Einführung in die Theoretische Informatik. Inhalte der Lehrveranstaltung. Definition (Boolesche Algebra) Einführung in die Logik

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1 Zusammenfassung Einführung in die Theoretische Informatik Woche 5 Harald Zankl Institut für UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung der letzten LV Jede binäre Operation hat maximal ein neutrales Element. In einem Monoid ist das Inverse eines Elements eindeutig (wenn es existiert). (Boolesche Algebra) Eine Algebra B = B; +,,, 0, 1 heißt Boolesche Algebra wenn gilt: 1 B; +, 0 und B;, 1 sind kommutative Monoide 2 Die Operationen + und distribuieren übereinander. Es gilt also für alle a, b, c B: a (b + c) = (a b) + (a c) a + (b c) = (a + b) (a + c) 3 Für alle a B gilt a + a = 1 a a = 0 Das Element a heißt das Komplement oder die Negation von a HZ (IFI) ETI - Woche 5 68/213 Zusammenfassung Überblick Inhalte der Lehrveranstaltung Für jede Menge M ist die Mengenalgebra P(M);,,,, M eine Boolesche Algebra. Die binäre Algebra B; +,,, 0, 1 ist eine Boolesche Algebra. Einführung in die Logik Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen Einführung in die Algebra Boolesche Algebra,, Logische Schaltkreise Die Algebra Frm ist eine Boolesche Algebra Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie Sprachen Einführung in die Berechenbarkeitstheorie Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen Einführung in die Programmverifikation Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare, Verschlüsselung und Sicherheit HZ (IFI) ETI - Woche 5 69/213 HZ (IFI) ETI - Woche 5 70/213

2 Sei B := {0, 1} und sei B n das n-fache kartesische Produkt von B: B n = {(a 1,..., a n ) a i B}; wir betrachten B n ; +,,, (0,..., 0), (1,..., 1) 1 (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ) 2 (a 1,..., a n ) (b 1,..., b n ) = (a 1 b 1,..., a n b n ) 3 (a 1,..., a n ) = (a 1,..., a n ) wobei +: B B B, : B B B und : B B wie in der binären Algebra Für jedes n N ist die oben definierte Algebra ist eine Boolesche Algebra. Algebra der Booleschen Funktionen Sei Abb die Menge der Abbildungen von B n nach B m wir betrachten Abb; +,,, (0,..., 0), (1,..., 1) 1 (0,..., 0): (a 1,..., a n ) (0,..., 0) 2 (1,..., 1): (a 1,..., a n ) (1,..., 1) 3 (f + g)(a 1,..., a n ) = f (a 1,..., a n ) + g(a 1,..., a n ) 4 (f g)(a 1,..., a n ) = f (a 1,..., a n ) g(a 1,..., a n ) 5 f (a 1,..., a n ) = f (a 1,..., a n ) Diese Algebra nennt man Algebra der n-stelligen Booleschen Funktionen Die Algebra der n-stelligen Booleschen Funktionen ist eine Boolesche Algebra. HZ (IFI) ETI - Woche 5 71/213 HZ (IFI) ETI - Woche 5 72/213 Gesetze Boolescher Algebren (Dualitätsprinzip) 1 Sei B eine Boolesche Algebra 2 Für Boolesche Ausdrücke E und F gelte E F in B Dann gilt eine entsprechende Gleichheit E F in B bei der alle Vorkommnisse von + durch (und umgekehrt) ersetzt sowie 0 und 1 vertauscht werden. Im Folgenden sei B = B; +,,, 0, 1 eine Boolesche Algebra. Für alle a B gelten die Idempotenzgesetze: a a = a und die folgenden Gesetze für 0 und 1: a + a = a 0 a = a = 1 HZ (IFI) ETI - Woche 5 73/213 Für alle a, b B gelten die Absorptionsgesetze: a + ab = a a + ab = a + b a(a + b) = a a(a + b) = ab ➀ Für alle a, b B gilt die Eindeutigkeit des Komplements: Beweis. Gelte a + b = 1 und ab = 0 Wenn a + b = 1 und ab = 0, dann b = a b = b1 = b(a + a) = ba + ba = 0 + ba da ab = 0 = aa + ba = (a + b)a = 1a da a + b = 1 = a HZ (IFI) ETI - Woche 5 74/213

3 Für alle a B gilt das Involutionsgesetz: a = a Beweis. Nach einer Booleschen Algebra ist 1 a + a = 1 und a a = 0 (a ist Komplement von a) 2 a + a = 1 und a a = 0 (a ist Komplement von a) Da + und kommutativ folgt aus 1, dass 3 a + a = 1 und a a = 0 (a ist Komplement von a) Nun folgt aus 2, 3 und ➀, dass a = a. Für alle a, b B gelten die Gesetze von de Morgan: a + b = a b a b = a + b HZ (IFI) ETI - Woche 5 75/213 Beweis (der Gesetze von de Morgan) Wir zeigen (a + b) + a b = 1: (a + b) + a b = (a + b + a)(a + b + b) = (a + a + b)(a + b + b) = (1 + b)(a + 1) = 1 1 = 1 Wir zeigen (a + b) a b = 0: (a + b) a b = a a b + b a b = a a b + a b b = 0 b + a 0 = = 0 Die Voraussetzungen von ➀ sind gezeigt Somit ist a b das Komplement von a + b HZ (IFI) ETI - Woche 5 76/213 Sei B = {0, 1} und sei B n das n-fache kartesische Produkt von B (Boolesche Funktion) 1 Sei F ein Boolescher Ausdruck in den Variablen x 1,..., x n und 2 F (s 1,..., s n ) die Instanz von F, die x i durch s i ersetzt 3 Wir definieren die Funktion f : B n B wie folgt: f (s 1,..., s n ) := F (s 1,..., s n ). Dann heißt f die Boolesche Funktion zum Ausdruck F (Boolesche Algebra Frm = Frm;,,, False, True ) Sei F = x 1 (x 2 x 1 ). Dann ist f : B 2 s B 1 s 2 f (s 1, s 2 ) g(s 1, s 2 ) die Boolesche Funktion zum Ausdruck F Sei G = x 1 x 2 x 2. Dann ist g : B 2 B die Boolesche Funktion zum Ausdruck G Sei f : B n B eine Boolesche Funktion 2 Sei F ein Boolescher Ausdruck, dessen Boolesche Funktion gleich f Dann nennen wir F den Booleschen Ausdruck von f Satz (Darstellungssatz von Stone) Jede Boolesche Algebra ist isomorph zu einer Mengenalgebra Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke 2 Seien f, g ihre Booleschen Funktionen Dann gilt F G gdw. f = g in der Algebra der n-stelligen Booleschen Funktionen. HZ (IFI) ETI - Woche 5 77/213 HZ (IFI) ETI - Woche 5 78/213

4 (Konjunktive und Disjunktive Normalformen) 1 Ein Literal ist eine Boolesche Variable x oder ihre Negation x 2 Ein Summenterm ist ein Boolescher Ausdruck der Gestalt wobei l i Literale l l n 3 Ein Produktterm ist ein Boolescher Ausdruck der Gestalt wobei l i Literale l 1... l n 4 Boolescher Ausdruck F ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn F das Produkt von Summentermen 5 Boolescher Ausdruck F ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn F die Summe von Produkttermen Satz Jeder Boolesche Ausdruck hat eine konjunktive beziehungsweise eine disjunktive Normalform HZ (IFI) ETI - Woche 5 79/213 (Signatur) Eine Signatur F ist eine Menge von Funktionssymbolen (Symbolen für Operationen) Jedem f F ist eine Stelligkeit n zugeordnet Symbole mit Stelligkeit 0 werden Konstanten genannt Sei F eine Signatur und sei V eine (unendliche) Menge von Variablen (Terme) Die Menge T(F, V) aller Terme (über F) ist induktiv definiert: 1 Jedes Element von V ist ein Term 2 Wenn f F mit Stelligkeit n sowie t 1,..., t n Terme, dann ist auch f (t 1,..., t n ) ein Term (beachte Spezialfall: n = 0) HZ (IFI) ETI - Woche 5 80/213 Substitutionen (Substitution) Eine Substitution ist eine Abbildung σ : V T(F, V) Wir schreiben σ oft als Menge {x σ(x) x V, x σ(x)} Erweiterung einer Substitution σ auf Terme σ : T(F, V) T(F, V) mit { σ(t) wenn t V σ(t) := f (σ(t 1 ),..., σ(t n )) wenn t = f (t 1,..., t n ) Sei F = {+,,, 0, 1} eine Signatur und sei V = {x 1, x 2,... }; betrachte x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 2 (x 3 + x 4 ) x 1 (x 3 + x 4 ) zurück σ = {x 1 x 2, x 2 x 3 + x 4 } Substitutionen (2) und Gleichungen Fakt Die Anwendung (der Erweiterung) einer Substitution σ auf einen Term ersetzt simultan alle Variablen x durch ihr Bild σ(x). Konvention Im Folgenden bezeichnen wir die Erweiterung σ einer Substitution σ, wiederum mit σ. (Gleichung) Eine Gleichung (über der Signatur F) ist ein Paar (s, t) von Termen (über F). Wir schreiben s t für Gleichungen. Verwechslungsgefahr mit Äquivalenz! σ(x 1 x 2 ) = x 2 (x 3 + x 4 ) σ(x 2 + x 3 ) = (x 3 + x 4 ) + x 3 HZ (IFI) ETI - Woche 5 81/213 HZ (IFI) ETI - Woche 5 82/213

5 Gleichungslogik Sei E eine Menge von Gleichungen (Gleichungslogik) [r] E t t [t] [s] [a] E t s s t E [i] [k] E t u E s u E σ(s) σ(t) σ eine Substitution E s 1 t 1... E s n t n E f (s 1,..., s n ) f (t 1,..., t n ) Wir schreiben, wenn s t syntaktisch aus E folgt, dh. es einen Beweis in der Gleichungslogik gibt. e zur Universellen Algebra e zur Universellen Algebra e 1 Wir betrachten die Signatur F = {+, s, 0}. Stelligkeit von 0 ist 0, Stelligkeit von s ist 1, Stelligkeit von + ist 2 (wir schreiben + oft infix) 2 Wir betrachten die Menge von Variablen V = {x, y,...} 3 Die folgenden Ausdrücke sind Terme in T(F, V) x +(x, y) +(s(x), y) 0 + s(y) s(s(0) + s(0)) s(s(s(0))) 4 Dann ist s(s(0) + s(0)) s(s(s(0))) eine Gleichung. 5 Wir betrachten die Substitution σ : V T(F, V) { x + y z = x σ(z) = z sonst Wir schreiben σ als {x x + y}. HZ (IFI) ETI - Woche 5 83/213 HZ (IFI) ETI - Woche 5 84/213 e zur Universellen Algebra [a] [k] s t E [s] E t s E s 1 t 1... E s n t n E f (s 1,..., s n ) f (t 1,..., t n ) Wir betrachten die Menge der Gleichungen E [t] [i] 0 + x x s(x) + y s(x + y) Dann gilt E s(s(0) + s(0)) s(s(s(0))), da s(x) + y s(x + y) E E s(x) + y s(x + y) [a] E s(0) + s(0) s(0 + s(0)) [i], σ 1 E t u E s u E σ(s) σ(t) 0 + x x E E 0 + x x [a] E 0 + s(0) s(0) [i], σ 2 E s(0 + s(0)) s(s(0)) [k] [t] E s(0) + s(0) s(s(0)) E s(s(0) + s(0)) s(s(s(0))) [k] Hier verwenden wir σ 1 = {x 0, y s(0)} und σ 2 = {x s(0)}. HZ (IFI) ETI - Woche 5 85/213