3 Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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1 26 3 Wichtige Wahrscheilicheitsverteiluge Wir betrachte zuächst eiige Verteilugsfutioe für Produtexperimete 31 Die Biomialverteilug Wir betrachte ei Zufallsexperimet zum Beispiel das Werfe eier Müze, bei dem ur zwei Ereigisse eitrete öe, ämlich das Ereigis A mit der Wahrscheilicheit p : pa > 0 ud das Ereigis A mit der Wahrscheilicheit pa 1 p > 0 Wir führe das Experimet -mal uter gleiche Bediguge hitereiader durch ud frage, wie groß die Wahrscheilicheit ist, dass dabei -mal das Ereigis A eitritt Es sei S die Zufallsvariable, die zählt, wie oft das Ereigis A eitritt Eie vo isgesamt Möglicheite vgl Abschitt 12 für das -malige Auftrete des Ereigisses A wäre zb folgede Reihefolge Damit erhalte wir AA A }{{} mal ps A } {{ A} mal p 1 p Bezeiche wir das Ereigis A mit 1 ud das Ereigis A mit 0, so ist der Grudraum für das -stufige Zufallsexperimet die Mege mit Ω {0, 1} {ω 1,, ω ω i {0, 1}, 1 i } pω p 1 p, we die Azahl der Eise i ω ist Ei Experimet dieser Form et ma ei Beroulli-Experimet ud p heißt Beroulli-Verteilug Das Ereigis, dass isgesamt -mal das Ereigis A eitritt, lässt sich i der Form E {ω Ω ω i } beschreibe Da ist pe Defiitio 31 i1 p 1 p Eie disrete Zufallsvariable X heißt biomial-verteilt mit de Parameter ud p, we für 0 gilt

2 27 px p 1 p : B,p Wir sage urz: X ist B, p- verteilt Beachte: 1 [p+1 p] Satz 32 Es ist für 0 also für 0 m B,p B,1 p, px m 1 px m 1 0 p 1 p Wir lasse us dabei davo leite, dass X bei -maliger Durchführug des Zufallexperimetes die Azahl des Auftretes des Ereigisses A agibt ud die Zufallsvariable X das Auftrete des Ereigisses A zählt Daraus ergibt sich da sofort, dass {ω Ω Xω } {ω Ω Xω } gilt Beweis: Die erste Behauptug folgt aus Die zweite Behauptug ergibt sich da aus m m px m B,p B,1 p 0 0 B,1 p l px m 1 px < m l m Beispiel 33 Aus eier Ure mit geau 30 Kugel, ämlich 12 weiße ud 18 rote werde blid acheiader ud mit Zurüclege geau 50 Kugel etomme Wir bereche die Wahrscheilicheit dafür, dass vo de Kugel höchstes die Hälfte rot ist Mit X bezeiche wir die Zufallsvariable die die Azahl der rote uter de etommee Kugel agibt Da ist X biomial-verteilt mit 50 ud p Wir müsse 30 px 25 bereche, dh px px Diese Wert öe wir mit dem Tascherecher bereche: Es gibt aber für die Bimomial-Verteilug Tabelle, aus dee ma die Werte für die sog umulative Wahrscheilicheite i Abhägigeit vo p ud ablese a Diese Tabelle beihalte aber ur Werte für 0 < p 05 ud i der Regel 10, 20, 50, 100 Wir erhalte i userem Beispiel ach Satz 32 wege 1 p 04 ud m 1 24: px 25 1 px Um die Biomial-Tabelle zu erstelle, verwede wir eie Reursiosformel Es gilt für 0 < p < 1 ud 1

3 28 B,p p 1 p + 1p 1 p + 1p 1 p p 1 1 p +1 1 B,p 1 Satz 34 Ist X B, p verteilt, so gilt für de Erwartugswert EX p ud für die Variaz V arx p1 p Beweis: Es ist ach Defiitio EX 0 p p Wege ist ferer p 1 p p 1 p 1 p 1 1 p p 1 p 1 p V arx p 0 2 p 1 p 1 1 p 1 p + p 1 p p p 1 p + 2 p 2 p 1 p 1 0 1p 2 + p 2 2 p p 2 p1 p 32 Die geometrische Verteilug ud die egative Biomial-Verteilug Defiitio 35 Die disrete Zufallsvariable X heißt geometrisch-verteilt mit dem Parameter 0 < p < 1, we für N 0 gilt px 1 p p Wir sage urz: X ist Gp- verteilt

4 Satz 36 Ist X Gp verteilt, so gilt für de Erwartugswert EX 1 p 1 1 ud für die p p Variaz V arx 1 p p 2 Beweis: Im Gegesatz zu Beispiel 29 gibt hier die Zufallsvariable die Azahl der Misserfolge vor dem erste Erfolg a, währed die Zufallsvariable i Beispiel 29 agibt, wa das erste Mal ei Erfolg eigetrete ist; deshalb ist der Erwartugswert hier um 1 leier als i Beispiel 29 Für die Variaz ergibt sich wege V arx EXX 1 + EX EX 2 durch zweimalige Differetiatio der geometrische Reihe EXX p p ud damit Beispiel 37 V arx 0 p 1 p p 2 2 p 1 p p2 1 1 p 3 p 2 21 p2 p p p 1 p p 2 1 p p 2 Wir betrachte Beroulli-Experimete mit Erfolgswahrscheilicheit p ud stelle die Frage ach der Wahrscheilicheit dafür, dass das -te Experimet das r-te erfolgreiche Experimet ist ud dass geau Misserfolge dem r-te Erfolg voragegage sid Es ist also r + Ei solches Ereigis öe wir durch ei -Tupel ω 1,, ω aus Nulle ud r Eise beschreibe, wobei die letzte Kompoete eie 1 ist Es gibt isgesamt 1 +r 1 Möglicheite Nulle auf die erste 1 Kompoete zu verteile Jedes solche -Tupel hat die Wahrscheilicheit p r 1 p Die gesuchte Wahrscheilicheit ist damit + r 1 p r q mit q 1 p Defiitio 38 Die disrete Zufallsvariable X besitzt eie egative Biomialverteilug mit de Parameter r N ud 0 < p < 1, we für N 0 gilt + r 1 px p r 1 p Wir sage urz: X ist Nbr, p-verteilt 29

5 30 Bemeruge 39 Defiiert ma für egative gaze Zahle m ud N 0 de Biomialoeffiziete durch m m m 1 m + 1 :,! so gilt für de Biomialoeffiziete aus Defiitio 38: + r 1 + r 1 + r 1 + 1! r r 1 r + 1 1! ud damit + r 1 p r 1 p p r r 1 r! r 1 r 1 1 p p r r 1 p Die uedliche Reihe stellt die Biomialreihe mit Expoet r dar; also gilt r 1 p 1 1 p r 1 p r 0 Damit erfüllt p die Kriterie a eie Wahrscheilicheitsverteilug 0 Satz 310 Ist die Zufallsvariable X N br, p-verteilt, so gilt EX r 1 p p Beweis: Nach Defiitio gilt: ud EX p r 1 pr 1 + r p r 1 pr 0 ud etspreched woraus wege folgt V arx EXX 1 V arx r 1 p p 2 + r 1 1 p 1 r 1 p pr 1 pr p r+1 rr + 11 p2 p 2, V arx EXX 1 + EX EX 2 rr + 11 p2 r1 p + r2 1 p 2 p 2 p p 2 r 1 p p 2

6 Beispiel 311 I Verallgemeierug vo Beispiel 37 frage wir ach der Wahrscheilicheit, dass das r-te erfolgreiche Experimet im j-te Versuch mit j r auftritt Also müsse uter de erste j 1 Experimete r 1 Erfolge ud j r Misserfolge aufgetrete sei Das j-te Experimet muss wieder erfolgreich sei Wir idetifiziere de Erfolg wieder mit der Zahl 1 ud de Misserfolg mit der 0 Also öe wir die Frage beatworte, we wir die Wahrscheilicheit für das Auftrete bestimmter Muster aus Nulle ud Eise bereche Da jedes j-tupel aus j r Nulle ud r Eise mit der Wahrscheilicheit 1 p j r p r auftritt ud da es j 1 r 1 Möglicheite gibt, ei j 1-Tupel mit r 1 Eise ud j r Nulle zu bilde, erhalte wir als Wahrscheilicheit p r,j für de r-te Erfolg im j-te Experimet j 1 p r,j 1 p j r p r für j r, r + 1, r 1 Mit der Substitutio j r erhalte wir + r 1 + r 1 p r,r+ 1 p j r p r 1 p p r für 0, 1, 2 r 1 Dies ist die Wahrscheilicheit dafür, dass im r + -te Experimet der r-te Erfolg eitritt 33 Die hypergeometrische Verteilug Beispiel 312 Gegebe sid N verschiedee Objete, daruter M mit der Eigeschaft A; es wird eie Stichprobe vom Umfag ohe Zurüclege gezoge Mit welcher Wahrscheilicheit sid daruter geau m Stüc mit der Eigeschaft A? Nach Abschitt 12 gibt es N Stichprobe vom Umfag ; da müsse m Elemete der Stichprobe die Eigeschaft A besitze ud m die Eigeschaft A; dafür gibt es M m bzw N M m Möglicheite Also ist die Wahrscheilicheit dafür, dass i der Stichprobe m Elemete die Eigeschaft A besitze px m M N M m m N 31 Defiitio 313 Eie disrete Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch-verteilt mit de Parameter N, M ud, we für 0 m gilt px m Wir schreibe urz: X ist HN, M, -verteilt M N M m m N

7 32 Bemeruge 314 a Dass die Summe der Wahrscheilicheite gleich 1 ist, ergibt sich aus der sog Vadermodesche Faltugsformel m0 M m N M m N b Verwede wir die Schreibweise aus Abschitt 12, so lässt sich die Wahrscheilicheit aus Defiitio 313 auch folgedermaße darstelle: px m M m N M m m N Satz 315 Ist X HN, M, -verteilt, so gilt für de Erwartugswert EX M N Variaz V arx M 1 M N N N N 1 ud für die Beweis: Es ist M N M N EX m m0 m 1 m1 1 0 m 1 1 M m N M m N M 1 m 1 N 1 M 1 1 m 1 N 1 1 M 1 N 1 M 1 1 N 1 1 M N Wege V arx EXX 1 + EX EX 2 folgt für die Variaz MM 1 V arx 1 NN 1 + M N M 2 2 N 2 M N 1 M N N N 1 Bemeruge 316 Die Formel für die Variaz sieht übersichtlicher aus, we ma die Wahrscheilicheit, im erste Zug ei Elemet mit der Eigeschaft A zu ziehe, mit p : M bezeichet; da N erhalte wir V arx p1 p N N 1 Ma a sich überlege, dass die Wahrscheilicheit, im -te Zug ei Elemet mit der Eigeschaft A zu ziehe, ebefalls p : M N ist

8 We wir für die Biomialverteilug als Modell das Ziehe vo Kugel aus eier Ure mit Zurüclege wähle ud als Modell für die hypergeometrische Verteilug das Ziehe vo Kugel aus eier Ure ohe Zurüclege, so liefert der Vergleich der Variaze V arx 1 p1 p ud V arx 2 p1 p 1 1, N 1 also beim zweite Modell eie leiere Variaz als beim erste Modell 34 Die Poisso-Verteilug Defiitio 317 Eie disrete Zufallsvariable X heißt Poisso-verteilt mit dem Parameter λ > 0, we für N 0 gilt: px λ! e λ Wir sage urz: X ist P λ verteilt 33 Satz 318 Ist X P λ-verteilt, so gilt für de Erwartugswert bzw die Variaz EX 0 ud wege V arx λ! e λ e λ λ 2 λ 0! e λ e λ 2 1 λ 2! + 1 λ 1! e λ λ λ 1! 2λ e λ λ 2 e λ + λe λ 2λ 2 e λ + λ 2 e λ λ 1 1 λ 1 1! λ λ 1! + λ2 0 λ! Bemeruge 319 Für große ud leie p gibt es eie Möglicheit, die B,p Verteilug durch die Poisso- Verteilug zu ersetze Dazu betrachte wir mit µ p, dh p µ, folgede Beziehug: B,p p 1 p ! µ µ µ! 1 1 µ µ µ µ 1 µ 1 µ 1 µ µ! 1 µ

9 34 Für overgiere die erste Fatore gege 1, der letzte Fator gege e µ ; daraus ergibt sich die Poisso-Näherug µ µ B,p e! Faustregel: Im Allgemeie a ma die Poisso-Näherug für p 01 ud 100 gebrauche Beispiel 320 I eie Teig werde 250 Rosie geetet ud da daraus 200 Hörche gebace Wir wähle ei Hörche beliebig aus Mit welcher Wahrscheilicheit ethält es geau 2 Rosie? Wir gehe davo aus, dass für jede der 250 Rosie die gleiche Wahrscheilicheit besteht, i das ausgewählte Hörche zu gelage Das Ereigis A tritt ei, we sich die Rosie Nr i im ausgewählte Hörche befidet Da lässt sich das Geschehe durch eie Biomial-Verteilug mit 250 ud p 1 Wahrscheilicheit ist B 250, verwede wir die Poisso-Näherug, so ergibt sich 35 Die Normal-Verteilug Defiitio B 250, 1 2 e 200 2! ; beschreibe Die gesuchte Eie stetige Zufallsvariable heißt ormal-verteilt mit de Parameter µ ud σ, we die Dichtefutio folgede Gestalt hat: fx 1 σ 2π exp 1 x µ 2 2 σ Wir sage urz: X ist Nµ, σ 2 -verteilt Die Dichtefutio aus Beispiel 26 ergibt sich mit σ 1 ud µ 0 Satz 322 Ist X Nµ, σ 2 -verteilt, so erhalte wir mit der Substitutio x µ σ 1 EX σ x exp 1 x µ 2 dx 2π 2 σ 1 σ σt + µ exp 1 2π 2 t2 σdt 1 σ 2π σµ 1 exp 2 t2 dt µ t

10 35 ud V arx 1 σ 2π 1 σ 2π 2 π 0 x µ 2 exp 1 x µ 2 dx 2 σ σ 2 t 2 exp 1 2 t2 σ dt σ 2 t 2 exp 1 2 t2 dt 2 2 π σ 2 Γ π σ Γ1 2 σ2 σ 2 u exp u du π 0 Bemeruge 323 Ist X N0, 1-verteilt, so bezeichet ma üblicherweise die zugehörige Verteilugsfutio mit φ, dh φx 1 x exp 1 2π 2 t2 dt Die Wahrscheilicheit, dass X Werte im Itervall ]a, b] mit a < b aimmt, ist da pa < X b φb φa Da ma φ icht mit elemetare Futioe darstelle a, gibt es Tabelle, i dee viele Werte vo φ eigetrage sid Um diese Tabelle zu erzeuge, etwicelt ma de Itegrade i eie Potezreihe, itegriert gliedweise ud wertet die etstehede Reihe umerisch aus I de Tabelle sid allerdigs ur Werte φx für x 0 agegebe Wege der Symmetrie der Dichtefutio ergibt sich für z > 0 φ z 1 φz Ist X Nµ, σ 2 -verteilt, so erhalte wir px x 1 x σ exp 1 2π 2 t µ 2 σ dt Die Substitutio t µ σu liefert ud damit x µ px x φ σ b µ a µ pa < X b φ φ σ σ Also a ma mit de Tabelle für die N0, 1-Normalverteilug auch die Verteilugsfutio für die Nµ, σ 2 -Verteilug äherugsweise bereche

11 36 Bemeruge 324 Wir wolle ei paar Bemeruge zur Gewiug der Tabelle für die Normalverteilug mache Ma wählt als Ersatz für de exate Futioswert φx die Näherug ud 1 1 exp x2 a 1 s + a 2 s 2 + a 3 s 3 mit s 1 2π bx b , a , a ud a Da ergibt sich folgede Tabelle x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6915 0,9 1,0 0,8413 1,4 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,9 2,0 0,9772 0,9778 2,4 2,5 0,9938 2,9 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 Beispiel 325 Ei Werstüc soll eie Bohrug erhalte mit eiem Durchmesser vo 50 mm Die Tolerazgreze sid t u 4997 mm ud t o 5004 mm Es sei beat, dass die vo de Bohrautomate erstellte Bohruge Nµ, σ 2 -verteilt sid, wobei µ 50 mm ud σ

12 mm gelte soll Ei Werstüc ist Ausschuss, we der Durchmesser größer als t o ausfällt Ist der Durchmesser leier als t u, so muss eie Nachbohrug durchgeführt werde a Wie groß ist die Wahrscheilicheit, dass die Bohrug sofort qualitätsgerecht ausfällt? b Wie groß ist die Wahrscheilicheit dafür, dass das Werstüc achgebessert werde muss? c Wie groß ist die Ausschusswahrscheilicheit? Um die erste Frage zu beatworte, gilt mit de Bemeruge 323 ud eier Tabelle pt u X t o φ φ φ2 φ φ2 1 φ Also ist bei 91,04 % der Werstüce vo eier qualitätsgerechte Bohrug auszugehe Aalog zur Berechug für Teil a erhalte wir zur Beatwortug vo Teil b: px < t u φ φ Also ist mit eier Wahrscheilicheit vo ugefähr 6,68 % vo eier Nachbesserug auszugehe Für die Ausschusswahrscheilicheit gilt px > t o 1 px t o 1 φ 1 φ Mit eier Wahrscheilicheit vo 2,275 % ist der Durchmesser zu groß Bemerug 326 Häufig ist ma a der Wahrscheilicheit iteressiert, dass die Nµ, σ 2 -verteilte Zufallsvariable Werte i eiem zu µ symmetrische Itervall [µ σ, µ+σ] mit > 0 aimmt Es ist üblich, die Abweichug vo µ i Eiheite vo σ azugebe Deshalb spricht ma vom σ-itervall Wir erhalte aus de Bemeruge 323: pµ σ X µ + σ φ φ 2φ 1 Speziell für 1, 2, 3 ergebe sich folgede Werte pµ 1 σ X µ + 1 σ 2φ , pµ 2 σ X µ + 2 σ 2φ , pµ 3 σ X µ + 3 σ 2φ Also liege ca 68 % der beobachtete Werte bei eier Nµ, σ 2 -verteilte Zufallsvariable zwische µ σ ud µ + σ, ca 95 % liege zwische µ 2σ ud µ + 2σ ud ca 997 % liege zwische µ 3σ ud µ + 3σ