Die Funktion f X;Y (x; y) := Pr[X = x; Y = y] heit gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X und Y. Aus der gemeinsamen Dichte f X;Y kann man ableiten

Transkript

1 Die Funktion f ;Y (x; y) := Pr[ = x; Y = y] heit gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen und Y. Aus der gemeinsamen Dichte f ;Y kann man ableiten f (x) = y2w Y f ;Y (x; y) bzw. f Y (y) = Die Funktionen f und f Y nennt man Randdichten. x2w f ;Y (x; y) : DWT 99/460

2 Die Ereignisse Y = y\ bilden eine Partitionierung des Wahrscheinlichkeitsraumes, und " es gilt daher Pr[ = x] = Pr[ = x; Y = y] = f (x) : y2w Y Die Dichten der einzelnen Zufallsvariablen entsprechen also genau den Randdichten. Fur zwei Zufallsvariablen deniert man die gemeinsame Verteilung F ;Y (x; y) = Pr[ x; Y y] = Pr[f!; (!) x; Y (!) yg] = x 0 x y 0 y f ;Y (x 0 ; y 0 ) : DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 100/460

3 Die Randverteilung ergibt sich gema F (x) = sowie F Y (y) = x 0 x y 0 y f (x 0 ) = f Y (y 0 ) = x 0 x y 0 y y2w Y f ;Y (x 0 ; y) x2w f ;Y (x; y 0 ) : DWT 101/460

4 4.3.1 Unabhangigkeit von Zufallsvariablen Denition 45 Die Zufallsvariablen 1 ; : : : ; n heien unabhangig, wenn fur alle (x 1 ; : : : ; x n ) 2 W 1 : : : W n gilt Pr[ 1 = x 1 ; : : : ; n = x n ] = Pr[ 1 = x 1 ] : : : Pr[ n = x n ] : Alternativ: f 1 ;:::; n (x 1 ; : : : ; x n ) = f 1 (x 1 ) : : : f n (x n ) : Bei unabhangigen Zufallsvariablen ist also die gemeinsame Dichte gleich dem Produkt der Randdichten. Ebenso gilt F 1 ;:::; n (x 1 ; : : : ; x n ) = F 1 (x 1 ) : : : F n (x n ) : DWT 102/460

5 Satz 46 Seien 1 ; : : : ; n unabhangige Zufallsvariablen und S 1 ; : : : ; S n beliebige Mengen mit S i W i. Dann sind die Ereignisse " 1 2 S 1 \,..., " n 2 S n \ unabhangig. Beweis: Pr[ 1 2 S 1 ; : : : ; n 2 S n ] = x 1 2S 1 : : : Unabh. = = x 1 2S 1 : : : x n2s n Pr[ 1 = x 1 ; : : : ; n = x n ] 1 x n2s n Pr[ 1 = x 1 ] : : : Pr[ n = x n ] Pr[ 1 = x 1 ] A : : : x 1 2S 1 = Pr[ 1 2 S 1 ] : : : Pr[ n 2 S n ] : x n2s n Pr[ n = x n ]! DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 103/460

6 Satz 47 Seien f 1 ; : : : ; f n reellwertige Funktionen (f i : R! R fur i = 1; : : : ; n). Wenn die Zufallsvariablen 1 ; : : : ; n unabhangig sind, dann gilt dies auch fur f 1 ( 1 ); : : : ; f n ( n ). Beweis: Sei z i 2 W fi ( i ) fur i = 1; : : : ; n und S i = fx; f i (x) = z i g. Pr[f 1 ( 1 ) = z 1 ; : : : ; f n ( n ) = z n ] = Pr[ 1 2 S 1 ; : : : ; n 2 S n ] Unabh. = Pr[ 1 2 S 1 ] : : : Pr[ n 2 S n ] = Pr[f 1 ( 1 ) = z 1 ] : : : Pr[f n ( n ) = z n ] : DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 104/460

7 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Wurfel werde zweimal geworfen. bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := + Y die Summe der gewurfelten Augenzahlen. Fur Z gilt z.b.: Pr[Z = 1] = Pr[;] = 0, Pr[Z = 4] = Pr[f(1; 3); (2; 2); (3; 1)g] = DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 105/460

8 Fur die Verteilung der Summe zweier unabhangiger Zufallsvariablen gilt der folgende Satz: Satz 49 Fur zwei unabhangige Zufallsvariablen und Y sei Z := + Y. Es gilt f Z (z) = x2w f (x) f Y (z x) : DWT 106/460

9 Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass f Z (z) = Pr[Z = z] = = = x2w Pr[ + Y = z j = x] Pr[ = x] x2w Pr[Y = z x] Pr[ = x] x2w f (x) f Y (z x) : Den Ausdruck P x2w f (x) f Y (z x) aus Satz 49 nennt man in Analogie zu den entsprechenden Begrien bei Potenzreihen auch Faltung oder Konvolution der Dichten f und f Y. DWT 107/460

10 Beispiel (Forts.) Berechne die Dichte von Z = + Y : Pr[Z = z] = = x2w Pr[ = x] Pr[Y = z x] 6 x=1 1 Pr[Y = z x] = 6 minf6;z 1g x=maxf1;z 6g 1 36 : Fur 2 z 7 erhalten wir Und fur 7 < z 12: Pr[Z = z] = z 1 i= = z 1 36 : Pr[Z = z] = 13 z 36 : DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 108/460

11 4.3.3 Momente zusammengesetzter Zufallsvariablen Satz 50 (Linearitat des Erwartungswerts) Fur Zufallsvariablen 1 ; : : : ; n und := a a n n mit a 1 ; : : : ; a n 2 R gilt E[] = a 1 E[ 1 ] + + a n E[ n ] : Beweis: E[] =!2 = a 1 (a 1 1 (!) + : : : + a n n (!)) Pr[!]! 1 (!) Pr[!] + + a n!2!2 = a 1 E[ 1 ] + : : : + a n E[ n ] : n (!) Pr[!]! DWT 109/460

12 Beispiel 51 n betrunkene Seeleute torkeln nach dem Landgang in ihre Kojen. Sie haben vollig die Orientierung verloren, weshalb wir annehmen, dass jede Zuordnung der Seeleute zu den n Betten gleich wahrscheinlich ist (genau ein Seemann pro Bett). Wie viele Seeleute liegen im Mittel im richtigen Bett? Die Anzahl der Seeleute im richtigen Bett zahlen wir mit der Zufallsvariablen, die als Summe der Zufallsvariablen 1 ; : : : ; n dargestellt wird, wobei ( 1 falls Seemann i in seinem Bett liegt, i := 0 sonst. Oenbar gilt := n. DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 110/460

13 Beispiel 51 Fur die Variablen i erhalten wir Pr[ i = 1] = 1 n, da jedes Bett von Seemann i mit gleicher Wahrscheinlichkeit aufgesucht wird. Daraus folgt und somit E[ i ] = 0 Pr[ i = 0] + 1 Pr[ i = 1] = 1 n ; E[] = n i=1 E[ i ] = n i=1 1 n = 1 : Im Mittel hat also nur ein Seemann sein eigenes Bett aufgesucht. DWT 110/460

14 Satz 52 (Multiplikativitat des Erwartungswerts) Fur unabhangige Zufallsvariablen 1 ; : : : ; n gilt E[ 1 n ] = E[ 1 ] E[ n ] : Beweis: Wir beweisen den Fall n = 2. Der allgemeine Fall ist analog. E[ Y ] = xy Pr[ = x; Y = y] x2w y2w Y Unabh: = = xy Pr[ = x] Pr[Y = y] x2w y2w Y x2w x Pr[ = x] = E[] E[Y ] : y2w Y y Pr[Y = y] DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 111/460

15 Dass fur die Gultigkeit von Satz 52 die Unabhangigkeit der Zufallsvariablen wirklich notwendig ist, sieht man beispielsweise am Fall Y = fur eine Zufallsvariable mit einer von Null verschiedenen Varianz. Dann gilt E[ Y ] = E[ 2 ] 6= (E[]) 2 = E[] E[Y ] : DWT 112/460

16 Denition 53 Zu einem Ereignis A heit die Zufallsvariable ( 1 falls A eintritt; I A := 0 sonst Indikatorvariable des Ereignisses A. Beobachtung: Fur die Indikatorvariable I A gilt nach Denition Ebenso gilt E[I A ] = 1 Pr[A] + 0 Pr[ A] = Pr[A] : E[I A1 : : : I An ] = Pr[A 1 \ : : : \ A n ]; da das Produkt von Indikatorvariablen genau dann gleich 1 ist, wenn alle entsprechenden Ereignisse eintreten. DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 113/460

17 Beispiel (Forts.) Wir betrachten wieder das Beispiel der total betrunkenen Matrosen. Sei A i das Ereignis, dass der i-te Seemann im richtigen Bett liegt. Mit der Notation der Indikatorvariablen sei i = I Ai. Dann gilt fur beliebige i; j 2 f1; : : : ; ng, i 6= j: E[ i j ] = E[I Ai I Aj ] = Pr[A i \ A j ] = 1 n(n 1) ; sowie E[ 2 i ] = 02 Pr[ A i ] Pr[A i ] = Pr[A i ] = 1=n: DWT 114/460

18 Beispiel (Forts.) Daraus folgt wegen der Linearitat des Erwartungswerts fur = n : E[ 2 ] = E 2 4 n i=1 2 i + Fur die Varianz erhalten wir somit den Wert 3 n i j 5 i=1 j6=i = n 1 n + n(n 1) 1 n(n 1) = 2 : Var[] = E[ 2 ] E[] 2 = 2 1 = 1: DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 115/460

19 Einfacher Beweis fur Satz 9 mit Hilfe von Indikatorvariablen: Zur Erinnerung: Satz 9 (Siebformel, Prinzip der Inklusion/Exklusion) Fur Ereignisse A 1 ; : : : ; A n (n 2) gilt: Pr " n[ i=1 A i # = n Pr[A i ] i=1 1i 1 <i 2 n + ( 1) l 1 1i 1 <:::<i l n + ( 1) n 1 Pr[A 1 \ : : : \ A n ] : Pr[A i1 \ A i2 ] + : : : Pr[A i1 \ : : : \ A il ] + : : : DWT 116/460

20 Beweis: Zur Erinnerung: Zu Ereignissen A 1 ; : : : ; A n wollen wir die Wahrscheinlichkeit Pr[B] des Ereignisses B := A 1 [ : : : [ A n ermitteln. Wir betrachten die Indikatorvariablen I i := I Ai der Ereignisse A 1 ; : : : ; A n und die Indikatorvariable Q IB des Ereignisses B. n Das Produkt i=1 (1 I i) ist genau dann Q gleich 1, wenn I 1 = : : : = I n = 0, d.h. wenn B nicht eintritt. Somit gilt IB = n i=1 (1 I i) und wir erhalten: also I B = 1 1in I i + 1i 1 <i 2 n I i1 I i2 + : : : + ( 1) n I 1 : : : I n ; I B = 1 I B = 1in I i 1i 1 <i 2 n I i1 I i2 + : : : + ( 1) n 1 I 1 : : : I n : DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 117/460

21 Beweis: Wegen der Eigenschaften von Indikatorvariablen gilt Pr[B] = 1 Pr[ B] = 1 E[I B ]: Mit Hilfe von Satz 50 " verteilen\ wir den Erwartungswert auf die einzelnen Produkte von Indikatorvariablen. Wenn wir nun E[I i ] durch Pr[A i ] und allgemein E[I i1 : : : I ik ] durch Pr[A i1 \ : : : \ A ik ] ersetzen, haben wir Satz 9 (dieses Mal vollstandig) bewiesen. DWT 117/460

22 Satz 54 Fur unabhangige Zufallsvariablen 1 ; : : : ; n und := 1 + : : : + n gilt Var[] = Var[ 1 ] + : : : + Var[ n ] : Beweis: Wir betrachten nur den Fall n = 2 mit den Zufallsvariablen und Y. E[( + Y ) 2 ] = E[ 2 + 2Y + Y 2 ] = E[ 2 ] + 2E[]E[Y ] + E[Y 2 ] E[ + Y ] 2 = (E[] + E[Y ]) 2 = E[] 2 + 2E[]E[Y ] + E[Y ] 2 Wir ziehen die zweite Gleichung von der ersten ab und erhalten E[( + Y ) 2 ] E[ + Y ] 2 = E[ 2 ] E[] 2 + E[Y 2 ] E[Y ] 2 : Mit Hilfe von Satz 39 folgt die Behauptung. DWT 118/460

23 Fur abhangige Zufallsvariablen 1 ; : : : ; n gilt Satz 54 im Allgemeinen nicht. Als Beispiel funktioniert wiederum der Fall = Y : Var[ + Y ] = 0 6= 2 Var[] = Var[] + Var[Y ] : DWT 4.3 Mehrere Zufallsvariablen 119/460

24 5. Wichtige diskrete Verteilungen Wir diskutieren nun einige wichtige diskrete Verteilungen. Bei diesen Verteilungen handelt es sich um Funktionen, die von gewissen Parametern abhangen. Eigentlich betrachten wir also immer eine ganze Familie von ahnlichen Verteilungen. DWT 120/460

25 5.1 Bernoulli-Verteilung Eine Zufallsvariable mit W = f0; 1g und der Dichte ( p fur x = 1; f (x) = 1 p fur x = 0: heit Bernoulli-verteilt. Den Parameter p nennen wir Erfolgswahrscheinlichkeit. Eine solche Verteilung erhalt man z.b. bei einer einzelnen Indikatorvariablen. Es gilt mit q := 1 p E[] = p und Var[] = pq; wegen E[ 2 ] = p und Var[] = E[ 2 ] E[] 2 = p p 2. DWT 121/460

26 Der Name der Bernoulli-Verteilung geht zuruck auf den Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654{1705). Wie viele andere Mathematiker seiner Zeit hatte auch Bernoulli nach dem Wunsch seines Vaters ursprunglich Theologe werden sollen. Sein Werk ars conjectandi stellt eine der ersten Arbeiten dar, die sich mit dem Teil der Mathematik beschaftigen, den wir heute als Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnen. DWT 5.1 Bernoulli-Verteilung 122/460

27 5.2 Binomialverteilung Eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable entspricht der Verteilung einer Indikatorvariablen. Haug betrachtet man jedoch Summen von Indikatorvariablen. Denition 55 Sei := 1 + : : : + n als Summe von n unabhangigen, Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit p deniert. Dann heit binomialverteilt mit den Parametern n und p. In Zeichen schreiben wir Bin(n; p) : DWT 123/460

28 Es gilt W = f0; : : : ; ng. Die Binomialverteilung besitzt die Dichte n f (x) := b(x; n; p) = p x q n x x mit q := 1 p. Da die Binomialverteilung eine sehr wichtige Rolle spielt, fuhren wir fur die Dichtefunktion die Abkurzung b(x; n; p) ein. Mit den Satzen uber Erwartungswert und Varianz von Summen unabhangiger Zufallsvariablen erhalten wir sofort E[] = np und Var[] = npq : DWT 5.2 Binomialverteilung 124/460

29 0,4 Ü ½¼ ¼ ½µ 0,4 Ü ½¼ ¼ µ 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0, , ,4 Ü ½¼ ¼ µ 0,4 Ü ½¼ ¼ µ 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0, , Dichte der Binomialverteilung DWT 5.2 Binomialverteilung 125/460

30 Satz 56 Wenn Bin(n x ; p) und Y Bin(n y ; p) unabhangig sind, dann gilt fur Z := + Y, dass Z Bin(n x + n y ; p). Beweis: Die Aussage folgt sofort, wenn man gema der Denition der Binomialverteilung und Y als Summen von Indikatorvariablen darstellt. Z ist dann oensichtlich wieder eine Summe von unabhangigen Indikatorvariablen. DWT 126/460