5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

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1 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von m linearen Gleichungen erfüllt ist, dh für vorgegebene Zahlen a ij, b i (i = 1 m, j = 1 n) soll gelten: Wenn man a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 a 12 a 1n b 1 x 1 a 21 a 22 a 2n A =, b = b 2, x = x 2 a m1 a m2 a mn b m x n setzt, so ist ( ) äquivalent zu A x = b Ist b = 0, so nennt man ( ) homogen, ansonsten inhomogen Das Gleichungssystem ( ) kann als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben werden wie folgt, a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m wenn die rechte Seite b = 0 ist, so kann sie in der Koeffizientenmatrix auch weggelassen werden Satz 52 (i) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist der Kern der zur Matrix A gehörenden linearen Abbildung f A, und damit ist die Lösungsmenge nach Satz 48 ein Untervektorraum des K n (ii) Wenn Aˆx = b gilt, so ist die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems Ax = b die Menge, M = {ˆx + y y K n so, dass Ay = 0} = ˆx + Ker(f A ) ( ) 39

2 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten (iii) Das lineare Gleichungssystem ( ) ist lösbar genau dann, wenn b Im(f A ) (iv) Es gilt Dim(Im(f A )) = Rang(A) = n Dim(Ker(f A )) Beispiel 53 Satz 54 Wenn m = n und A eine reguläre Matrix ist, dann ist das Gleichungssystem Ax = b für jedes b K n eindeutig lösbar Der Lösungsvektor ist x = A 1 b Beweis 52 Der Gauß-Algorithmus Satz 55 Die folgenden Operationen ändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht: (i) Vertauschung zweier Zeilen, (ii) Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ 0, (iii) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer gegebenen Zeile Diese Operationen kann man nutzen, um die Lösung eines linearen Gleichungssystems zu bestimmen 40

3 52 Der Gauß-Algorithmus Bemerkung 56 (Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme) Gegeben ist die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems Ax = b 1 Man fängt mit der ersten Spalte an, und wählt den kleinsten Zeilenindex i, so dass a i1 0 (dh, falls a 11 0, i = 1, falls a 11 = 0 aber a 21 0, i = 2, etc) Falls die gesamte erste Spalte gleich Null ist, dann springt man zu Schritt 5 und sucht in der zweiten Spalte, anfangend von der ersten Zeile, einen Eintrag ungleich Null 2 Diese i-te Zeile teilt man durch a 1i und tauscht sie mit der ersten Zeile (wenn i = 1, dann ist dieser Schritt überflüssig) Im Gleichungssystem steht jetzt links oben eine 1 3 Im nächsten Schritt nutzt man die 1 links oben im Gleichungssystem, um alle Einträge a 1k zu Null zu machen: Falls a 1k 0, so subtrahiert man von der k-ten Zeile a 1k mal die erste Zeile 4 Die erste Spalte des Gleichungssystems lautet nun 1, 0,, 0 5 Jetzt ignoriert man die erste Zeile und die erste Spalte, und sucht in der zweiten Spalte, ab der zweiten Zeile den obersten Eintrag a i2 0 (i 2) Falls die gesamte zweite Spalte ab der zweiten Zeile abwärts gleich Null ist, dann springt man zu Schritt 8 und sucht in der dritten Spalte weiter, etc 6 Man teilt diese Zeile wieder durch a i2 und tauscht sie mit der 2-ten Zeile 7 Nun wird wieder von jeder Zeile k 3 a 2k mal die zweite Zeile subtrahiert und man erhält die zweite Spalte ã 12, 1, 0,,0 8 Analog geht man spaltenweise durch das gesamte Gleichungssystem und erhält am Ende so etwas wie 1 ã 12 ã 13 ã 1n b1 0 1 ã 23 ã 2n b bm 9 Durch die Umformungen in Schritt 1 bis 8 ändert sich die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht (vgl Satz 55) Die Lösung kann man durch Rücksubstitution aus der Form in Schritt 8 berechnen 41

4 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Beispiel 57 Bemerkung 58 (i) Will man ein und dasselbe Gleichungssystem (A b) für mehrere rechte Seiten b, c, d, lösen, so kann man in der erweiterten Koeffizientenmatrix mehrere rechte Seiten nebeneinander schreiben, (A b c d ) und dann den Gauß- Algorithmus simultan durchführen (ii) Will man ein und dasselbe Gleichungssystem mit n Unbestimmten und n Gleichungen für mehr als n verschiedene rechte Seiten lösen, so kann es sich lohnen, die Inverse A 1 von A zu berechnen und dann Satz 54 zu benutzen (iii) Um eine Matrix zu invertieren, kann man auf die rechte Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix eine Einheitsmatrix schreiben, (A E), und dann die Matrix so weit umformen, dass links eine Einheitsmatrix steht Die Matrix auf der rechten Seite ist dann die Inverse von A (dh man formt um zu (E A 1 )) Beispiel 59 42

5 53 Determinanten 53 Determinanten Definition 510 Es sei A K n n eine Matrix mit den Einträgen a i,j in der i-ten Zeile, j-te Spalte Außerdem sei für i, j {1, 2,, n} die (n 1) (n 1)-Untermatrix A ij gegeben als die Matrix, welche durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht Für n 2 ist die Determinante von A definiert durch n det(a) = A = ( 1) k+1 a 1,k det(a 1,k ) k=1 Die Determinanten det(a 1k ) lassen sich rekursiv nach der gleichen Formel berechnen, solange sie mindestens 2 2 Matrizen sind Für n = 1 ist die Determinante Beispiel 511 det(a) = det(a 11 ) = a 11 Satz 512 (Zur Berechnung von Determinanten) (i) Für A K 2 2 ist det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 (ii) (Regel von Sarrus:) Für A K 3 3 ist det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 (iii) (Laplace scher Entwicklungssatz) Die Determinante einer Matrix A K n n kann nach jeder Zeile oder Spalte von A entwickelt werden: Entwicklung nach der i-ten Zeile (liefert für i = 1 die Definition): n det(a) = ( 1) k+i a i,k det(a i,k ) k=1 Entwicklung nach der k-ten Spalte: n det(a) = ( 1) k+i a i,k det(a i,k ) i=1 43

6 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Beispiel 513 Satz 514 (Eigenschaften der Determinante) (i) Die Determinantenabbildung ist linear in der Zeilen/Spalten der Matrix A, dh, es gilt zb a 11 a 1,j 1 x 1 + λy 1 a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 x 2 + λy 2 a 2,j+1 a 2n det a n1 a n,j 1 x n + λy n a n,j+1 a nn a 11 a 1,j 1 x 1 a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 x 2 a 2,j+1 a 2n = det a n1 a n,j 1 x n q a n,j+1 a nn a 11 a 1,j 1 y 1 a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 y 2 a 2,j+1 a 2n + λ det a n1 a n,j 1 y n a n,j+1 a nn (ii) Das Vertauschen von Zeilen oder Spalten in einer Matrix ändert das Vorzeichen ihrer Determinante (iii) Addiert man das Vielfache einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte, so ändert sich die Determinante der Matrix nicht (iv) det(a) = det(a T ), det(āt ) = det(a) (v) det(a B) = det(a) det(b), (vi) det(e n ) = 1, det(a 1 ) = (det(a)) 1, 44

7 54 Determinanten und lineare Gleichungssysteme 54 Determinanten und lineare Gleichungssysteme Satz 515 (Determinanten und die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems) Eine Matrix A ist regulär genau dann, wenn det(a) 0 Das lineare Gleichungssystem Ax = b besitzt für jedes b genau eine Lösung, genau dann, wenn A regulär ist, dh wenn det(a) 0 Ansonsten besitzt das Gleichungssystem unendlich viele, oder gar keine Lösungen Beispiel 516 Satz 517 (Cramer sche Regel) Es sei A K n n eine reguläre Matrix und b K n sei ein Vektor Die Matrix A k sei diejenige Matrix, welche durch Ersetzen der k-ten Spalte von A mit dem Vektor b entsteht Die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist gegeben durch x = (x 1, x 2,, x n ) mit Beispiel 518 x k = det(a k) det(a) Bemerkung 519 Satz 517 liefert einen Algorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen Typischerweise ist es jedoch wesentlich weniger Aufwand, den Gauß- Algorithmus aus Bemerkung 56 zu verwenden 45