freund von Ihnen hat über einen Teil seiner Daten, die er
MehrVarianzanalyse * (1) Varianzanalyse (2)
Varianzanalyse * (1) Einfaktorielle Varianzanalyse (I) Die Varianzanalyse (ANOVA = ANalysis Of VAriance) wird benutzt, um Unterschiede zwischen Mittelwerten von drei oder mehr Stichproben auf Signifikanz
MehrEinführung in statistische Testmethoden
Einführung in statistische Testmethoden und die Bearbeitung von Messdaten mit Excel 1. Beispielhafte Einführung in den Gebrauch von Testmethoden 2. Typen von Messwerten, Verteilungen 3. Mittelwert, Varianz,
MehrKorrelation - Regression. Berghold, IMI
Korrelation - Regression Zusammenhang zwischen Variablen Bivariate Datenanalyse - Zusammenhang zwischen 2 stetigen Variablen Korrelation Einfaches lineares Regressionsmodell 1. Schritt: Erstellung eines
MehrAusarbeitung des Seminarvortrags zum Thema
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung
MehrMessgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit
Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit Andreas Berlin 14. Juli 2009 Bachelor-Seminar: Messen und Statistik Inhalt: 1 Aspekte einer Messung 2 Mess-System-Analyse 2.1 ANOVA-Methode 2.2 Maße
MehrGrundlagen quantitativer Sozialforschung Interferenzstatistische Datenanalyse in MS Excel
Grundlagen quantitativer Sozialforschung Interferenzstatistische Datenanalyse in MS Excel 16.11.01 MP1 - Grundlagen quantitativer Sozialforschung - (4) Datenanalyse 1 Gliederung Datenanalyse (inferenzstatistisch)
MehrEtwas positive Tendenz ist beim Wechsel der Temperatur von 120 auf 170 zu erkennen.
Explorative Datenanalyse Erstmal die Grafiken: Aufreisskraft und Temperatur 3 1-1 N = 1 15 17 Temperatur Diagramm 3 1 95% CI -1 N = 1 15 17 Temperatur Etwas positive Tendenz ist beim Wechsel der Temperatur
MehrModul G.1 WS 07/08: Statistik 17.01.2008 1. Die Korrelation ist ein standardisiertes Maß für den linearen Zusammenhangzwischen zwei Variablen.
Modul G.1 WS 07/08: Statistik 17.01.2008 1 Wiederholung Kovarianz und Korrelation Kovarianz = Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen x und y Korrelation Die Korrelation ist ein standardisiertes
MehrÜbungsaufgaben zu Kapitel 5. Aufgabe 101. Inhaltsverzeichnis:
Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Kapitel 5... 1 Aufgabe 101... 1 Aufgabe 102... 2 Aufgabe 103... 2 Aufgabe 104... 2 Aufgabe 105... 3 Aufgabe 106... 3 Aufgabe 107... 3 Aufgabe 108... 4 Aufgabe 109...
MehrLösungen zu Janssen/Laatz, Statistische Datenanalyse mit SPSS 1
LÖSUNG 9B a) Lösungen zu Janssen/Laatz, Statistische Datenanalyse mit SPSS 1 Man kann erwarten, dass der Absatz mit steigendem Preis abnimmt, mit höherer Anzahl der Außendienstmitarbeiter sowie mit erhöhten
Mehr(VU) Übungen zur Einführung in die statistische Datenanalyse II. Inhalte Statistik I. Inhalte Statistik I Deskriptive Statistik
II Übungen zur II Organisatorische Hinweise Keine Anwesenheitspflicht (aber empfehlenswert) Einführung in die statistische Datenanalyse II (VU) Lehrinhalte (.ppt Folien): elearning.univie.ac.at 3 Prüfungstermine:
MehrAnalog zu Aufgabe 16.1 werden die Daten durch folgenden Befehl eingelesen: > kredit<-read.table("c:\\compaufg\\kredit.
Lösung 16.3 Analog zu Aufgabe 16.1 werden die Daten durch folgenden Befehl eingelesen: > kredit
MehrStatistik im Versicherungs- und Finanzwesen
Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung 2014 1. Auflage Übungsaufgaben zu Kapitel
MehrMessgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit
Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit Andreas Berlin 14. Juli 009 Bachelor-Seminar: Messen und Statistik Inhalt: 1 Aspekte einer Messung Mess-System-Analyse.1 ANOVA-Methode. Maße für
Mehr2. Eindimensionale (univariate) Datenanalyse
2. Eindimensionale (univariate) Datenanalyse Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Kennzahlen, Statistiken In der Regel interessieren uns nicht so sehr die beobachteten Einzeldaten
Mehr9. StatistischeTests. 9.1 Konzeption
9. StatistischeTests 9.1 Konzeption Statistische Tests dienen zur Überprüfung von Hypothesen über einen Parameter der Grundgesamtheit (bei einem Ein-Stichproben-Test) oder über die Verteilung einer Zufallsvariablen
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 5. Der zwei-stichproben-t-test. und der Wilcoxon-Test
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 5. Der zwei-stichproben-t-test (t-test für ungepaarte Stichproben) und der Wilcoxon-Test Dirk Metzler 22. Mai 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung:
MehrPROZESSE. Andreas Handl
PROZESSE Andreas Handl Inhaltsverzeichnis 1 Was ist ein Prozess? 2 2 Quellen der Variation 6 3 Eingriffe in Prozesse und ihre Konsequenzen 13 4 Qualitätsregelkarten 23 4.1 Was ist eine Qualitätsregelkarte?...
Mehr5 Varianzanalytische Modelle, komplexere lineare Modell und Random Models
5 Varianzanalytische Modelle, komplexere lineare Modell und Random Models Auch in diesem Kapitel werden nur wenige statistische Hintergründe geliefert. Der Fokus des Kapitels liegt in der Einübung der
Mehr1 Statistische Grundlagen
Konzepte in Empirische Ökonomie 1 (Winter) Hier findest Du ein paar Tipps zu den Konzepten in Empirische 1. Wenn Du aber noch etwas Unterstützung kurz vor der Klausur brauchst, schreib uns eine kurze Email.
MehrEs werden etwa 135 Teile benötigt, um mit einer Sicherheit von 90 % eine Streuung
Dieses White Paper ist Teil einer Reihe von Veröffentlichungen, welche die Forschungsarbeiten der Minitab-Statistiker erläutern, in deren Rahmen die im Assistenten der Minitab 17 Statistical Software verwendeten
MehrUnivariate/ multivariate Ansätze. Klaus D. Kubinger. Test- und Beratungsstelle. Effektgrößen
Univariate/ multivariate Ansätze Klaus D. Kubinger Effektgrößen Rasch, D. & Kubinger, K.D. (2006). Statistik für das Psychologiestudium Mit Softwareunter-stützung zur Planung und Auswertung von Untersuchungen
Mehr