= MU 1 MU 2. = p 1 p 2. m = p 1 x 1 + p 2 x 2 16 = 1 x x 1. x 1 = 8

Transkript

1 Aufgabe 1 (6 Punkte) Ein Haushalt mit der Nutzenfunktion u (x 1 ; x ) = p x 1 + p x gibt sein gesamtes Einkommen m = 16 für die beiden Güter mit den Preisen p 1 = 1 und p = 4 aus. Bestimmen Sie das Haushaltsoptimum! Über den Ansatz s 1 x x 1 = 1 p x 1 p x = MU 1 MU! = p 1 p = 1 4 erhält man x = 1 4 x 1: Einsetzen in die Budgetgleichung m = p 1 x 1 + p x 16 = 1 x x 1 und Au ösen ergibt sowie x 1 = 8 x = 1 4 x 1 = = :

2 Aufgabe (10 Punkte) Konsument Igors Präferenzen seien durch folgende Nutzenfunktion u(x 1 ; x ) = maxfx 1 ; 8x g (Maximum!) repräsentiert. (a) Welches der beiden Güterbündel, (0; ) oder (4; 1), präferiert Igor? (b) Zeichnen Sie die Indi erenzkurven zu diesen beiden Bündeln! (Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, welche Punkte auf den Achsen zum Bündel (4; 1) indi erent sind.) (c) Igor hat ein Einkommen von 5 Geldeinheiten. Es gelten die Preise p 1 = p = 1: Zeichnen Sie die Budgetgerade in das Indi erenzkurvendiagramm aus Aufgabenteil (b) ein. Welches Güterbündel wählt Igor im Haushaltsoptimum? (a) Es gilt sowie u(0; ) = maxf 0; 8 g = maxf0; 16g = 16 u(4; 1) = maxf 4; 8 1g = maxf8; 8g = 8: Wegen 16 > 8 zieht Igor das Bündel (0; ) dem Bündel (4; 1) vor. (b) Siehe Abbildung 0.1. Die Indi erenzkurven sind jeweils durch eine getrichelte Linie dargestellt. (c) Die Budgetgerade nden Sie in Abbildung 0.1 als durchgezogene Linie. Ein Blick auf die Nutzenfunktion macht klar, dass Igor bei positiven Preisen nur ein Gut kaufen wird. Bei gleichen Preisen folgt also, dass nur die beiden Bündel (5; 0) und (0; 5) in Frage kommen. Da u(5; 0) = maxf 5; 8 0g = 10 < 40 = maxf 0; 8 5g = u(0; 5); wird Igor das Bündel (0; 5) erwerben.

3 x 5 ( 0,5) 1 ( 0,) ( 4,1) x 1 Abbildung 0.1: Indi erenzkurven und mehr...

4 Aufgabe 3 (8 Punkte) Eine Firma kann in zwei Produktionsstätten, A und B, jeweils dasselbe Gut produzieren. In Produktionsstätte A steht ihr die Kostenfunktion C A (y A ) = 4y A, in Produktionsstätte B die Funktion C B (y B ) = y B zur Verfügung. Bestimmen Sie die Kostenfunktion für das Gesamtunternehmen! (Hinweis: Sie müssen bei y = 4 eine Fallunterscheidung vornehmen!) Zunächst ermitteln wir die Grenzkosten: dc A dy A = 4 dc B dy B = y B Man/frau erkennt, dass die Grenzkosten der ersten vier Einheiten in der Produktionsstätte B kleiner sind als in A: Solange also höchstens 4 Einheiten insgesamt hergestellt werden sollen, erfolgt dies in der Produktionsstätte B: Für weitere herzustellende Einheiten sind jedoch die Grenzkosten in Produktionsstätte A kleiner als in B: Alle weiteren Einheiten werden also in der Produktionsstätte A produziert. Insgesamt erhält man also 8 >< C (y) = >: y ; y 4; (y 4) ; y > 4; = 8 < : y ; y 4; 4y 8; y > 4:

5 Aufgabe 4 (4 Punkte) Auf einem Markt mit vollkommener Konkurrenz bieten zwei Typen von Unternehmen, A und B; dasselbe Gut an. Die Unternehmen vom Typ A haben die Kostenfunktion C A (y A ) = 8y A ; die Unternehmen vom Typ B die Kostenfunktion C B (y B ) = 6y B : Welcher Preis stellt sich im langfristigen Konkurrenzgleichgewicht ein? Wir ermitteln für jeden Unternehmenstyp das Minimum der Durchschnittskosten: AC min A = min 0y A C A (y A ) y A AC min B = min 0y B C B (y B ) y B = min 8y A y A = 8 6y B = min = 6 0y B y B Im langfristigen Konkurrenzgleichgewicht werden nur Unternehmen das Typs B anbieten und dies zum Minimum ihrer Durchschnittskosten, p = AC min = AC min B = 6:

6 Aufgabe 5 (4 Punkte) Zeichnen Sie die inverse Nachfragefunktion p(q) = 10 q. Berechnen Sie bei welchem Preis die Konsumenten q = Einheiten nachfragen. Ermitteln Sie die Konsumentenrente bei diesem Preis! Die inverse Nachfragekurve nden Sie in der Abbildung 0.. Durch Einsetzen in die inverse Nachfragefunktion erhält man p() = 10 = 6: Die Konsumentenrente ist in der Graphik schra ert und damit auch schon klar, dass sie mit der wohlbekannten Dreiecks ächenformel berechnet werden kann: KR = (10 6) = 10 6 = 4: Beachten Sie, dass wir dabei verwendet haben, dass der Prohibitivpreis, wie in der Graphik ersichtlich, gleich p (0) = 10 ist.

7 10 p p( ) = 6 KR p( q) q Abbildung 0.: Konsumentenrente und mehr...

8 Aufgabe 6 (3 Punkte) In einer Volkswirtschaft werden zwei Güter, 1 und, hergestellt. Die Produktionsmöglichkeitenkurve lautet x (x 1 ) = x 1; wobei x für die von Gut und x 1 für die von Gut 1 produzierte Menge steht. Von Gut 1 werden in der Volkswirtschaft 10 Einheiten gefertigt. Wenn die Produktion des ersten Gutes um eine (kleine) Einheit gesenkt wird, wie viele Einheiten von Gut können dann zusätzlich hergestellt werden? (a) Wir leiten die Funktion x () nach x 1 ab und erhalten so die Grenzrate der Transformation: MRT (x 1 ) = dx dx 1 = 5 x 1: Einsetzen von x 1 = 10 ergibt MRT (10) = 4: Wenn also eine kleine Einheit von Gut 1 weniger produziert wird, können 4 (kleine) Einheiten von Gut mehr hergestellt werden. (b) Wir untersuchen, wie sich die von Gut produzierbare Menge verändert, wenn wir eine Einheit weniger als 10, also 9 Einheiten von Gut 1 herstellen. Mathematisch führt diese Überlegung auf die folgende Formelzeile: 1 x (9) x (10) = ( ) ( ) = 19 = 3; 8: 5 Wenn also eine Einheit von Gut 1 weniger produziert wird, können 3; 8 Einheiten von Gut mehr hergestellt werden.

9 Aufgabe 7 (6 Punkte) Betrachten Sie das folgende Bimatrixspiel, in dem jeweils der linke Eintrag die Auszahlung des Zeilenwählers und der rechte Eintrag die Auszahlung des Spaltenwählers darstellt: s 1 s z 1 (; ) (4; 1) z (a; 4) (5; b) (a) Für welche Parameter a ist z eine dominante Strategie? (b) Für welche Parameter b ist s eine dominante Strategie? (c) Für welche Parameter a; b ist (z ; s 1 ) ein Nash-Gleichgewicht? (a) z ist eine dominante Strategie, falls die Auszahlungen des Zeilenwählers unabhänging von der Entscheidung des Spaltenwählers größer sind als bei z 1 ; also falls a > und 5 > 4: (b) s ist eine dominante Strategie, falls die Auszahlungen des Spaltenwählers unabhänging von der Entscheidung des Zeilenwählers größer sind als bei s 1 ; also falls 1 > und b > 4; d.h. für keinen Parameterwert b: (c) (z ; s 1 ) ist ein Nash-Gleichgewicht, falls keiner der beiden Spieler hiervon einseitig pro tabel abweichen kann, also wenn: Zeilenwähler : a Spaltenwähler : 4 b

10 Aufgabe 8 (11 Punkte) Zwei Unternehmen, A und B, bieten auf einem Markt dasselbe Gut an. Dabei legen die Unternehmen simultan die produzierte und abzusetzende Menge fest. Die Gesamtnachfrage auf diesem Markt ist durch die inverse Nachfragefunktion p (y) = 4 y gegeben, wobei die Menge y zum Preis von p (y) abgesetzt werden kann. Die Kosten von Unternehmen A zur Produktion von y A Einheiten dieses Gutes betragen C A (y A ) = ya. Unternehmen B hat konstante Durchschnittskosten in Höhe von 4: (a) Bestimmen Sie die Reaktionsfunktionen der beiden Unternehmen! (b) Ermitteln Sie nun die im Cournot-Gleichgewicht angebotenen Mengen! (a) Wir beginnen mit Unternehmen A. Ausgehend von dessen Gewinnfunktion A (y A ; y B ) = p (y A + y B ) y A C A (y A ) = (4 (y A + y B )) y A y A erhalten wir über die A = 4 4y A y B 4y A = 0 die Reaktionsfunktion y R A (y B ) = 3 y B 4 : Analog erhält man für Unternehmen B: B (y A ; y B ) = p (y A + y B ) y B 4 y B = (4 (y A + y B )) y B 4 y B = 4y B + 0 y A = B yb R y A (y A ) = 5

11 (b) Das Cournot-Gleichgewicht ermittelt man schließlich durch Einsetzen der beiden Reaktionsfunktionen ineinander : ya C = ya R yb R ya C y C A = 3 5 y C A 4 Au ösen nach y C A ergibt y C A = und Einsetzen in y R B y C B = y R B ya C = 5 y C A = 5 = 4:

12 Aufgabe 9 (8 Punkte) In einem winzigen Bergdorf leben 0 Menschen mit identischen Präferenzen. Es gibt dort nur ein privates und ein ö entliches Gut. Die Präferenzen einer typischen Person i werden durch die Nutzenfunktion u i (x i ; y) = x i + p y beschrieben, wobei x i die von i konsumierte Menge des privaten Gutes und y die Menge des ö entlichen Gutes bezeichnet. Der Preis des privaten Gutes beträgt p x = und der Preis des ö entlichen Gutes p y = 10: Ermitteln Sie die Pareto-optimale Menge des ö entlichen Gutes! Im Pareto-Optimum ist die Summe der Grenzraten der Substitution aller Einwohner für das ö entliche Gut (ausgedrückt in Einheiten des privaten Gutes) gleich den Grenzkosten des ö entlichen Gutes (wiederum ausgedrückt in Einheiten des privaten Gutes). Die Grenzrate der Substitution einer Person lautet MRS i = dx i dy = MU y MU xi = 1 p y 1 = 1 p y : Die Summe der Grenzraten der Substitution aller Einwohner (M RS) beträgt also MRS = 0 MRS i = 0 1 p = p 0 : y y Die Grenzkosten des ö entlichen Gutes (M C) sind durch das Preisverhältnis gegeben, MC = p y = 10 p x = 5: Die Optimalitätsbedingung lautet demnach 0 p y = MRS! = MC = 5: Au ösen ergibt die Pareto-optimale Menge des ö entlichen Gutes, y = 16:

13 Aufgabe 10 (8 Punkte) Ein Unternehmen besitzt die Produktionsfunktion y = f (x 1 ; x ) = x x 1 : Es hat keinen Ein uss auf die Faktorpreise w 1 und w sowie den Güterpreis p: Bestimmen Sie die Faktornachfragefunktion für den ersten Produktionsfaktor! Die Gewinnoptimierungsbedingungen im Inputraum lauten:! w 1 = p MP 1 = = p 1 3 x 3 1 x 1! w = p MP = = p x x 1 Au ösen dieses Gleichungssystems nach x 1 ergibt schließlich x 1 = 1 p 6 : 16 ww 3 1 3

14 Aufgabe 11 (1 Punkte) In unmittelbarer Nähe einer Müllverbrennungsanlage, mit der Gewinnfunktion M (x) = 0x x ; betreibt ein Unternehmen, dessen Gewinnfunktion W 1 (x; y) = 16y y xy lautet, eine Wohnanlage. Dabei steht y für die Anzahl der vermieteten Wohnungen und x für die in der Müllverbrennungsanlage verbrannte Menge Müll. (a) Bestimmen Sie die Aktivitätsniveaus der beiden Unternehmen im Gleichgewicht (Schadensrecht)! (b) Bestimmen Sie die Höhe der Aktivitätsniveaus der Unternehmen nach einer Fusion! (a) Wir wenden das wohlbekannte Maximierungskalkül an und erhalten d M = 0 x! = 0; = 16 y x! = 0: Au ösen der ersten Gleichung ergibt x = 10; was eingesetzt in die zweite Gleichung y = 6 ergibt. (b) Zunächst stellen wir die gemeinsame Gewinnfunktion auf: (x; y) = M (x) + W (x; y) = 0x x y y xy Anwendung des bekannten = 0 x# y #! = = 16 y # x #! = Au ösen dieses Gleichungssystems ergibt x # = 4 sowie y # = 1: