Berechnung kürzester Wege

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1 Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche Informatikjahr 2006 Prof. Dr. Peter Sanders Dipl.-Inform. Johannes Singler 18. April 2006 Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

2 Problem Gegeben ein Stadtplan ein Startpunkt ein Zielpunkt Frage Wie finde ich den kürzesten Weg zwischen Start- und Zielpunkt? Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

3 Trickreiche Lösung: Vorbereitung Lege den Stadtplan auf den Tisch Lege Bindfäden entlang der Straßen Verknote die Fäden an Kreuzungen und Abzweigungen zusätzliche Knoten an möglichen Start- und Zielpunkten sowie Abzweigungen Markiere die Knoten eindeutig Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

4 Trickreiche Lösung: Lösungsfindung Fasse das Gespinst am Startpunkt (2) Ziehe diesen Knoten langsam nach oben Knoten für Knoten löst sich von der Tischplatte Stoppe, wenn Zielknoten in der Luft Mache Zielpunkt ausfindig (5) Gehe straff gespannte Fäden zurück führt eindeutig zum Startpunkt Folge von Knoten ist kürzester Weg Messe die Entfernung mit Maßband an straffem Weg H G F E C M N L K P V R Abstand vom Startknoten O Q S J W Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

5 Trickreiche Lösung: Bewertung Warum ist der gefundene Weg der kürzeste? Start und Ziel hätten sich sonst nie so weit voneinander entfernt Nachteile dieser Lösung aufwändig unpräzise automatisierbar Der Computer soll die Aufgabe übernehmen! Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

6 Implementierung: Ein-/Ausgabe Algorithmus von Dijkstra (1959) Berechnet kürzeste Wege vom Startknoten zu allen anderen (erreichbaren) Knoten Eingabe Ausgabe virtuelles Netz mit Knoten Fäden mit Längenangaben Länge des kürzesten Wegs vom Startknoten aus zu jedem Knoten Teilmenge Fäden zum Rückverfolgen der kürzesten Wege Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

7 Implementierung: Pseudocode Alle Knoten liegen, alle d[] sind unendlich, nur d[startknoten] = 0 while es gibt liegende Knoten do v := der liegende Knoten mit kleinstem d[v] Mache v hängend forall Fäden von v zu einem Nachbar u der Länge l do if d[v] + l < d[u] then d[u]:= d[v] + l // kürzeren Weg hin zu u gefunden, führt über v Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

8 Implementierung: Beispiellauf Nullter Schritt des Algorithmus alle Knoten liegen, Startknoten M blau Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

9 Implementierung: Beispiellauf Erster Schritt des Algorithmus nur M angehoben (orange), nächste Kandidaten blau Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

10 Implementierung: Beispiellauf nach 6 Schritten des Algorithmus Der kürzeste Weg zu K geht noch von L direkt nach K. Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

11 Implementierung: Beispiellauf nach 7 Schritten des Algorithmus Der kürzeste Weg zu K geht jetzt über N. Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

12 Implementierung: Beispiellauf nach 10 Schritten des Algorithmus Knoten F ist erreicht. Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

13 Implementierung: Beispiellauf kompletter Durchlauf des Algorithmus Alle Knoten sind besucht, endgültige Distanzen stehen fest. Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

14 Zusammenfassung Problem: Finde kürzesten Weg von Startpunkt zu Zielpunkt in einem gegebenen Straßennetz. Lösung: Der Algorithmus von Dijkstra berechnet die kürzesten Wege von einem Startpunkt zu allen erreichbaren Zielpunkten. arbeitet analog zur trickreichen Lösung mittels Bindfäden weitere Informationen unter algorithmus/ Berechnung kürzester Wege 7. Algorithmus der Woche, Informatikjahr / 14

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