Hypothesentests für Erwartungswert und Median. Statistik (Biol./Pharm./HST) FS 2015

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1 Hypothesentests für Erwartungswert und Median Statistik (Biol./Pharm./HST) FS 2015

2 Normalverteilung X N μ, σ 2 X ist normalverteilt mit Erwartungswert μ und Varianz σ 2 pdf: pdf cdf:??? cdf 1

3 Zentraler Grenzwertsatz (ZGS) Ann: X 1,, X n ~F iid; E X i = μ, Var X i = σ X 2 neu X n N(μ, σ X 2 n ) aus GGZ oder äquivalent mit S n = X X n : S n N(nμ, nσ X 2 ) 2

4 Wie prüft man, ob eine Normalverteilung vorliegt? Histogramm der Daten mit pdf vergleichen Schwierig kleine Abweichungen zu erkennen Einfacher: QQ-Plot Theoretische Quantile gegen Empirische Quantile Gerade: Normalverteilung OK Krümmung: Keine Normalverteilung N(3,2 2 ) Exp(1) 3

5 Reaktionszeit Reagiert ein Rechtshänder mit rechts schneller als mit links? (analog für Linkshänder) Experiment: - Population: Alle StudentInnen der VL Stichprobe: 50 zufällige StudentInnen angeschrieben - Reaktionszeittest online: - Mit jeder Hand einmal ausprobieren - Dann mit jeder Hand nocheinmal - Reihenfolge randomisiert (Geburtstag) - Robust: Bei beiden Messungen das beste und schlechteste Resultat streichen, dann mitteln und an mich senden - Berechne Nebenhand Haupthand - Z.B.: Haupthand 227 ms, Nebenhand 248 ms Differenz = 248 ms 227 ms = 21 ms - Anreiz: Verlose Gutschein unter Teilnehmern: Rücklauf erhöhen

6 Ergebnis 50 StudentInnen angeschrieben Rücklauf: 26 Haupthand ist im Mittel 10 ms schneller 5

7 Stichprobe vs. Population In der Stichprobe war die Haupthand im Mittel um 10 ms schneller Bedeutet das, dass die Nebenhand auch in der ganzen Bevölkerung im Mittel schneller ist? Antwort darauf: z-test, t-test, Wilcoxon-Test, Vorzeichen-Test 6

8 z-test: σ X bekannt 1. Modell: X i ist eine kontinuierliche Messgrösse X 1,, X n i.i.d. N(μ, σ X 2 ), σ X bekannt 2. Nullhypothese: H 0 : μ = μ 0 Alternative: H A : μ μ 0 (oder < oder >) 3. Teststatistik: Z = X n μ 0 = n X n μ 0 beobachtet erwartet = σ Xn σ X Standardfehler Verteilung der Teststatistik unter H 0 : Z~N(0,1) 4. Signifikanzniveau: α 5. Verwerfungsbereich für die Teststatistik: K =, Φ 1 1 α 2 Φ 1 1 α 2, bei H A: μ μ 0 K =, Φ 1 1 α bei H A : μ < μ 0 K = Φ 1 1 α, bei H A : μ > μ 0 6. Testentscheid: Überprüfe, ob der beobachtete Wert der Teststatistik im Verwerfungsbereich liegt. 7

9 Problem in Praxis: σ X ist unbekannt! Schätze Varianz: σ X 2 = 1 n 1 (X i X n ) Neue Teststatistik: T = X n μ 0 σ X n Verteilung von T, falls H 0 stimmt: T~t n 1 8

10 Student s t-verteilung Zoo Teil 3 Annahme: X 1, X 2,, X n N μ, σ X 2 σ 2 X = 1 n n 1 i=1 und unabhängig X i X n 2 ist geschätzte Varianz T = ( X n μ)/( σ X ) folgt einer n t-verteilung mit n Freiheitsgraden, T~t n Werte sind tabelliert oder im Computer verfügbar Falls n = : t n = N(0,1) pdf Mehr Streuung = Unsicherheit cdf N(0,1) 9

11 Tabelle: t-verteilung 10

12 t-test: σ X unbekannt R: t.test power.t.test 1. Modell: X i ist eine kontinuierliche Messgrösse X 1,, X n i.i.d. N(μ, σ X 2 ), σ X durch σ X geschätzt 2. Nullhypothese: H 0 : μ = μ 0 Alternative: H A : μ μ 0 (oder < oder >) 3. Teststatistik: T = X n μ 0 σ Xn = n X n μ 0 σ X = beobachtet erwartet Standardfehler Verteilung der Teststatistik unter H 0 : T~t n 1 4. Signifikanzniveau: α 5. Verwerfungsbereich für die Teststatistik: K =, t α n 1;1 2 t n 1;1 α 2, bei H A : μ μ 0 K =, t n 1;1 α bei H A : μ < μ 0 K = t n 1;1 α, bei H A : μ > μ 0 6. Testentscheid: Überprüfe, ob der beobachtete Wert der Teststatistik im Verwerfungsbereich liegt. 11

13 Wdh: Fehler 1. Art & Macht H 0 wahr Fehler 1. Art Angenommen: μ = μ 0 + 1σ Macht für μ = μ 0 + 1σ 12

14 P-Wert (zweiseitiger Test) Aus Tabelle grob abschätzen: p 0.1 Genauer mit Computer: p = f(x) t = -1.6 x t =

15 (1-α)-Vertrauensintervall für μ Äquivalente Definitionen: - enthält wahren Wert mit Wa. 1 α - enthält alle Werte μ 0, bei denen H 0 : μ = μ 0 vs. H A : μ μ 0 mit Sig.niveau α nicht verwirft Im t-test, Schritt 5: Nicht verwerfen, falls X n μ σ X n < t n 1;1 α 2 ; nach μ auflösen VI: x n t n 1;1 α 2 σ x n ; x n + t n 1;1 α 2 σ x n Im Bsp: ; = = [ 3; 23] ms 14

16 Annahmen und Ausblick Stichprobenvarianz bekannt (z-test) gelöst im t-test Daten normalverteilt (z-test, t-test) abgeschwächt im Wilcoxon Test gelöst im Vorzeichentest Beobachtungen unabhängig und gleich verteilt keine einfache Lösung 15

17 Vorzeichentest = Binomialtest 1. Modell: X 1,, X n iid wobei X 1 eine beliebige Verteilung hat. 2. Nullhypothese: H 0 : μ = μ 0 (μ ist der Median) Alternative: H A : μ μ 0 (oder einseitige Variante) 3. Teststatistik: V: Anzahl X i s mit X i > μ 0 Verteilung der Teststatistik unter H 0 : V~Bin n, π 0 mit π 0 = Signifikanzniveau: α 5. Verwerfungsbereich für die Teststatistik: K = 0, c u [c o, n] falls H A : μ μ 0 Die Grenzen c u und c o müssen mit der Binomialverteilung oder der Normalapproximation berechnet werden. 6. Testentscheid: Entscheide, ob der beobachtete Wert der Teststatistik im Verwerfungsbereich der Teststatistik liegt. 16

18 Bsp: Vorzeichentest Angenommen: H 0 : μ = μ 0 = 10, H A : μ 10 Beobachtet: x 1 = 13, x 2 = 9, x 3 = 17, x 4 = 8, x 5 = 14 Vorzeichen von x i μ 0 : +, -, +, -, + Mache Binomialtest mit H 0 : π = 0.5, H A : π 0.5, n=5, x=3 (Anzahl + ) Der Vorzeichentest kann genau dann verworfen werden, wenn der entsprechende Binomialtest verworfen wird. Vorteil: Keine Annahme an Verteilung Nachteil: Kleinere Macht 17

19 Wilcoxon-Test: Intuition Kompromiss zw. Vorzeichen- und t-test Annahme: X i ~F iid, F ist symmetrisch Teste Median μ: H 0 : μ = μ 0 (einseitig oder zweiseitig) 18

20 Bsp: Wilcoxon-Test Bsp: H 0 : μ 0 = 0 Beobachte -1.9, 0.2, 2.9, -4.1, 3.9 Absolutbeträge: 1.9, 0.2, 2.9, 4.1, 3.9 Ränge der Absolutbeträge: 2,1,3,5,4 Rangsumme der posititven Gruppe: 1+3+4=8 Minimale Rangsumme: 0 Maximale Rangsumme: = 15 Mit dem Computer: 19

21 Wilcoxon-Test: Intuition Kompromiss zw. Vorzeichen- und t-test Annahme: X i ~F iid, F ist symmetrisch Teste Median μ: H 0 : μ = μ 0 (einseitig oder zweiseitig) Intuition der Teststatistik - Rangiere x i μ 0 r i - Gib Rängen ursprüngliches Vorzeichen von (x i μ 0 ) ( signed ranks ) - Teststatistik T: Summe aller Ränge, bei denen (x i μ 0 ) positiv ist Falls H 0 stimmt, sollte diese Rangsumme nicht zu gross und nicht zu klein sein 20

22 Übersicht der Tests Test Annahmen n min bei α = Macht für ein Beispiel (1) σ X bekannt X i ~N Symm. Verteilung z x x x x 1 89 % t x x x 2 79 % Wilcoxon x x 6 79 % VZ x 5 48 % iid (1): X i ~N μ, σ 2, n = 10; H 0 : μ = 0; H A : μ 0; α = 0.05 Macht berechnet für konkrete Alternative: X i ~N(1,1) 21

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