-70- Anhang: -Lineare Regression-

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1 -70- Anhang: -Lneare Regressn- Für ene Messgröße y f(x) gelte flgender mathematsche Zusammenhang: y a+ b x () In der Regel läßt sch durch enen Satz vn Messwerten (x, y ) aber kene Gerade zechnen, da de enzelnen Messwerte mt expermentellen Unscherheten behaftet snd. Wr nehmen an, dass en Wert y be wederhlter Messung gaußvertelt um den Mttelwert y, mt ener Standardabwechung legen würde. Wr wllen nun de Parameter a und b s bestmmen, dass se unsere Messung am besten annähern. Für en belebges Paar vn Werten a und b können wr de Abwechungen y zwschen unseren Messwerten y und den dazugehörenden berechneten Werten berechnen: y y - a - b x () Wenn de Keffzenten gut gewählt snd werden dese Abwechungen klen sen. De Summe der y st aber nch ken gutes Maß für de Abwechungen, da grße pstve y durch grße negatve aufgewgen werden können. Deshalb benutzen wr de Summe der Quadrate der y. Es gbt ene Methde zur Optmerung der Keffzenten, de Methde der klensten Quadrate. ehmen wr an a und b seen de krrekten Werte unseres Expermentes ( als de Mttelwerte de wahren Werte der Vertelung ). Es glt als: (3) yx a + b x Für enen gegebenen Wert x x können wr nun de Wahrschenlchket P berechnen, den Wert y zu messen (unter der Annahme ener Gaußvertelung): P y y x exp π De Wahrschenlchket den Satz der Messungen der y zu machen st dann das Prdukt der Enzelwahrschenlchketen. y y x Pa (, b) P exp π Ebens können wr etzt für en belebges Paar (a,b) de Wahrschenlchket den Satz der Messungen (x, y ) zu machen berechnen y Pab (, ) exp π (4) (5) (6)

2 -7- De Methde der größten Wahrschenlchket (maxmum lkelhd) besteht nun darn, anzunehmen, dass de Wahrschenlchket, dass der gemessene Satz vn Werten zur Grundgesamthet aus Glechung 3 gehört, größer st, als de, daß er zu rgend ener anderen Grundgesamthet mt anderen Keffzenten (a, b) gehört. Flglch st de Wahrschenlchket n Glechung 5 de größte, de wr mt Glechung 6 berechnen können. De besten Abschätzungen für a und b snd als de, welche de Wahrschenlchket vn Glechung 6 maxmeren. Der erste Term der Glechung st ene Knstante, de ncht vn a und b abhängt. Flglch st das Maxmeren der Wahrschenlchket vn (6) dasselbe we das Mnmeren der Summe m Expnenten vn (6). Wr defneren nun de Größe χ als de Summe χ y ( y a bx ) Zur Bestmmung des am besten angepaßten Paares (a, b) muß als nur nch χ mnmert werden. Wr nehmen zuerst enmal an, dass de Standardabwechungen (bedngt durch nstrumentelle Unscherheten, statstsche Fluktuatnen der Ableseungenaugketen) der Messwerte y alle glech seen. Im Mnmum müssen de partellen Abletungen vn χ nach a und b bede ull sen (7) χ y a bx a a ( y a bx) 0 (8) χ y a bx b b x( y a bx) 0 Dese beden Glechungen lassen sch um rdnen n en Glechungssystem mt zwe Glechungen, welches enfach gelöst werden kann (mt der Determnantenmethde). De Lösungen lauten a x y x xy Σ Σ Σ Σ (9) b ( Σxy ΣxΣy) Σx Σ ( x)

3 -7- Ist de Annahme, dass de alle glech snd ncht zulässg, s müssen se n der Rechnung mt berückschtgt werden. ach analger Rechnung erhalten wr flgende Lösung: x y x xy a xy x y b x x Falls ncht nur de y mt Fehlern behaftet snd, sndern auch de Messwerte x, s müssen dese flgendermaßen berückschtgt werden: [ b ( x )] ( y ) + Dabe erhält man b apprxmatv aus enem ersten Ft nach Glechung (9), der aber man terert (0) und () bs b sch ncht mehr ändert. Fehlerabschätzung Da de Messwerte y mt Fehlern behaftet snd, s werden auch de berechneten Keffzenten a und b fehlerbehaftet sen. De Standardabwechung z ener Größe z f(y ) berechnet sch nach dem gaußschen Fehlerfrtpflanzungs-Gesetz flgendermaßen: z z y Wr betrachten weder zuerst den Fall, n dem alle Standardabwechungen glech snd, (und kene systematschen Fehler vrlegen, das heßt, dass de unabhängg vnenander snd). In desem Fall können wr aus den Daten bestmmen: De Varanz s, de sch annähert, berechnen wr aus der Summe der Quadrate der Abwechungen der Datenpunkte vm berechneten Mttelwert dvdert durch de Anzahl der Frehetsgrade (her -: #Datenpunkte - Stegung - Achsenabschntt): ( y a bx) s Es st übrgens deser Wert, den wr n unserem Klensten-Quatdrate-Ft mnmert haben. De Abletungen aus Glechung () lassen sch lecht aus Glechung (9) bestmmen: (0) () () (3) a y ( x x x)

4 b y -73- ( x x) (4) wbe de Summen über den Index laufen. Setzen wr nun Glechung (4) n Glechung () en s erhalten wr: [( x ) x x x x ( x ) ] Σ Σ Σ + Σ a J Σx Σx ( Σx) Σx ( Σx) [ ] [ Σx Σx Σx ] Σx [ x x Σx + ( Σx ) ] J [ Σx ( Σx) ( Σx) ] [ Σx ( Σx) ] + b + Σx Σ ( x) Wbe we flgt defnert st:, und aus Glechung (3) benutzt wrd. Analg lassen sch aus den Glechungen (0) und () de Frmeln für den Fall berechnen, n dem de verscheden snd. Als Resultat erhalten wr her a b x (5) (6) (7) x x ach Phlp R. Bevngtn, Data Reductn and Errr Analyss fr the Physcal Scences, McGraw-Hll, ew Yrk (969)

5 -74- -Bespele zur lnearen Regressn- Im flgenden sll anhand vn dre Bespelen gezegt werden, we de ben abgeleteten Frmeln n der Praxs angewendet werden: Wr betrachten ene Reaktn Das dazugehörende Geschwndgkets-Zet-Gesetz se [ Α] t k + [ Η ][ Α] Wr nehmen an, dass wr n gepufferter Lösung arbeten, dass als [H + ] knstant blebt und mt k k [H + ] erhalten wr nach Integratn: ln A ln A k t (8) + (wbe t 0 gesetzt wurde). ach Umfrmung ergbt sch de Expnentalglechung: ( k t) Α Α exp Glechung (8) zegt, dass k als Geradenstegung durch lneare Regressn berechnet werden kann. Dabe wrd ln A als Achsenabschntt bestmmt. Zu deser Reaktn seen dre Versuche mt unterschedlchen Messwerten gemacht wrden: a) Messrehe : Zet t [s] [A(t)] [ml/l] [A(t)] [ml/l] ln A(t) 0,00 0,89 0,0-0,7,00 0,80 0,0-0,3,00 0,73 0,0-0,35 3,00 0,6 0,0-0,478 Da de Meßwerte A(t) alle etwa glech grß snd, und de Fehler ebenfalls alle glech snd, s snd auch de Unscherheten ln A(t) alle etwa glech grß und de lneare Regressn kann nach Glechung (9) berechnet werden. Für de Berechnung der Fehler werden de Glechungen (3), (5) und (6) benutzt. Wr erhalten: x 6 x 4 y -,3 x y -,87 4 0,00059 a -0,07 a 0,00 b -0,8 b 0,0 Und damt als Schlußresultat: k 0, ± 00, s und A 090, ± 00, ml / l wbe A aus a ln A -0,07 und A aus a mt Fehlerfrtpflanzung berechnet wurde.

6 -75- b) Messrehe : Zet t [s] [A(t)] [ml/l] [A(t)] [ml/l] ln A(t) ln A(t) 0,00 0,9 0,0-0,094 0,0 0,00 0,6 0,0 -,35 0,04 0,00 0,08 0,0 -,53 0,3 30,00 0,0 0,0-3,9 0,5 Her snd de Messwerte A(t) sehr unterschedlch grß, nsbesndere unterscheden sch de Unscherheten ln A(t) stark. Deshalb sllten für de lneare Regressn ncht alle Datenpunkte glech gewchtet werden. Man gewchtet deshalb eden Messwert mt senem Fehler und rechnet mt Glechung (0). Für de Berechnung der Fehler wrd de Glechung (7) benutzt. Wr erhalten: x / 860 x / y / -868,9 x y / -808,6 / a -0,095 a 0,0 b -0,4 b 0,003 Und damt als Schlußresultat: k 0, 4 ± 0, 003s und A 0, 9± 0, 0ml / l wbe A aus a ln A -0,095 und A aus a mt Fehlerfrtpflanzung berechnet wurde. c) Messrehe 3: Zet t [s] t [s] [A(t)] [ml/l] [A(t)] [ml/l] ln A(t) ln A(t) 0,0 0,9 0,0-0,094 0,0 0,0 0,6 0,0 -,35 0,04 0,0 0,08 0,0 -,53 0,3 30,0 0,0 0,0-3,9 0,5 Her snd de Messwerte A(t) weder sehr unterschedlch grß und de Unscherheten ln A(t) unterscheden sch stark. Zudem snd de Fehler n der Zetmessung ncht mehr vernachlässgbar. Deshalb sllten für de lneare Regressn ncht alle Datenpunkte glech gewchtet werden. Man gewchtet auch her eden Messwert mt senem Fehler, der allerdngs zur Berückschtgung der Zetfehler nach Glechung () zuerst umgerechnet werden muß. Das Prblem herbe st, dass de Stegung b der Regressnsgeraden für de Berechnung der Gewchte / ntwendg st. Im rmalfall kann man sch zuerst nach Glechung (9) b berechnen, das dann scher de rchtge Größenrdnung hat. Deses b benutzt man zur Berechnung der Gewchte /. De egentlche Berechnung erflgt dann weder mt Glechung (0) und (7).

7 -76- Her erhalten wr als nach (9) für b -0,6 daraus ergeben sch flgende Werte: Zet t [s] (x ) t [s] (y ) ln A(t) 0,0 0,0 0,6 0,0 0,04 0,3 0,0 0,3 0,8 30,0 0,5 0,56 und damt mt (0) und (7): x / 39 x / 785 y / -77,8 x y / -83 / 55,0 4 a -0,098 a 0,5 b -0,3 b 0,00 Und damt als Schlußresultat: k 0, ± 00, s und A 09, ± 0, ml / l wbe A aus a ln A -0,098 und A aus a mt Fehlerfrtpflanzung berechnet wurde.!anmerkung: Es wurde mmer mt den exakten Werten weter gerechnet, ncht mt den gerundeten!