4 Schwankungsintervalle Schwankungsintervalle 4.2

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1 4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Bemerkuge Die bekate Symmetrieeigeschaft Φ(x) = 1 Φ( x) bzw. Φ( x) = 1 Φ(x) für alle x R überträgt sich auf die Quatile N p der Stadardormalverteilug i der Form N p = N 1 p bzw. N 1 p = N p für alle p (0, 1). Üblicherweise sid ur die Quatile für p 1 i Tabelle ethalte. Ma schreibt daher das Schwakugsitervall meist i der Form µ σ N 1 α, µ + σ ] N 1 α. I dieser Gestalt wird (och klarer) deutlich, dass symmetrische Schwakugsitervalle für X ebefalls (!) stets symmetrisch um µ sid. I der Literatur werde astelle der Abkürzug N p für die Quatile der Stadardormalverteilug häufig auch die Abkürzuge z p oder λ p verwedet. Geläufige Sicherheitswahrscheilichkeite sid z.b. 1 α {0.90, 0.95, 0.99}. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 73

2 4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Beispiel: Schwakugsitervall Aufgabestellug: Es gelte Y N(50, 10 ). Zu Y liege eie eifache Stichprobe X1,..., X 5 der Läge = 5 vor. Gesucht ist ei (symmetrisches) Schwakugsitervall für X zur Sicherheitswahrscheilichkeit 1 α = Lösug: Es gilt also µ := E(Y ) = 50, σ := Var(Y ) = 10, = 5 ud α = Zur Berechug des Schwakugsitervalls µ σ N 1 α, µ + σ ] N 1 α beötigt ma also ur och das 1 α/ = Quatil N der Stadardormalverteilug. Dies erhält ma mit geeigeter Software (oder aus geeigete Tabelle) als N = Isgesamt erhält ma also das Schwakugsitervall , ] 1.96 = 46.08, 53.9]. 5 5 Die Ziehug eier Stichproberealisatio führt also mit eier Wahrscheilichkeit vo 95% zu eier Realisatio x vo X im Itervall 46.08, 53.9]. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 74

3 4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Beispiel: Schwakugsitervall (Grafische Darstellug) Im Beispiel: X N (50, 10 5 ) f X (x) X α = α = 0.95 α = 0.05 g u µ σ X µ µ + σ X g o Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 75

4 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle Schwakugsitervalle für X zu gegebeem Erwartugswert µ ud gegebeer Variaz σ vo Y eher theoretisch iteressat. I praktische Aweduge der schließede Statistik: µ (ud evetuell auch σ ) ubekat! Ziel ist es, über die (bereits diskutierte) Parameterpuktschätzug durch X hiaus mit Hilfe der Verteilug vo X eie Itervallschätzug vo µ zu kostruiere, die bereits Iformatio über die Güte der Schätzug ethält. Asatz zur Kostruktio dieser Itervallschätzer ählich zum Asatz bei der Kostruktio vo (symmetrische) Schwakugsitervalle. Idee: Verwede die Ketis der Verteilug vo X (abhägig vom ubekate µ), um zufällige (vo der Stichproberealisatio abhägige) Itervalle zu kostruiere, die de wahre Erwartugswert µ mit eier vorgegebee Wahrscheilichkeit überdecke. Kofidezitervalle icht ur für de Erwartugswert µ eier Verteilug möglich; hier allerdigs Beschräkug auf Kofidezitervalle für µ. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 76

5 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei bekater Variaz 5.1 Kofidezitervalle für µ bei bekater Variaz σ ] Für die (feste!) Schwakugsitervalle µ σ N 1 α, µ + σ N 1 α für X zur Sicherheitswahrscheilichkeit 1 α auf Grudlage der exakte oder äherugsweise verwedete Stadardormalverteilug der Größe X µ gilt ach Kostruktio { P X µ σ N 1 α, µ + σ ]} N 1 α = 1 α. Idee: Auflöse dieser Wahrscheilichkeitsaussage ach µ, das heißt, Suche vo zufällige Itervallgreze µ u < µ o mit der Eigeschaft P {µ µ u, µ o ]} = P {µ u µ µ o }! = 1 α. (bzw. geauer P{µ < µ u }! = α ud P{µ > µ o}! = α ). Solche Itervalle µ u, µ o ] et ma da (zweiseitige) Kofidezitervalle für µ zum Kofideziveau (zur Vertraueswahrscheilichkeit) 1 α. σ Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 77

6 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei bekater Variaz 5.1 Ma erhält { P { P X P µ σ N 1 α, µ + σ ]} N 1 α } { µ σ N 1 α X µ + σ N 1 α X σ N 1 α µ X + σ N 1 α { P { P P X + σ N 1 α µ X σ N 1 α X σ N 1 α µ X + σ N 1 α { µ X σ N 1 α, X + σ N 1 α ud damit das Kofidezitervall X σ N 1 α, X + σ ] N 1 α zum Kofideziveau 1 α für µ. = 1 α = 1 α } = 1 α } = 1 α } = 1 α ]} = 1 α Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 78

7 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei bekater Variaz 5.1 I der resultierede Wahrscheilichkeitsaussage { P X σ N 1 α µ X + σ } N 1 α = 1 α sid die Itervallgreze µ u = X σ N 1 α ud µ o = X + σ N 1 α des Kofidezitervalls zufällig (icht etwa µ!). Ziehug eier Stichproberealisatio liefert also Realisatioe der Itervallgreze ud damit ei kokretes Kofidezitervall, welches de wahre (ubekate) Erwartugswert µ etweder überdeckt oder icht. Die Wahrscheilichkeitsaussage für Kofidezitervalle zum Kofideziveau 1 α ist also so zu verstehe, dass ma bei der Ziehug der Stichprobe mit eier Wahrscheilichkeit vo 1 α ei Stichprobeergebis erhält, welches zu eiem realisierte Kofidezitervall führt, das de wahre Erwartugswert überdeckt. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 79

8 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei bekater Variaz 5.1 Beispiel: Kofidezitervall bei bekatem σ Die Zufallsvariable Y sei ormalverteilt mit ubekatem Erwartugswert ud bekater Variaz σ =. Gesucht: Kofidezitervall für µ zum Kofideziveau 1 α = Als Realisatio x 1,..., x 16 eier eifache Stichprobe X 1,..., X 16 vom Umfag = 16 zu Y liefere die Stichprobeziehug 18.75, 0.37, 18.33, 3.19, 0.66, 18.36, 0.97, 1.48, 1.15, 19.39, 3.0, 0.78, 18.76, 15.57,.5, 19.91, was zur Realisatioe x = vo X führt. Als Realisatio des Kofidezitervalls für µ zum Kofideziveau 1 α = 0.99 erhält ma damit isgesamt x σ N 1 α, x + σ ] N 1 α = , = , 1.47]. ] Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 80

9 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Verteilug vo X bei ubekatem σ Wie ka ma vorgehe, falls die Variaz σ vo Y ubekat ist? Naheliegeder Asatz: Ersetze vo σ durch eie geeigete Schätzfuktio. Erwartugstreue Schätzfuktio für σ bereits bekat: S = 1 1 ( (X i X ) = 1 1 i=1 i=1 X i ) 1 X = (X 1 X ) Ersetze vo σ durch S = S möglich, Verteilug ädert sich aber: Satz 5.1 Seie Y N(µ, σ ), X 1,..., X eie eifache Stichprobe zu Y. Da gilt mit S := S 1 = 1 i=1 (X i X ) = 1 (X X ) X µ t( 1), S wobei t( 1) die t-verteilug mit 1 Freiheitsgrade bezeichet. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 81

10 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Die Familie der t()-verteiluge Die Familie der t()-verteiluge mit > 0 ist eie spezielle Familie stetiger Verteiluge. Der Parameter wird meist Azahl der Freiheitsgrade ( degrees of freedom ) geat. t-verteiluge werde (vor allem i eglischsprachiger Literatur) oft auch als Studet s t distributio bezeichet; Studet war das Pseudoym, uter dem William Gosset die erste Arbeit zur t-verteilug i eglischer Sprache veröffetlichte. t()-verteiluge sid für alle > 0 symmetrisch um 0. Etspreched gilt für p-quatile der t()-verteilug, die wir im Folgedem mit t ;p abkürze, aalog zu Stadardormalverteilugsquatile für alle p (0, 1) t ;p = t ;1 p bzw. t ;1 p = t ;p Für wachsedes ähert sich die t()-verteilug der Stadardormalverteilug a. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 8

11 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Grafische Darstellug eiiger t()-verteiluge für {, 5, 10, 5, 100} f(x) N(0,1) t() t(5) t(10) t(5) t(100) x Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 83

12 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Kostruktio vo Kofidezitervalle für µ bei ubekater Variaz σ = Var(Y ) gaz aalog zur Situatio mit bekater Variaz, lediglich 1 Ersetze vo σ durch S = S = i=1 (X i X ) Ersetze vo N 1 α durch t 1;1 α erforderlich. 1 1 Resultieredes Kofidezitervall: X S t 1;1 α, X + S ] t 1;1 α Beötigte Quatile t 1;1 α köe ählich wie bei der Stadardormalverteilug z.b. mit der Statistik-Software R ausgerechet werde oder aus geeigete Tabelle abgelese werde. Mit R erhält ma z.b. t 15;0.975 durch > qt(0.975,15) 1] Mit zuehmedem werde die Quatile der t()-verteiluge betragsmäßig kleier ud äher sich de Quatile der Stadardormalverteilug a. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 84

13 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Quatile der t-verteiluge: t ;p \p Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 85

14 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Beispiel: Kofidezitervall bei ubekatem σ Die Zufallsvariable Y sei ormalverteilt mit ubekatem Erwartugswert ud ubekater Variaz. Gesucht: Kofidezitervall für µ zum Kofideziveau 1 α = Als Realisatio x 1,..., x 9 eier eifache Stichprobe X 1,..., X 9 vom Umfag = 9 zu Y liefere die Stichprobeziehug 8.1, 30.55, 7.49, 34.79, 30.99, 7.54, 31.46, 3.1, 31.73, was zur Realisatioe x = vo X ud zur Realisatio s =.436 vo S = S führt. Als Realisatio des Kofidezitervalls für µ zum Kofideziveau 1 α = 0.95 erhält ma damit isgesamt x s t 1;1 α, x + s ] t 1;1 α = , ] = 8.67, 3.414]. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 86

15 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Kofidezitervalle, falls Y icht ormalverteilt 1 Ist Y icht ormalverteilt, aber die Variaz σ vo Y bekat, so verwedet ma wie bei der Berechug der Schwakugsitervalle äherugsweise (durch de zetrale Grezwertsatz gerechtfertigt!) die Stadardormalverteilug als Näherug der Verteilug vo X µ σ ud erhält so approximative (äherugsweise) Kofidezitervalle X σ N 1 α, X + σ ] N 1 α zum (Kofidez-)Niveau 1 α. Ist Y icht ormalverteilt ud die Variaz vo Y ubekat, so verwedet ma u aalog als Näherug der Verteilug vo X µ S die t( 1)-Verteilug ud erhält so approximative (äherugsweise) Kofidezitervalle X S t 1;1 α, X + S ] t 1;1 α zum (Kofidez-)Niveau 1 α. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 87

16 5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Spezialfall: Kofidezitervalle für p, falls Y B(1, p) Gilt Y B(1, p) für eie ubekate Parameter p 0, 1], so köe Kofidezitervalle wege p = E(Y ) = µ äherugsweise ebefalls mit Hilfe der Näherug aus Folie 87 bestimmt werde. I der Formel für die Berechug der Kofidezitervalle ersetzt ma üblicherweise X wieder durch die i dieser Situatio geläufigere (gleichbedeutede!) Notatio p. Die (otwedige) Berechug vo S = 1 (X i X ) 1 gestaltet sich i=1 hier besoders eifach. Ma ka zeige, dass S = p) gilt. 1 p(1 Ma erhält so die vo der Stichprobe ur och über p abhägige Darstellug p p(1 p) 1 p(1 p) t 1;1 α, p + t 1;1 α 1 für approximative Kofidezitervalle für p zum Niveau 1 α. Die Güte der Näherug hägt vo ud p ab. Je größer, desto besser; je äher p a 1, desto besser. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 88 ]