1 2 x x. 1 2 x 4

Transkript

1 S. Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihre Ableitung Zuordung f(x) = x g(x) = x h(x) = x k(x) = x p(x) = x 0, q(x) = x r(x) = x s(x) = x, 6 7 Wurzelfunktionen a) f(x) = x + D = [ ; [ f '(x) = x + b) f(x) = x D = [0; [ f '(x) = x c) f(x) = x D = [; [ f '(x) = x

2 d) f(x) = x + D = [ ; [ f '(x) = x + Fehler f(x) = (sinx) f '(x) = (sinx) cosx g(x) = x = x g'(x) = 9 x h(x) = 0, x = 0, x 0, h'(x) = 0,08 x 0,6 = 0,08 x p(t) = x + sin t p'(t) = cos t t Ableiten a) f(x) = x 0, f '(x) = 0, x 0,8 f '() = 0, F(x) = x,, = 6 x, b) f(x) = x f '(x) = x f '() = F(x) = x 7 7 = 7 x 7 c) f(x) = x f '(x) = x f '() = F(x) = x 7 7 = 7 x 7 d) f(x) = x 0,7 f '(x) =, x 0, f '() =, F(x) = x,7,7 = 0 7 x,7 e) f(x) = p x p f '(x) = x p f '() = F(x) = p x p+ p + p = p p x p p

3 f) f(x) = x = x f '(x) = x f '() = F(x) = x 9 9 = 9 x 9 g) f(x) = x = x f '(x) = x f '() = F(x) = x 9 9 = 9 x 9 h) f(x) = 0,0 x 7 = 0,0 x 7 f '(x) = 0,07 x f '() = 0,07 F(x) = 0,0 x 9 9 = 9 0 x i) f(x) = ( x) = x f '(x) = x f '() = F(x) = x = x k) f(x) = ( x ) = x f '(x) = x 0 f '() = F(x) = x = 9 x l) f(x) = x x = x f '(x) = 7 x f '() = F(x) = x = x m) f(x) = x = x f '(x) = 6 x 7 f '() = 6 F(x) = x = 6 x 6 Stammfunktionen a) f(x) = x p f '(x) = p x p F(x) = x p+ p +, p b) f(x) = x n f '(x) = n x n F(x) = x n + n +, n c) f(t) = t p+ f '(t) = ( p + ) x p F(x) = x p+ p +, p d) f(x) = x p p+ F(x) = x p+ p+ f '(x) = p p + x p+ = p p + x = (p + ) x p+, p p p+ = p p + x p+ p+

4 e) f(x) = p x p q f '(x) = p ( p q ) x p q F(x) = q x p q f) f(s) = s p q p + q f '(x) = p q p + q s p q F(x) = s p q+ (p + q)( p q + ) g) f(x) = x n x p = x n p f '(x) = ( n p ) x n p F(x) = x n p+ n p + h) f(x) = x n : x p = x n p f '(x) = ( n p ) x n q x F(x) = n p+ n p + 7 Ableitungen a) f(x) = + x = ( + x) f '(x) = ( + x) = ( + x) b) f(x) = (7x x) f '(x) = (7x 6x x) (x ) = 7x x c) f(t) = ( + t) f '(t) = ( + t) t = ( + t) t d) f(x) = sinx = (sinx) f '(x) = (sinx) cosx = cosx (sinx) e) f(x) = (x x) f '(x) = 6 (x x) (x x ) f) f(x) = t x + t f '(x) = t = t x + t t t x + t g) h(x) = ( + sin x) h '(x) = ( + sin x) sinx cosx = ( + sin x) sinx cosx h) f(t) = t x + t f '(x) = (tx + ) = t x + t tx + t x + t i) k(x) = + ( x) k '(x) = + ( x) ( x) ( ) = x + ( x)

5 k) f(s) = ( s) + f '(x) = ( s) ( ) = ( s) + ( s) ( s) + l) f(x) = ( + x + ) f '(x) = ( + x + ) = x + ( + x + ) x + m) (x) = 8( x + ) = 8 (x + ) 8 f '(x) = (x + ) 8 = 9 (x + ) 8 n) f(x) = (x x) = (x x) f '(x) = (x x) (x x ) o) f(t) = cos = cost f '(t) = sint ( t ) t = sin t t 8 Zuordnung f(x) 6 f '(x)) Graphen a) f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x b) f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x,

6 c) f(x) =,, x g(x) = f '(x) = x h(x) = g'(x) = x 0 Halbkreise und Halbellipsen a) b) lim f '(x) = lim x 0 x 0 x = und lim f '(x) = 6 x x +0 lim x +0 x 6 x =

7 und analog für g, h und k. c) Die Tangenten sind Senkrechte zur x-achse. Kurvendiskussion a) f(x) = x x. Maximale Definitionsmenge D max = R + 0. Symmetrie keine. Nullstellen f(x) = x x = 0 x ( x ) = 0 x = 0 x =. Monotonie und Extrema f '(x) = x x = 0 x x = 0 (x) = x = x = 0 < x < 0, 0, < x < f '(x) + f(0,) = 0,7 H 0, 0,7 ist ein Hochpunkt

8 b) g(x) = x 6 x. Maximale Definitionsmenge D max = [ ; ]. Symmetrie g( x) = ( x) 6 ( x) = x 6 x = g(x) Der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Ursprung.. Nullstellen g(x) = x 6 x = 0 x = x = 0 x =. Monotonie und Extrema g '(x) = 6 x + x ( x) = 6 x 6 x x = 0 6 x 6 x x 6 x = 0 6 x x = 0 x = x = < x < < x < < x < 0, < x < g '(x) + g( ) = 8 T 8 ist ein Tiefpunkt und H 8 ist ein Hochpunkt des Graphen von g

9 c) h(x) = x 9 + x. Maximale Definitionsmenge D max = R. Symmetrie h( x) = ( x) 9 + ( x) = x 9 + x Der Graph von h ist punktsymmetrisch zum Ursprung.. Nullstellen h(x) = 0 x = 0. Monotonie und Extrema h '(x) = 9 + x x x 9+x 9 + x = x 9 + x 9 + x 9+x = 7 + x x (9 + x ) 9 + x = = 7 (9 + x ) 9 + x > 0 h ist auf ganz R streng monoton steigend.

10 Stammfunktionen a) f '(x) = x 0, f(x) = x + C = x + C b) g '(x) = x g(x) = x + C = x + C c) h'(x) = 0,x h(x) = 0, x + C = x + C d) k '(x) = x k(x) = x + C = x + C e) p'(x) = x = x p(x) = x + C = x + C f) q'(x) =, x =,x q(x) =, x + C = x + C Verkettung von Funktionen f (x) = u[v(x)] = x f '(x) = x = x x x f (x) = u[w(x)] = x = x = x, x > 0 x, x < 0 f '(x) = x, x > 0 x, x < 0 f (x) = v[u(x)] = x f '(x) = x x = x f (x) = v[w(x)] = x 6 f '(x) = 6x 7

11 Funktionenschar f a (x) = a x mit a R + ax a) f a '(x) = a ax + ax ax + ax +ax = a + ax a x +ax + ax = a ( + ax ) a x = ( + ax ) + ax = a > 0 für a > 0 ( + ax ) + ax f a ist für a > 0streng monoton zunehmend. f a ( x) = a ( x) + a ( x) = a x + a x = f a (x) Der Graph von f a ist für a > 0 punktsymmetrisch zu O 0 0. b) f a ist für a < 0streng monoton abnehmend. Der Graph von f a ist für a < 0 punktsymmetrisch zu O 0 0. c) Der Graph G geht aus dem Graphen G durch eine Drehung um 90 mit dem Koordinatenursprung als Drehzentrum hervor. d) g(x) = x x Die beiden Graphen liegen symmetrisch zur Winkelhalbierenden des. und. Quadranten.

12 e) lim f (x) = lim x x x + x = lim x x + x = lim x + = x x x lim f (x) = lim = lim x x + x x + x = lim x + = x Halbkreis f(x) = x a) f '(x) = ( x) = x x x D f 0 [ ; ] und D f ' = ] ; [ b) f() = und f() = sowie f '() = und c) f '() = Tangente in A : y = (x ) + = x + Tangente in B : y = (x ) + = x + Normale in A : y = (x ) + = x Normale in B : y = (x ) + = x Die Normalen schneiden sich im Ursprung des Koordinatensyatems.

13 d) tanα = α = tan ( ) 6,87 A Sektor = α 60 π 8 e) x + y = bzw. x = y 6 Sandhaufen a) r h =,,7 = 7 = k r = 7 h = k h b) Volumen: V = 60 0 dm = m π r h = m π ( 7 h) h = m h,7 m c) π (k h) h = 0,0 t h = 0, t π k d) h '(t) = 0, t ( π k ) 0, π k = 0,0 0, t ( π k π k ) t ,06 0,0 0,00 t 7 Extrema a) f '(x 0 ) = 0 g '(x 0 ) = f(x 0 ) f '(x 0 ) = 0 Da g das gleiche Montonieverhalten wie f hat, ist eine Maximalstelle von g. b) f(x) = 8,6x,x f '(x) = 8,6 x = 0 x =, x 0 von f auch eine c) Wenn g eine streng monoton wachsende Funktion und ist die Verknüpfung von g mit f möglich, dann ist eine eine Maximalstelle von f auch eine von g. x 0

14 8 Funktionenschar a) b) f t '(x) = x (t t ) x = 0 x 0 = 0 x = 8t t Liegt x rechts von x 0, dann ist x eine Minimumstelle, liegt x dagegen links von x 0, dann ist x eine Maximumstelle. Lage der Extremstelle x in Abhängigkeit von t: x ist für 0 < t < eine Minimalstelle und x 0 eine Maximalstelle. x ist für < t eine Maximalstelle und x 0 eine Minimalstellestelle. Für t = 0 und t = ergibt sich die kubische Parabel y = x.

15 c) f( 8t t ) = 8t t (t t ) 8t t = 8t t d.h. für diesen Wert von t liegt der Tiefpunkt auch am tiefsten. d) f t (x) = x ( t + t ) x = ( x) (t t ) ( x) = f t ( x) x ist für < t < 0 eine Maximalstelle und x 0 eine Minimalstelle. x ist für < t < eine Minimalstelle und x 0 eine Maximalstellestelle. Für t = 0 und t = ergibt sich die kubische Parabel y = x. Der Tiefpunkt kann beliebig weit rechts liegen und beliebig tief liegen. 9 Funktionenschar f a (x) = a x a mit a > 0 a) D max = [a ; [ und W = [0; [ b) f a '(x) = a = x a a x x > 0 für x > a c) a x a = x = a y = a 0 Extremwertaufgabe T(x) = x ( x) 0 T'(x) = ( x) ( ) + = ( x)

16 ( x) + ( x) = 0 + ( x) = ( x) + ( x) = ( x) x =,8 Funktionenschar f c (x) = 8 ( x c) mit c > 0 x a) D max = R + 0 f c (x) = 0 x = c S x c 0 b) lim x ( x c) x = f c (x) = 8x 8c x f c '(x) = x + 8cx = 0 x + 8c = 0 c f c (c ) = c 8 Wegen lim ( x c) = 0 ist H c ein Hochpunkt. x x c c) Es muss gelten Also muss sein. c < c > d) f '() = c

17 Bedingung: c = c =