Rangsatz. d.) (2P) Formulieren Sie den

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Rangsatz. d.) (2P) Formulieren Sie den"

Transkript

1 Probeklausur Lineare Algebra I am Die Klausur ist in drei Teile unterteilt, die grob als Definitions-, Rechenund Beweisteil bezeichnet werden können (optisch durch Linien getrennt). In jedem Teil sind 20 Punkte zu holen, also insgesamt 60 Punkte. Bei den folgenden zu machenden Definitionen dürfen Sie Begriffe aus vorherigen Definitionen verwenden, ohne Sie im Detail noch einmal ausführen zu müssen. Aufgabe 1. (6 Punkte insgesamt) a.) (3P) Definieren Sie, was eine abelsche Gruppe ist. b.) (3P) Definieren Sie, was ein Vektorraum V über einem Körper K ist (der Begriff Körper braucht nicht definiert zu werden). Aufgabe 2. (8 Punkte insgesamt) Sei V ein K-Vektorraum und B V eine Teilmenge. a.) (4P) Definieren Sie, wann B ein Erzeugendensystem und wann es ein linear unabhängiges System genannt wird. b.) (4P) Geben Sie drei äquivalente Bedingungen dafür an, daß B eine Basis von V ist. Aufgabe 3. (6 Punkte insgesamt) Seien V und W zwei K-Vektorräume und φ: V W eine lineare Abbildung. a.) (1P) Definieren Sie, was es heißt, daß φ eine lineare Abbildung ist. b.) (1P) Definieren Sie, was der Kern von φ ist: ker φ :=... c.) (2P) Geben Sie zwei äquivalente Bedingungen dafür an, daß φ injektiv ist. d.) (2P) Formulieren Sie den Rangsatz. Aufgabe 4. (4 Punkte insgesamt) Zeigen Sie für die folgenden Abbildungen, ob sie linear sind. a.) (2P) φ 1 : R 2 R 3 mit φ 1 (x,y) := (x + y,x, 0). b.) (2P) φ 2 : R R 2 mit φ 2 (x) := (x, 1). Lösung zu Aufgabe 4 Um die Linearität einer Abbildung φ: V W zweier K-Vektorräume V und W nachzuprüfen, müssen folgende beiden Gleichungen überprüft

2 2 Probeklausur Lineare Algebra I am werden: (L1) (L2) φ(x + y) = φ(x) + φ(y) für alle x,y V. φ(αx) = αφ(x) für alle α K, x V. a.) φ 1 : R 2 R 3 mit φ 1 (x,y,z) := (x+y,x, 0) ist linear, denn es sind beide Gleichungen (L1) und (L2) erfüllt: ( ) ( ) (L1) φ 1 (x,y) + (u,v) = φ1 (x + u,y + v) Def = ( (x + u) + (y + v),x + u, 0 ) = ( (x + y) + (u + v),x + u, 0 ) (L2) = (x + y,x, 0) + (u + v,u, 0) = φ 1 (x,y) + φ 1 (u,v). φ 1 ( α(x,y) ) = φ1 (αx,αy) = (αx + αy,αx, 0) = α(x + y,x, 0) = αφ 1 (x,y). b.) φ 2 : R R 2 mit φ 2 (x) := (x, 1) ist nicht linear, da beide Gleichungen (L1) und (L2) nicht erfüllt sind. Es reicht jedoch, einen Widerspruch zu zeigen! Hier wird Gleichung (L2) widerlegt: φ 2 (3x) = (3x, 1) 3(x, 1) = 3φ 2 (x). Aufgabe 5. (8 Punkte) Geben Sie für folgende lineare Abbildung jeweils eine Basis des Bildes und eine Basis des Kerns an. φ: R 3 R 3 mit φ(x,y,z) := (x,x,y). Lösung zu Aufgabe 5 Als erstes wird eine Basis zu im φ gesucht. Dafür wird folgende Aussage benutzt: Die Bilder einer Basis des R 3 sind ein Erzeugendensystem von imφ (Lemma 5.11.i des Vorlesungsskriptes). Nach diesem Lemma ist M := {φ(e 1 ),φ(e 2 ),φ(e 3 )} = {(1, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)} ein Erzeugendensystem von im φ, aus dem der Nullvektor φ(e 3 ) herausgenommen werden kann, ohne diese Eigenschaft zu zerstören. Es wird nun gezeigt, daß die Restmenge N := {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} eine Basis des Bildes ist. Dazu wird überprüft, daß beide Vektoren aus N linear unabhängig sind, denn dann sind sie als linear unabhängiges Erzeugendensystem des Bildes auch eine Basis von diesem. Es gilt: α(1, 1, 0) + β(0, 0, 1) = (α,α,β) = (0, 0, 0) = α = β = 0,

3 Probeklausur Lineare Algebra I am und die gewünschte lineare Unabhängigkeit ist gezeigt. Der Rangsatz (Satz 5.9 des Vorlesungsskriptes) liefert nun wegen der vorher gezeigten Gleichung dim imφ = 2 sofort: dim ker φ = }{{} 3 }{{} 2 dim R 3 dim im φ=rg φ = 1, so daß ein eindimensionaler Kern von φ zu finden ist. Eine Basis eines eindimensionalen Raumes kann aus jedem seiner Vektoren (außer dem Nullvektor!) gebildet werden, und nach obiger Rechnung ist e 3 wegen φ(e 3 ) = (0, 0, 0) im Kern von φ und {e 3 } somit eine Basis des Kerns von φ. Aufgabe 6. (8 Punkte insgesamt) a.) (4P) Zeigen Sie, daß folgende Menge linear unabhängig ist und ergänzen Sie sie zu einer Basis: {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} R 3. b.) (4P) Zeigen Sie, daß folgende Menge ein Erzeugendensystem ist und wählen Sie daraus eine Basis aus: Lösung zu Aufgabe 6 {( 1, 0, 1), (1, 0, 1), (2, 0, 3), (4, 4, 4)} R 3. a.) Es wird gezeigt, daß die Menge M := {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} zu einer Basis N des R 3 ergänzt werden kann: dann ist die lineare Unabhängigkeit von M wegen M N automatisch gezeigt, da Teilmengen linear unabhängiger Mengen selber linear unabhängig sind (Bemerkung 4.5.i des Vorlesungsskriptes), und eine Basis eine linear unabhängige Menge ist. Da eine Basis N des R 3 gesucht ist, muß N drei Elemente beinhalten und somit M um einen geeigneten Vektor erweitert werden: dieser sei e 2 = (0, 1, 0), also N := M {(0, 1, 0)} = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0 }{{}}{{}}{{} =:v 1 =:v 2 =:v 3 )}. Um zu zeigen, daß N tatsächlich eine Basis des R 3 ist, reicht es wegen N = 3 zu zeigen, daß N linear unabhängig ist (dann maximal linear unabhängig), oder daß N ein Erzeugendensystem ist (dann minimales Erzeugendensystem): dies ist in Satz 4.21 des Vorlesungsskriptes formuliert. Hier wird gezeigt, daß N ein Erzeugendensystem ist.

4 4 Probeklausur Lineare Algebra I am Nach einem Lemma der großen Übung (oder Teilen des Vorlesungsskriptes) ist eine Teilmenge eines Vektorraumes ein Erzeugendensystem desselben, wenn aus dieser Teilmenge ein anderes Erzeugendensystem per Linearkombination konstruiert werden kann. Somit reicht es zu zeigen, daß aus den Vektoren von N die Standardbasis e 1, e 2 und e 3 des R 3 konstruiert werden kann: e 1 = v 1 v 3, e 2 = v 3 und e 3 = v 2 e 1 = v 2 v 1 + v 3. b.) Es wird gezeigt, daß aus der Menge M := {( 1, 0, 1), (1, 0, 1), (2, 0, 3), (4, 4, 4)} eine Basis N des R 3 ausgewählt werden kann: dann ist die Menge M N automatisch ein Erzeugendensystem des R 3, da Obermengen von Erzeugendensystemen selber wieder Erzeugendensysteme sind (Proposition 3.14.iv des Vorlesungsskriptes), und eine Basis ein Erzeugendensystem ist. Weil eine Basis N des R 3 gesucht ist, muß aus M ein Vektor entfernt werden, und da (2, 0, 3) = 5 2 (1, 0, 1) + 1 ( 1, 0, 1) 2 gilt, kann sicher (2, 0, 3) aus M entfernt werden, ohne eine vermutete Erzeugendensystemeigenschaft von M zu zerstören, und es wird somit gewählt: N := M \ {(2, 0, 3)} = {( 1, 0, 1), (1, 0, 1), (4, 4, 4) }{{}}{{}}{{} =:v 1 =:v 2 =:v 3 }. Wegen der gleichen Argumentation wie in Aufgabenteil a.) wird nun gezeigt, daß mit den Vektoren aus N die Standardbasis e 1, e 2 und e 3 des R 3 erzeugt werden kann, und die Basiseigenschaft von N ist damit verifiziert: e 1 = 1 2 (v 2 v 1 ), e 3 = v 2 e 1 und e 2 = 1 4 v 3 e 1 e 3. (Hier sind bei der Berechnung von e 3 und dann bei e 2 nicht explizit die Kombinationen der vorher schon bestimmten Standardbasisvektoren aus den v i eingesetzt worden.) Aufgabe 7. (8 Punkte) Auf den folgenden Teilmengen M 1 := {(1, 0), (2, 1)} und M 2 := {(1, 0), (1, 1)}

5 Probeklausur Lineare Algebra I am des R 2 seien folgende Abbildungen definiert: { { (1, 0) (2, 1) (1, 0) (2, 1) f : und p: (2, 1) (3, 2) (1, 1) (1, 1) Beweisen Sie, daß es lineare Abbildungen φ,π: R 2 R 2 gibt mit und daß gilt: φ = π. φ M1 = f und π M2 = p, Lösung zu Aufgabe 7 Um die Existenz der beiden Abbildungen φ und π zu zeigen, wird Satz 5.16 der Vorlesung benutzt, daß auf Basen vorgegebene Abbildungen zu Homomorphismen auf dem ganzen Raum linear fortgesetzt werden können. Dazu ist zuersteinmal zu zeigen, daß die vorgegebenen Mengen M 1 und M 2 Basen des R 2 sind. Da beide Mengen aus zwei Elementen bestehen und sie im R 2 liegen, braucht aus Dimensionsgründen nur gezeigt zu werden, daß sie linear unabhängig sind (dann maximal linear unabhängig), oder Erzeugendensysteme (dann minimale Erzeugendensysteme), um sie als Basen zu identifizieren (Satz 4.21 des Vorlesungsskriptes). Wie in der Lösung zu Aufgabe 6 beschrieben, reicht es zu zeigen, daß mit beiden Mengen jeweils die Standardbasis e 1,e 2 des R 2 erzeugt werden kann: dann sind beide Mengen selbst schon Erzeugendensystem. Und da sie beide e 1 enthalten, muß nur noch gezeigt werden, daß e 2 erzeugbar ist: e 2 = (2, 1) 2(1, 0) = e 2 kann aus M 1 erzeugt werden. e 2 = (1, 1) (1, 0) = e 2 kann aus M 2 erzeugt werden. Nun liefert Satz 5.16 sofort die Existens zweier linearer Abbildungen φ,π von R 2 nach R 2 mit φ M1 = f und π M2 = p. Um die Gleichheit beider Abbildungen zu zeigen, braucht nicht auf dem ganzen Raum überprüft zu werden, ob φ und π die gleichen Bilder haben, sondern nur auf einer Basis (dies ist auch eine Folgerung aus Satz 5.16 des Vorlesungsskriptes). Es wird nun gezeigt, daß φ und π auf M 1 = {(1, 0), (2, 1)} die gleichen Bilder haben. Dabei wird ausgenutzt, daß beide Abbildungen linear sind und mit f bzw. p auf M 1 bzw. M 2 übereinstimmen: φ(1, 0) = f(1, 0) = p(1, 0) = π(1, 0), φ(2, 1) = (3, 2) = (2, 1) + (1, 1) = p(1, 0) + p(1, 1) = π(1, 0) + π(1, 1) = π ( (1, 0) + (1, 1) ) = π(2, 1).

6 6 Probeklausur Lineare Algebra I am Aufgabe 8. (4 Punkte) Zeigen Sie, daß es keinen Gruppenisomorphismus φ: Z/6Z S 3 geben kann (Gruppenisomorphismus: bijektiver Gruppenhomomorphismus). Lösung zu Aufgabe 8 Sei φ: Z/6Z S 3 ein Gruppenhomomorphismus (es existiert immer ein Gruppenhomomorphismus zwischen zwei Gruppen, da die erste Gruppe immer auf das neutrale Element der zweiten Gruppe abgebildet werden kann und diese Abbildung ein Homomorphismus ist). Es wird gezeigt, daß φ nicht injektiv und damit nicht bijektiv sein kann. Bei einem Gruppenhomomorphismus wird das neutrale Element der einen Gruppe auf das neutrale Element der anderen Gruppe abgebildet (Aufgabe 9.b), so daß φ(0) = id gilt. Es wird nun das Bild von 1 Z/6Z unter φ betrachtet und damit gezeigt, daß immer ein weiteres Element auf id S 3 abgebildet wird und damit φ nicht injektiv sein kann. Die Menge S 3 sei in folgende drei disjunkte Teilmengen zerlegt: S 3 = {id} {(12), (23), (13)} {(123), (132)}. }{{}}{{}}{{} =:A =:B =:C Dann zeigt eine kurze Rechnug für das Bild φ(1): φ(1) A = φ(1) = id, φ(1) B = φ(2) = φ(1 + 1) = φ(1) φ(1) = id, φ(1) C = φ(3) = φ( ) = φ(1) φ(1)φ(1) = id. In jedem Fall wird ein weiteres Element als 0 auf id abgebildet und φ kann nicht injektiv sein. In dieser Lösung wird der strukturelle Unterschied von Z/6Z und S 3 ausgenutzt, daß Z/6Z durch ein Element, die 1, erzeugt wird, und ein solches Element in S 3 nicht existiert. Ein weiterere, andere Lösung der Aufgabe nutzt den strukturellen Unterschied zwischen Z/6Z und S 3 aus, daß Z/6Z eine abelsche Gruppe ist und S 3 nicht. Sei dazu angenommen, daß φ ein Isomorphismus von Z/6Z nach S 3 sei. Dann gibt es zu (12) und (23) aus S 3 Urbilder x,y Z unter φ: φ(x) = (12) und φ(y) = (23).

7 Probeklausur Lineare Algebra I am Da in Z/6Z die Gleichung x+y = y+x gilt und φ ein Homomorhismus sein soll, würde folgen: (123) = (12)(23) = φ(x)φ(y) = φ(x + y) = φ(y + x) = φ(y)φ(x) = (23)(12) = (123). Da aber (123) (132) in S 3 gilt, kann es einen Isomorphismus φ zwischen Z/6Z und S 3 nicht geben. Aufgabe 9. (8 Punkte insgesamt) Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume. a.) (4P) Sei M := {m 1,...,m k } V ein linear unabhängiges System und f : M W eine Abbildung. Zeigen Sie, daß es eine lineare Abbildung φ: V W gibt mit φ M = f, d.h. φ(m i ) = f(m i ) für 1 i k. b.) (4P) Sei dimv < dimw. Zeigen Sie, daß es keine surjektive lineare Abbildung von V nach W geben kann. Lösung zu Aufgabe 9 a.) Nach Satz 5.16 kann eine auf einer Basis definierte Abbildung linear auf den ganzen Raum fortgesetzt werden. Da M keine Basis ist, kann dieser Satz nicht unmittelbar angewendet werden. Wegen der linearen Unabhängigkeit von M kann M aber zu einer Basis B ergänzt werden (Proposition 4.20.i des Vorlesungsskriptes), so daß es eine zu M disjunkte Menge N gibt mit B := M N ist eine Basis von V. Gilt dann N = {m k+1,...,m n }, so kann f zu einer Abbildung g von B nach W erweitert werden, z.b. durch { f(m i ) für 1 i k, g :: B W mit g(m i ) := 0 sonst. Dann liefert Satz 5.16 der Vorlesung die Existenz einer Abbildung φ: V W mit φ B = g, insbesondere nach Definition von g: φ M = f. b.) Für eine surjektive Abbildung φ: V W würde wegen rg φ = dim im φ = dim W und dem Rangsatz gelten: dim W = dimv dim ker φ dim V }{{} = dimw dimv, 0 im Widerspruch zur Annahme dim V < dim W. Viel Erfolg!!!

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043

4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043 Lineare Algebra I 1. Name: Bleeck, Christian 4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043 Abgabe: 15.11.06 12 Uhr (Kasten D1 320) Übungsgruppe: 03 Patrick Schützdeller 2. Name: Niemann, Philipp Matrikelnr.: 6388613

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 2 Aufgabe 1 (4 Punkte) Seien

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013 Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010 Induktive Limiten Arpad Pinter, Tobias Wöhrer 30. Jänner 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Induktiver Limes von Mengen 2 2 Induktiver Limes von Vektorräumen 4 3 Lokalkonvexe topologische Vektorräumen 7 4 Induktiver

Mehr

2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen

2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2012 61 2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Bei der Konstruktion der Restklassengruppe Z/mZ hatten wir auf der Gruppe Z mit Hilfe einer Untergruppe mz eine

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 5 Invariantenringe zu Untergruppen Proposition 5.1. Es sei R G R eine Operation einer Gruppe G auf einem kommutativen Ring durch

Mehr

2. Universelle Algebra

2. Universelle Algebra 2. Universelle Algebra Die Theorie der universellen Algebra verallgemeinert die Theorien der klassischen Algebren. Obwohl ursprünglich nur eine Sorte betrachtet wurde, werden wir hier gleich den mehrsortigen

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Geometrische Mannigfaltigkeiten

Geometrische Mannigfaltigkeiten Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie

Mehr

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage

Mehr

Vorlesung Endlichdimensionale Algebren. Dirk Kussin

Vorlesung Endlichdimensionale Algebren. Dirk Kussin Vorlesung Endlichdimensionale Algebren (Sommersemester 2013) Dirk Kussin Fakultät für Mathematik, TU Chemnitz E-mail address: dirk.kussin@mathematik.tu-chemnitz.de Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Grundlagen

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

1 Gruppen: Definition und erste Eigenschaften

1 Gruppen: Definition und erste Eigenschaften 1 Gruppen: Definition und erste Eigenschaften Von allen algebraischen Strukturen, die man in der linearen Algebra kennenlernt, haben Gruppen die einfachste Definition. In der Tat sind viele andere algebraische

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Ringe, Algebren und Körper

Ringe, Algebren und Körper KAPITEL 3 Ringe, Algebren und Körper Wir kommen nun zu Strukturen mit zwei verträglichen Operationen, wobei wir etwas Hintergrund aus der linearen Algebra voraussetzen werden. Wir werden oft auf die Analogie

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Lineare Algebra I. HP Butzmann. Vorlesung im HWS 09

Lineare Algebra I. HP Butzmann. Vorlesung im HWS 09 Lineare Algebra I HP Butzmann Vorlesung im HWS 09 Inhaltsverzeichnis 1 Mengen und Abbildungen 2 2 Körper 15 3 Vektorräume 40 4 Basis und Dimension 53 5 Lineare Abbildungen 67 6 Matrizen 80 7 Lineare Gleichungssysteme

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Freie algebraische Strukturen. Hartmut Laue

Freie algebraische Strukturen. Hartmut Laue Freie algebraische Strukturen Hartmut Laue Mathematisches Seminar der Universität Kiel 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Worte 3 2 Verschiedene freie Strukturen 27 3 Freie Gruppen 55 4 Freie Lie-Algebren 76 Relief

Mehr

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern

Mehr

Ausgewählte Aufgaben zum Grundbereich des Staatsexamens in Mathematik. Lineare Algebra. zusammengestellt von

Ausgewählte Aufgaben zum Grundbereich des Staatsexamens in Mathematik. Lineare Algebra. zusammengestellt von Ausgewählte Aufgaben zum Grundbereich des Staatsexamens in Mathematik Lineare Algebra zusammengestellt von Sabine Giese, Josef Heringlehner, Birgit Mielke, Hans Mielke und Ralph-Hardo Schulz 98 Aufgaben,

Mehr

Codes und Codegitter. Katharina Distler. 27. April 2015

Codes und Codegitter. Katharina Distler. 27. April 2015 Codes und Codegitter Katharina Distler 7. April 015 Inhaltsverzeichnis 1 Codes 4 Codegitter 14 Einleitung Die folgende Seminararbeit behandelt das Konzept von Codes und Codegittern. Da sie bei der Informationsübertragung

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Kommutative Algebra. Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014. 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1. 1 Noethersche Ringe 5

Kommutative Algebra. Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014. 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1. 1 Noethersche Ringe 5 Kommutative Algebra Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014 Inhaltsverzeichnis 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1 1 Noethersche Ringe 5 2 Moduln über Ringen und exakte Sequenzen 7 3 Lokalisierungen

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K

Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K Satz 25 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen

Mehr

Algebra. Professor Walter Gubler

Algebra. Professor Walter Gubler Algebra Professor Walter Gubler 29. April 2010 2 Inhaltsverzeichnis I Algebra I 11 I Gruppentheorie 13 I.1 Gruppen................................... 13 I.1.1 Denition einer Gruppe.......................

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik Kapitel. Kodierungstheorie

Mathematik II für Studierende der Informatik Kapitel. Kodierungstheorie Mathematik II für Studierende der Informatik Kapitel Kodierungstheorie Markus Junker Sommersemester 2011 (korrigierte Version vom Sommersemester 2012) Einführung, Beispiele, Definitionen Ausgangspunkt

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz Tobias Kraushaar Kaiserstr. 178 44143 Dortmund Matr.- Nr.: 122964 Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz 1. EINLEITUNG... 2 2. HAUPTTEIL... 3 2.1. Der

Mehr

Noethersche und artinsche Ringe

Noethersche und artinsche Ringe Noethersche und artinsche Ringe Seminar Kommutative Algebra und Varietäten Prof. Dr. K. Wingberg, Dr. J. Gärtner Vortrag 6 Yassin Mousa 05.06.2014 Im Folgenden bezeichne R immer einen kommutativen Ring

Mehr

2 Algebraische Grundstrukturen

2 Algebraische Grundstrukturen 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 1 8. November 2002 2 Algebraische Grundstrukturen Definitionen. Eine binäre Operation (binary operation) oder zweistellige Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

9. Anwendungen der Fundamentalgruppe

9. Anwendungen der Fundamentalgruppe 76 Andreas Gathmann 9. Anwendungen der Fundamentalgruppe Nachdem wir mit Hilfe von Überlagerungen nun in der Lage sind, Fundamentalgruppen zu berechnen, wollen wir in diesem abschließenden Kapitel noch

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Der Golay-Code und das Leech-Gitter

Der Golay-Code und das Leech-Gitter Der Golay-Code und das Leech-Gitter Vortrag zum Seminar Gitter und Codes Nils Malte Pawelzik.5.5 Inhaltsverzeichnis Designs 3. Elementare Eigenschaften eines Designs und die Eindeutigkeit eines - (, 5,

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

KAPITEL 0. Einführung

KAPITEL 0. Einführung Lineare Algebra KAPITEL 0 Einführung Dieses Skript zur Vorlesung Lineare Algebra an der Goethe Universität Frankfurt im Sommersemester 2011 befindet sich noch in der Entstehung und wird fortlaufend aktualisiert

Mehr

Qualitative Datenanalyse

Qualitative Datenanalyse Qualitative Datenanalyse Prof. Dr. Stefan E. Schmidt Francesco Kriegel TU Dresden Fakultät Mathematik Institut Algebra SS 2007 28. September 2008 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Formale Begriffsanalyse 1

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 32 Andreas Gathmann 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

Quantenautomaten und das Cut-Point-Theorem für beschränkte erkennbare Potenzreihen

Quantenautomaten und das Cut-Point-Theorem für beschränkte erkennbare Potenzreihen Universität Leipzig Fakultät für Mathematik und Informatik Institut für Informatik Quantenautomaten und das Cut-Point-Theorem für beschränkte erkennbare Potenzreihen Bachelorarbeit Leipzig, September 2009

Mehr

6.2 Perfekte Sicherheit

6.2 Perfekte Sicherheit 04 6.2 Perfekte Sicherheit Beweis. H(B AC) + H(A C) = H(ABC) H(AC) + H(AC) H(C) Wegen gilt Einsetzen in die Definition gibt = H(AB C). H(A BC) = H(AB C) H(B C). I(A; B C) = H(A C) H(AB C) + H(B C). Da

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN. Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik Institut für Algebra

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN. Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik Institut für Algebra TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik Institut für Algebra Halbgruppen binärer Relationen auf einer 3-elementigen Menge Arbeit im Rahmen des

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 7 Lineare Programmierung II 1 Lineare Programme Lineares Programm: Lineare Zielfunktion Lineare Nebenbedingungen (Gleichungen oder Ungleichungen) Spezialfall der konvexen Optimierung

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

1 Motiviation 2 1.1 Die Thompson Untergruppe... 2

1 Motiviation 2 1.1 Die Thompson Untergruppe... 2 Inhaltsverzeichnis 1 Motiviation 2 1.1 Die Thompson Untergruppe................... 2 2 Lineare Algebra 6 2.1 Der duale Vektorraum V.................... 7 2.2 Erweiterungen des Grundkörpers................

Mehr

Lösungen zu Kapitel 7

Lösungen zu Kapitel 7 Lösungen zu Kapitel 7 Lösung zu Aufgabe 1: Nach Definition 7.1 ist eine Verknüpfung auf der Menge H durch eine Abbildung : H H H definiert. Gilt H = {a 1,..., a m }, so wird eine Verknüpfung auch vollständig

Mehr

2.1 Codes: einige Grundbegriffe

2.1 Codes: einige Grundbegriffe Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 2. Mai 2009 51 2.1 Codes: einige Grundbegriffe Wir stellen die wichtigsten Grundbegriffe für Codes über dem Alphabet F q, also über einem endlichen Körper mit q Elementen

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Die Cantor-Funktion. Stephan Welz

Die Cantor-Funktion. Stephan Welz Die Cantor-Funktion Stephan Welz Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser

Mehr

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Wintersemester 2012/2013 Universität Bayreuth Michael Stoll Inhaltsverzeichnis 1. Wiederholung: Gruppen, Ringe, Körper 2 2. Teilbarkeitslehre

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

GNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor

GNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor GNS-Konstruktion und normale Zustände 1 Rückblick Wir betrachten von-neumann-algebren M B(H), d.h. Unteralgebren mit 1 H M, die in der schwachen Operatortopologie (und damit in jeder der anderen) abgeschlossen

Mehr

Diplomarbeit: FGC-Ringe und der Satz über Geschachtelte Basen

Diplomarbeit: FGC-Ringe und der Satz über Geschachtelte Basen Diplomarbeit: FGC-Ringe und der Satz über Geschachtelte Basen Nicole Hülsmann Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 Notationen 5 1 FGC-Ringe 6 1.1 Grundlagen............................ 6 1.2

Mehr

Lineare Algebra I & II. Gert-Martin Greuel Universität Kaiserslautern Fachbereich Mathematik

Lineare Algebra I & II. Gert-Martin Greuel Universität Kaiserslautern Fachbereich Mathematik Lineare Algebra I & II Gert-Martin Greuel Universität Kaiserslautern Fachbereich Mathematik Ausarbeitung der je vierstündigen Vorlesung im Wintersemester 1999/2000 und Sommersemester 2000 durch Thomas

Mehr

Fehlerkorrigierende Codes

Fehlerkorrigierende Codes Fehlerkorrigierende Codes SS 2013 Gerhard Dorfer 2 Inhaltsverzeichnis 1 Fehlerkorrigierende Codes 4 1.1 Einführende Beispiele................................. 4 1.2 Mathematische Grundlagen..............................

Mehr

Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik P E T R I N E T Z E. Vorlesungsskript

Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik P E T R I N E T Z E. Vorlesungsskript Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik P E T R I N E T Z E Vorlesungsskript Magdeburg, Oktober 2008 Januar 2009 Vorwort Petri-Netze gehören zu den meist

Mehr

Algebra und Zahlentheorie Wintersemester 2013/14

Algebra und Zahlentheorie Wintersemester 2013/14 Algebra und Zahlentheorie Wintersemester 2013/14 Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter Fassung vom 8. Februar 2014 Dies ist ein Vorlesungsskript und kein Lehrbuch. Mit Fehlern muss gerechnet werden! Math.

Mehr

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die

Mehr

Lineare Algebra für Informatiker TUM Sommersemester 2011 Dozent: Christian Pötzsche

Lineare Algebra für Informatiker TUM Sommersemester 2011 Dozent: Christian Pötzsche Lineare Algebra für Informatiker TUM Sommersemester 20 Dozent: Christian Pötzsche Janosch Maier 3. Juli 20 Herzlichen Dank an Lucas Westermann, Florian Scheibner (https://github. com/lswest/lamitschrift)

Mehr

Analysis I III. Vorlesungsskriptum WS 2005/06 WS 2006/07. Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum

Analysis I III. Vorlesungsskriptum WS 2005/06 WS 2006/07. Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum Analysis I III Vorlesungsskriptum WS 2005/06 WS 2006/07 R. Verfürth Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum Inhaltsverzeichnis Kapitel I. Aufbau des Zahlsystems 5 I.1. Die natürlichen Zahlen

Mehr

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) Wie kann man beweisen, dass (H, )

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

11 Normalformen von Matrizen

11 Normalformen von Matrizen 11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen

Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen Vorlesungsskript 2009/205 Klaus Wirthmüller http://www.mathematik.uni-kl.de/ wirthm/de/mfi.html K. Wirthmüller Mathematik für Informatiker: Algebraische

Mehr

Galerkin-Diskretisierung von Eigenwertproblemen für partielle Differentialgleichungen

Galerkin-Diskretisierung von Eigenwertproblemen für partielle Differentialgleichungen Galerkin-Diskretisierung von Eigenwertproblemen für partielle Differentialgleichungen Bachelorarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Bachelor of Science an der Technischen Universität Berlin Verfasser:

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Codierungstheorie, Vorlesungsskript

Codierungstheorie, Vorlesungsskript Codierungstheorie, Vorlesungsskript Irene I. Bouw Sommersemester 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Codes 2 1.1 Einführung.............................. 2 1.2 Eigenschaften linearer Codes....................

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Mathematische Grundlagen

Mathematische Grundlagen Luise Unger In LATEX gesetzt von Luise Unger Mathematische Grundlagen Kurseinheit 1: Grundlagen 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 77 7 7 777 7 77 7777777 77777 7 77 7 7 7 7 7 7 77777777777

Mehr