Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I

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1 Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I Es werden folgende Themen behandelt:. Formale und logische Grundlagen 2. Algebraische Grundlagen 3. Vektorräume und LGS 4. Homomorphismen und Matrizen 5. Determinanten, Invertierbarkeit und Basiswechsel In jedem Kapitel werden zuerst einige wichtige Begriffe und Sätze genannt, die in diesem Abschnitt von Bedeutung sind und einige Fragen zum Verständnis dieser Definitionen gestellt. Diese sollen dir dabei helfen, dein theoretisches Verständnis dieses Kapitels zu überprüfen. Beachte, dass du nicht alle Aufgaben an einem Wochenende lösen kannst. Daher solltest du dir aus jedem Kapitel einige Aufgaben ansehen und nicht von vorne nach hinten durchrechnen. Die Aufgaben sind nicht nach Schwierigkeitsgrad sortiert! Viel Spaß mit den Aufgaben und viel Erfolg in der Klausur.

2 Induktion, Äquivalenzrelation, Abbildung. Wiederholung.. Definitionen Wiederhole zuerst folgende Definitionen und Sätze: Induktion, Äquivalenzrelation, Repräsentantensystem, Abbildung, injektiv, surjektiv, bijektiv, Umkehrabbildung..2 Kurzfragen Beantworte kurz die folgenden Fragen:.2 Formuliere das Induktionsprinzip. Was ist eine Äquivalenzrelation? Gib Beispiele an! Hat jede Äquivalenzrelation ein Repräsentantensystem? Wenn ja, ist dieses eindeutig bestimmt? Welche schönen Eigenschaften können Abbildungen haben? Gib Beispiele an, die die Begriffe veranschaulichen. Sei f : M N eine Abbildung und a N. Was ist dann f (a)? Was ist eine Umkehrabbildung? Ist sie immer definiert? Wenn nein, wann existiert sie? Für welche Abbildungen gibt es Rechts- bzw. Linksinverse? Die Fibonacci-Zahlen sind wie folgt definiert: f =, f 2 =, f n = f n + f n 2 a) Zeige, dass die n-te Fibonacci-Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn n durch 4 teilbar ist. b) Zeige, dass zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen teilerfremd sind..3 Welche der folgenden Relationen ist eine Äquivalenzrelation auf Z? Beschreibe in diesem Fall die Äquivalenzklassen. a) n m genau dann, wenn n + m = 2k für ein k Z. b) n m genau dann, wenn n + m = 3k für ein k Z..4 Beweise oder widerlege für Abbildungen f : M M 2, g : M 2 M 3 : a) f ist injektiv, wenn g f injektiv ist. b) g ist surjektiv, wenn g f surjektiv ist. c) f und g sind genau dann beide injektiv, wenn g f injektiv ist. d) f, g surjektiv g f surjektiv. 2

3 2 Algebraische Grundlagen 2. Wiederholung 2.. Definitionen Wiederhole zuerst folgende Definitionen und Sätze: abelsch, Gruppe, Untergruppe, Restklasse, Faktorgruppe, Permutation, Transposition, symmetrische Gruppe S n, Körper, Ring 2..2 Kurzfragen Beantworte kurz die folgenden Fragen: 2.2 Welche Struktur bildet die Menge der Permutationen von n Elementen? Welche Struktur hat die Menge aller linearen Abbildungen f : V V für einen Vektorraum V? Was ist die Antwort, wenn man nur bijektive Abbildungen betrachtet? Wie sehen die Elemente einer Faktorgruppe aus? Was stellen sie geometrisch dar, wenn die zugrunde liegende Gruppe ein Vektorraum ist? Was ist der Unterschied zwischen Körpern und Ringen? Gib Beispiele an, die den Unterschied verdeutlichen. Gib Beispiele an, die die Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen den Strukturen Gruppe, Ring und Körper verdeutlichen. Skizziere in einem Diagramm, welche Struktur ein Spezialfall einer anderen ist. Sei G eine Gruppe mit einer geraden Anzahl an Elementen. Zeige, dass es in G außer dem neutralen Element e noch ein weiteres selbstinverses Element a gibt, d.h. a a = e. Was kann man über die Anzahl der selbstinversen Elemente sagen? 2.3 Sei (G, ) eine Gruppe. Zu festem x G definiert man auf G eine weitere Verknüpfung : G G G durch a b := a x b. Zeige, dass dann auch (G, ) eine Gruppe bildet. Gib außerdem das neutrale Element und zu einem Element a G das Inverse an. 2.4 Sei (G, ) eine Menge mit einer assoziativen Inneren Verknüpfung. (Dies nennt man auch eine Halbgruppe) a) Es gebe ein Element e G mit e a = a für alle a G. Weiter gebe es zu jedem Element a G ein Element a G mit a a = e. Zeige, dass (G, ) damit eine Gruppe ist. b) In G seien die Gleichungen a x = b und y c = d für alle a, b, c, d G eindeutig lösbar. Zeige, dass (G, ) damit eine Gruppe ist. 2.5 Sei K ein Körper, a, b K. Zeige, dass a 2 = b 2 genau dann, wenn a = b a = b gilt. 3

4 2.6 Seien R und R 2 Ringe. Zeige, dass R R 2 mit den Verknüpfungen (r, r 2 ) + (s, s 2 ) := (r + s, r 2 + s 2 ) (r, r 2 ) (s, s 2 ) := (r s, r 2 s 2 ) eine Ring ist. Sind R und R 2 nun zusätzlich Körper. Besitzt R R 2 Nullteiler? Ist R R 2 kommutativ? Besitzt R R 2 ein Einselement? 2.7 Es seien R := { a + b 2 a, b Z } und K := { a + b 2 a, b Q }. Zeige: a) R ist mit diesen Einschränkungen und den Verknüpfungen von R ein Ring. b) K ist mit diesen Einschränkungen und den Verknüpfungen von R ein Körper. 2.8 etwas schwieriger a) (Kleiner Satz von Fermat) Zeige durch Rechnen in K = Z p für eine Primzahl p, dass für x K gilt: x p = x. b) (Satz von Wilson) Zeige, dass in Z p gilt: (p )! =. (Fakultät wie üblich definiert) 2.9 Sei f : (R, +) (R, ) definiert durch f(x) = 2 x. a) Zeige, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist. b) Bestimme kern(f) und Bild(f). 2.0 Sei (G, ) eine Gruppe und a G. Zeige, dass die Abbildung f : G G mit f(b) = a b a einen Isomorphismus von Gruppen darstellt. 2. a) Finde eine Permutation σ S 4 mit min{i > 0 σ i = id} = 4. b) Gib einen injektiven Gruppenhomomorphismus ϕ : Z/4Z S 4 an. 4

5 3 Vektorräume und LGS 3. Wiederholung 3.. Definitionen Wiederhole zuerst folgende Definitionen und Sätze: Lineares Gleichungssystem, Matrix, Vektorraum, Untervektorraum, Abbildung, lineare Abhängigkeit, Dimension, Basis 3..2 Kurzfragen Beantworte kurz die folgenden Fragen: 3.2 Was ist der Unterschied zwischen einem Erzeugendensystem und einer Basis? Gib drei Charakterisierungen des Begriffs der linearen Unabängigkeit an. In welchen Situationen kann man Matrizen verwenden? Gib verschiedene Beispiele für Vektorräume an. Was für Gemeinsamkeiten / Unterschiede gibt es? Welche Struktur hat die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems? Unterscheide zunächst zwischen homogenen und inhomogenen Systemen und verallgemeinere dann die Antwort. Löse das lineare Gleichungssystem über R, Z 3, Z 7 und Z x x 2 = 2 6x + 6x 2 = 4 4x 4x 2 + 3x 3 = Sind folgende Mengen Teilräume des R 3 bzw. R 2? Begründe deine Antwort. Skizziere zuerst die Teilmengen des R 2. Gib für die Teilräume jeweils eine Basis an. a) { x R 3 (x, x 2, x 3 ) = (4x 2, x x 2, 0) } b) { x R 2 x = x 2 x = x 2 } c) { x R 2 x 2 + x 2 2 } d) { x R 2 (x, x 2 ) = (x, ) } 3.4 a) Zeige, dass B := {( ) ( 2, 3 )} {( ) 4 und C := ( 2 b) Bestimme die Koordinaten des Vektors v = 3 ( 2, 3 ) + 2 ( 2 3 )} Basen des Q 2 sind. ) bzgl. der Basis C. 5

6 3.5 Bestimme jeweils die Dimension und eine Basis des erzeugten Teilraums von R 3 : a) {(, 2, ), (2,, ), (7, 4, )} b) {(, 3, 7), (2, 0, 6), (3,, ), (2, 4, 5)} c) {(, 2, 3), (, 3, 2), (2,, 5)} d) {(,, ), (0, 0, 0), (,, )} 3.6 Die Menge C n kann sowohl als Vektorraum über C als auch über R aufgefasst werden. Zeige: a) Eine über C linear unabhängige Menge in C n ist auch über R linear unabhängig. b) Die Elemente ( i, i), (2, + i) C 2 sind linear abhängig über C, aber linear unabhängig über R. c) Finde eine Basis von C 2 über R. 3.7 Für welche a K ist das folgende lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar über dem Körper K? Bestimme alle Lösungen des Systems a) im Fall K = R b) im Fall K = Z 5 c) im Fall K = Z 7 x + x 2 + x 3 = 0 x + 4x 2 + 2x 3 = 3 2x + 3ax 2 + x 3 = 3x + x 2 + x 3 = 0 6

7 4 Homomorphismen und Matrizen 4. Wiederholung 4.. Definitionen Wiederhole zuerst folgende Definitionen und Sätze: Lineare Abbildungen (Homomorphismus), Isomorphismus, Endomorphismus, Automorphismus, Matrix einer Abbildung, Kern, Bild, Rang, Dimensionsformel, Reguläre Matrix 4..2 Kurzfragen Beantworte kurz die folgenden Fragen: 4.2 Wie berechnet man den Rang einer Matrix? Welche Daten braucht man, um die Matrix einer Abbildung aufzustellen? Kann man injektive, surjektive oder bijektive Abbildungen an ihren Matrizen erkennen? Wenn ja, wie? Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründe deine Antwort! Gib ggf. die Matrix bzgl. der Standardbasis an. a) f : R 3 R 3, f (x, y, z) = (x + y + z, x z, 0) b) f 2 : R 3 R 3, f 2 (x, y, z) = (x + y, y + z, x z) c) f 3 : R 2 R 2, f 3 (x, y) = (x 2 + y, x) d) f 4 : Z 2 2 Z 2 2, f 4 (x, y) = (x 2 + y, x) 4.3 Gibt es eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 mit Kern(f) = span Bild(f) span 2 0, Wenn ja, gib eine solche an ? Eine R-lineare Abbildung f : R 2 R 3 habe eine Darstellungsmatrix der Gestalt M := a3 a b 2 mit a, b R. Welche Werte kann die Zahl dim(kern(f)) annehmen? 0, und 7

8 4.5 Bestimme die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung R 3 R 2 (, 0, 0) (3, 7) f : (0,, 0) (, 4) (0, 0, ) (2, 2) bzgl. den Basen {(, 2, ), (, 3, 2), (0, 4, 3)} und {(, 3), (, 2)}. 4.6 Bestimme den Rang der folgenden Matrizen. Beschreiben die Matrizen eine injektive, surjektive, bijektive Abbildungen? a) A := 0 b) A 2 := c) A 3 := d) A 4 := e) A 5 := a) Wie muss man a, b, c R wählen, so dass eine R-lineare Abbildung f : R 3 R 3 existiert mit f(, 0, ) = (0, b, ), f(0,, ) = (a, 2b, 0), f(,, 0) = (3, 0, 2c) und f(3, 2, ) = (a +, 4, 3c)? b) Ist die Abbildung f eindeutig bestimmt? 4.8 Es sei f : R 3 R 3 mit (x, x 2, x 3 ) (x x 2, x 3, x 2 + x 3 ) Bestimme die Darstellungsmatrizen MB B(f), M C C(f), M B C(f) und M C B (f), wobei B := {,, } und C := { 0,, } Dabei sei MB C (f) die Darstellungsmatrix von f von V mit der Basis B nach V mit der der Basis C. 4.9 Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und seien v,..., v m V. Wir würden gerne K- lineare Abbildungen f : V K n mit f(v i ) = e i für i =,..., m und g : K n V mit g(e j ) = v j für j =,..., n definieren.. Unter welchen Voraussetzungen sind f und g wohldefiniert? 2. Unter welchen Voraussetzungen sind f und g für alle Elemente eindeutig bestimmt? 8

9 Gegeben sind zwei Matrizen A K 3 2 und B K 2 3. Sei f die durch A B definierte Abbildung. Untersuche die Erfüllbarkeit der folgenden Aussagen. Gib jeweils ein Beispiel an oder beweise die Unerfüllbarkeit. (a) {f(e ), f(e 2 ), f(e 3 )} ist linear unabhängig. (b) {f(e ), f(e 2 ), f(e 3 )} ist linear abhängig. (c) {f(e ), f(e 2 ), f(e 3 )} ist ein Erzeugendensystem von R Untersuche die entsprechenden Fragen für die durch B A definierte Abbildung g. Sei f : Q 3 Q 3 die Q-lineare Abbildung mit f(e ) = 3 4 und f(e 2 ) = und f(e 3 ) = Gib eine Q-lineare Abbildung g : Q 3 Q 3 an, so dass f g den Vektor 0 auf 4 und 0 0 den Vektor auf 7 abbildet Gib eine Q-lineare Abbildung h : Q 3 Q 3 an, so dass h f den Vektor 0 auf 4 und den Vektor auf 7 abbildet. Sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: 4.3. Bild(f) = Ker(f) 2. f f = 0 und dim(v ) = 2 Rang(f) Bestimme die Darstellungsmatrix der lineare Abbildung R 3 R 2 (, 0, 0) (3, 7) f : (0,, 0) (, 4) (0, 0, ) (2, 2) bzgl. den Basen {(, 2, ), (, 3, 2), (0, 4, 3)} und {(, 3), (, 2)}. 9

10 Wie muss man a, b, c R wählen, so dass eine R-lineare Abbildung f : R 3 R 3 existiert mit f(, 0, ) = (0, b, ), f(0,, ) = (a, 2b, 0), f(,, 0) = (3, 0, 2c) und f(3, 2, ) = (a +, 4, 3c)? 2. Ist die Abbildung f eindeutig bestimmt? Es sei f : R 3 R 3 mit (x, x 2, x 3 ) (x x 2, x 3, x 2 + x 3 ). Bestimme die Darstellungsmatrizen von f bzgl. den Basen B und B, C und C, B und C und C und B, wobei B :=, 2, )undc:= 0,, Gegeben sei ein Homomorphismus f : R 3 R 3 mit Darstellungsmatrix M := bzgl. der Basis E nach Basis E. Dabei sei E die Standardbasis des R Bestimme Basen B, C des R 3, so dass N := 0 0 die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basis B nach C ist. Weiter bestimme reguläre Matrizen S, T mit N = SMT Es sei eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 durch M = 2 2 gegeben. 7. Zeige, dass ker(f f) = ker(f) gilt. 2. Dann gibt es eine Basis B, bzgl. der es ein k {0,, 2, 3} gibt mit Darstellungsmatrix A = (a ij ) von f bzgl. der Basis B nach B, wobei a ij = 0 für i k j k. Bestimme das maximale k mit dieser Eigenschaft und die zugehörige Basis B. 3. Gib 2 weitere Matrizen von Abbildungen mit verschiedenen Rängen, für die ker(f f) = ker(f) gilt Seien A = 0,, sowie B = 0,, 3 Basen des R3. Sei g : R R 3 die durch definierte Abbildung. g(x, y, z) = (2x 5z, x + 2y 2z, 3x + y + 4z) T. Bestimme die Darstellungsmatrix M von g bezüglich der Basis A im Definitions- und B im Zielraum. 0

11 2. Wie ändert sich M, wenn man in B den Vektor ersetzt? durch Es sei A = 2 2 sowie v =, v 2 = 2, v 3 = Berechne A. 2 bzw. 0 3 durch 4 2. Es sei B = {v, v 2, v 3 } eine Basis des R 3. Wie lauten die Koordinaten des Vektors der bezüglich der Standardbasis die Koordinaten (2, 3, 5) T hat? Eine lineare Abbildung sei bzgl. der Standardbasis gegeben durch C = Berechne die Matrix dieser Abbildung bzgl. der Basis B.

12 5 Determinanten. Invertierbarkeit und Basiswechsel 5. Wiederholung mit Kurzfragen Beantworte kurz die folgenden Fragen: 5.2 Woran erkennt man, ob eine Matrix invertierbar ist? Gib notwendige und hinreichende Bedingungen an. Welche Typen von Elementarmatrizen gibt es? In welchen Situationen kann man sinnvoll Elementarmatrizen anwenden? Was passiert bei Multiplikation einer Matrix mit Elementarmatrix von links? Was passiert bei Multiplikation von rechts? Betrachte das Verfahren zur Invertierung einer Matrix. Kann man in diesem Verfahren auch Spaltenoperationen statt Zeilenumformungen verwenden? Kann man Spalten- und Zeilenoperationen beide verwenden? Warum kann eine Abbildung verschiedene Matrizen haben? Wie hängen zwei verschiedene Matrizen einer Abbildung zusammen? Ändert sich der Rang einer Matrix durch Multiplikation mit einer invertierbaren Matrix A? Wenn ja, warum; wenn nein, warum nicht? Gib zwei praktische Anwendungen der Determinante an. Was sagt die Determinante über die Abbildung aus, die durch die Matrix beschrieben wird? Sei f : V V ein Homomorphismus, B eine Basisfolge von V. Hängt det(mb B (f)) von B ab? Wenn ja, warum, wenn nein, warum nicht? Berechne die Determinanten der Matrizen: a) A := c) B := a b a + b b a + b a a + b a b Q 3 3 b) C := K 3 3 x a a a a x a a d) D := K n n a a x a a a a x Z

13 5.3 a) Löse das lineare Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel. 2x x 2 = 2 6x + 6x 2 = 4 4x 4x 2 + 3x 3 = b) Berechne die Inverse der Matrix A = mit der Cramerschen Regel. 5.4 Stelle die Matrix der Ableitung als Abbildung von den Polynomen von Grad höchstens 3 auf die Polynome vom Grad höchstens 2 bzgl. verschiedener Basen der beiden Räume auf. Bestimme dann auch die Basiswechselmatrizen. 5.5 a) Zeige, dass gilt: = I 3 b) Sei B = 2, 2, 2 2 = {v, v 2, v 3 } eine Basis des R Berechne die Koordinaten von x = 2e + 3e 2 + 5e 3 bzgl. der Basis B. c) Eine lineare Abbildung sei bzgl. der Standardbasis gegeben durch Berechne die Matrix dieser Abbildung bzgl. der Basis B. 5.6 Sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Sei f : V V ein Automorphismus mit f 2 = f. Zeige, dass der Endomorphismus f id V nicht invertierbar ist. 3

14 5.7 Überprüfe, ob die Matrix A invertierbar ist: a) K = Z b) Für a R, K = R c) K = R, Z 3, Z 7 und Z 3 a a a A = Zeige oder widerlege die folgenden Behauptungen für einen bel. Körper K: a) Für A = (a ij ) K n n mit a ij = δ j i gilt det(a) = ( )n (n ). b) Sei B = (b ij ) K n n schiefsymmetrisch, d.h. A = A. Dann gilt: n ungerade det(b) = 0. { i = j + i = j c) Sei C n = (c ij ) K n n mit c ij =. 0 sonst { 0 n ungerade Dann gilt det(c n ) = n gerade 5.9 Sei A K k k, B K n n und C K k n. Behauptung: (( )) A C det = det(a) det(b) 0 B Dabei bezeichne 0 die (n k)-nullmatrix. a) Zeige die Behauptung durch direktes Nachrechnen. b) Zeige die Behauptung mit Induktion nach k. 4