Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND Sommersemester 2011 FAKULTÄT STATISTIK Dr. M. Arnold Dipl.-Stat. R. Walter Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2 Aufgabe 1: Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion: x i f(x i ) c 0.5 c c (a) Bestimmen Sie die Konstante c und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion grafisch dar. (b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X und zeichnen Sie diese. (c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. (d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X 2.5), P (1.5 < X 3), P (X > 1). Aufgabe 2: Für eine stetige Zufallsvariable X gilt: 4cx 0 x < 1 f(x) = cx x 5 0 sonst (a) Bestimmen Sie den Parameter c so, dass f(x) eine Dichtefunktion von X ist und zeichnen Sie diese. (b) Ermitteln sie die zugehörige Verteilungsfunktion und skizzieren Sie deren Verlauf. (c) Berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Varianz von X. (d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (0 < X 1) mit Hilfe der Dichtefunktion und mit Hilfe der Verteilungsfunktion.

2 Aufgabe 3: Beweisen Sie den Verschiebungssatz Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Aufgabe 4: Sei Y = ax + b und Z = dx + e, wobei X die Zufallsvariable aus Aufgabe 2 ist. Berechnen Sie (a) den Erwartungswert von Y und von X 2, (b) die Varianz von Y, (c) die Kovarianz von Y und Z, (d) die Varianz von Y + Z. Aufgabe 5: Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung, also E(X) und Var(X), wobei X Exp(λ) mit Dichte f(x; λ) = λe λx, x 0. Aufgabe 6: Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X für beliebiges λ. Zeichnen Sie anschließend die Dichte und Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung für λ = 0.5. Berechnen Sie außerdem P (2 X < 3) mit Hilfe der Dichte- und Verteilungsfunktion und erläutern Sie, wie man die berechnete Wahrscheinlichkeit anhand der Zeichnungen ablesen kann. Aufgabe 7: Die Firma Osram nimmt an, dass die Lebensdauer ihrer 60 Watt Glühbirnen normalverteilt ist, allerdings sind die Parameter der Normalverteilung unbekannt. Sei X die Lebensdauer, dann gilt also X N(µ, σ 2 ), mit µ und σ 2 unbekannt. Zur Überprüfung der Vermutung der Normalverteilung und Einschätzung der Parameter werden Lebensdauern von 1000 Glühbirnen erhoben. Lebensdauer [600, 700) [700, 800) [800, 900) [900, 1000) absolute Häufigkeit Lebensdauer [1000, 1100) [1100, 1200) [1200, 1300) [1300, 1400) absolute Häufigkeit

3 (a) Zeichnen Sie das Histogramm der Lebensdauern! Kann hier von einer Normalverteilung ausgegangen werden? (b) Skizzieren Sie die Dichten der Normalverteilungen mit folgenden Parametern in die Zeichnung aus (a): µ 1 = 900, σ 2 1 = µ 2 = 1000, σ 2 2 = µ 3 = 1100, σ 2 3 = (c) Welche der Parameter aus (b) sind vermutlich die tatsächlichen? Aufgabe 8: Die im Landtag von Nordrhein-Westfalen vertretenen Parteien entsenden folgende Anzahlen von Abgeordneten: Partei CDU SPD Grüne FDP Summe männlich weiblich Summe (a) Sind die Ereignisse A: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist Mitglied der SPD und B: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist weiblich stochastisch unabhängig? Schätzen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten durch die relativen Häufigkeiten. (b) Sind die Ereignisse C: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist Mitglied der Grünen und D: Ein(e) zufällig ausgewählte(r) Abgeordnete(r) ist weiblich stochastisch unabhängig? Schätzen Sie auch hier die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten durch die relativen Häufigkeiten. Hinweis zur Erinnerung: zwei Ergeignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, falls eine der drei (äquivalenten) Bedingungen zutrifft P (A B) = P (A) P (B) P (A B) = P (A) P (B A) = P (B)

4 Aufgabe 9: Sei X N(2, 16). Berechnen Sie (a) P (X 10), (b) P (0 X 4), (c) P ( X > 3). Aufgabe 10: Die Zufallsvariablen X 1,..., X n seien unabhängig und identisch verteilt mit bekanntem Erwartungswert E(X i ) = µ, i = 1,..., n. Die Varianz σ 2 ist unbekannt und soll deshalb geschätzt werden. Dazu stehen Ihnen die Schätzfunktionen ˆσ 2 1 = 1 n (X i µ) 2, ˆσ 2 2 = 1 n 1 (X i µ) 2, ˆσ 3 2 = 1 3 (X2 1 + X2 2 + Xn) 2 µ 2 zur Verfügung. Welche dieser Schätzer sind erwartungstreu für σ 2? Berechnen Sie die Verzerrungen der drei Schätzer! Sind die verzerrten Schätzer asymptotisch erwartungstreu? Aufgabe 11: Beweisen Sie den Steinerschen Verschiebungssatz 1 n (x i x) 2 = 1 n (x i d) 2 ( x d) 2, d R. Aufgabe 12: Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X = 1 n X i, wenn X 1,..., X n Varianz σ 2. unabhängig und identisch verteilt sind mit Erwartungswert µ und Aufgabe 13: (vgl. Beispiel 2.2 (b)) Es seien X 1,..., X n unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2. Zeigen Sie, dass S 2 = 1 n 1 ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 ist. (X i X) 2

5 Aufgabe 14: Die Zufallsvariablen X 1,..., X n (n gerade) seien unabhängig und identisch verteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und bekannter Varianz σ 2. Zur Schätzung von µ stehen Ihnen folgende zwei Funktionen zur Auswahl: ˆµ 1 = 1 4 (X 1 + X 2 + X n 1 + X n ), ˆµ 2 = 1 8 X X n X n X n. Welcher dieser beiden Schätzer ist effizienter für die Schätzung von µ? Aufgabe 15: Es seien X 1,..., X n unabhängig bernoulliverteilte Zufallsvariablen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit des zu Grunde liegenden Zufallsexperiments wird mit p bezeichnet. Zeigen Sie, dass ˆp = X ein im quadratischen Mittel konsistenter Schätzer für p ist. Aufgabe 16: Ein alternativer Schätzer zu X aus Aufgabe 15 sei durch n n p = X + n + n n + n 0.5 gegeben. Bestimmen Sie Erwartungswert, Verzerrung und Varianz von p. Für welchen Wert von p ist p unverzerrt? Berechnen Sie außerdem den MSE von p. Ist p für beliebiges p asymptotisch unverzerrt und konsistent im quadratischen Mittel? Zeichnen Sie anschließend für p {0.25, 0.5, 0.75} die Verzerrung von p in Abhängigkeit von n (für n = 1,..., 10) und interpretieren Sie die Darstellung. Aufgabe 17: Zeigen Sie, dass der MSE des Schätzers X (n) für den Parameter der Re[0, θ]-verteilung folgendermaßen gegeben ist: wenn gilt: MSE(X (n), θ) = 2θ 2 (n + 1)(n + 2), f X(n) (x) = nxn 1 θ n Zeichnen Sie den MSE für n = 1,..., 20 und θ = 2. Was können Sie an der graphischen Darstellung ablesen? Aufgabe 18: Zeigen Sie die Behauptung aus Bemerkung 2.4: Sei ˆθ erwartungstreu für θ und g(θ) = a θ + b, a, b R eine lineare parametrische Funktion. Dann ist g(ˆθ) erwartungstreu für g(θ).

6 Aufgabe 19: Eine Grundgesamtheit besitze den Mittelwert µ und die Varianz σ 2. Die Stichprobenvariablen X 1,..., X 5 seien unabhängige Ziehungen aus dieser Grundgesamtheit. Man betrachtet als Schätzfunktionen für µ die Stichprobenfunktionen T 1 = X = 1 5 (X 1,..., X 5 ) T 2 = 1 3 (X 1 + X 2 + X 3 ) T 3 = 1 8 (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) X 5 T 4 = X 1 + X 2 T 5 = X 1 T 6 = 5 (a) Welche Schätzfunktionen sind erwartungstreu für µ? (b) Welche Schätzfunktion ist die effizienteste unter allen erwartungstreuen Schätzern? (c) Bestimmen Sie den MSE der Schätzer und zeichnen Sie diesen in Abhängigkeit von µ (µ [0, 10]) für σ 2 = 1. Interpretieren Sie die Abbildung. Aufgabe 20: Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort kurz (jeweils drei Punkte für richtige Begründung). a) Jeder UMVU-Schätzer ist erwartungstreu. b) Jeder im quadratischen Mittel konsistente Schätzer ist erwartungstreu. c) Jeder erwartungstreue Schätzer ist konsistent im quadratischen Mittel. Aufgabe 21: Sei X 1,..., X n eine Stichprobe aus einer Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert E(X i ) = µ und unbekannter Varianz Var(X i ) = σ 2. Hinweis: Es gilt ( ) ( ) E (X i X) 2 = (n 1)σ 2, Var (X i X) 2 = 2(n 1)σ 4. a) Betrachten Sie für c > 0 die Klasse von Schätzern für σ 2 der Form c n (X i X) 2. Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler von c n (X i X) 2 bezüglich σ 2 in Abhängigkeit von c. b) Angenommen, es gelte ( ) MSE c (X i X) 2, σ 2 = 2c 2 (n 1)σ 4 + [c(n 1) 1] 2 σ 4. Für welches c > 0 wird der mittlere quadratische Fehler innerhalb dieser Klasse von Schätzern minimal?