Lernunterlagen Vektoren in R 2

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lernunterlagen Vektoren in R 2"

Transkript

1 Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet man auch als Vektor mit den Koordinaten a 1, a 2 oder als Vektor aus R 2. Definition: Gleichheit von Vektoren aus R 2 Sind a 1, a 2 und b 1,b 2 reelle Zahlen, dann gilt: a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 Zwei Vektoren sind also nur dann gleich, wenn die Zahlenpaare die selben Werte enthalten und diese Werte auch in der gleichen Reihenfolge vorkommen. Definition: Summe, Differenz und Vielfache von Vektoren aus R 2 Es seien a a 1 a 2, b b 1 b 2 Vektoren aus R2 und r R. Man setzt: a b a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a b a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 r a r a 1 r a 2 Definition: Nullvektor und Gegenvektor 1. Der Vektor o 0 heißt der Nullvektor in R Ist a a 1 a 2, dann heißt der Vektor a a 1 der inverse Vektor zu a. a 2 der Gegenvektor von a oder

2 Darstellung von Vektoren aus R 2 als Punkte oder Pfeile Man kann Zahlenpaare a 1 a 2 als Punkt in einer Ebene darstellen. Man kann dieses Zahlenpaar aber auch als Pfeil darstellen. Dazu wählt man einen beliebigen Anfangspunkt, bewegt sich dann um a 1 Einheiten in Richtung der x-achse (Vorzeichen beachten) und anschließend um a 2 Einheiten in Richtung der y- Achse (wieder in Abhängigkeit vom Vorzeichen) Da der Anfangspunkt eines Pfeils beliebig gewählt werden kann, gibt es unendlich viele Möglichkeiten, das Zahlenpaar a 1 a 2 durch entsprechende Pfeile darzustellen. Alle diese Pfeile sind gleich lang, zueinander parallel und haben die selbe Richtung. Jedem Vektor (Zahlenpaar) aus R 2 entspricht genau ein Punkt der Ebene. Umgekehrt entspricht jedem Punkt der Ebene genau ein Vektor (Zahlenpaar) aus R 2. Jedem Vektor (Zahlenpaar) aus R 2 entsprechen unendlich viele Pfeile der Ebene, die alle gleich lang, zueinander parallel und gleich gerichtet sind. Umgekehrt entspricht jedem Pfeil der Ebene genau ein Vektor (Zahlenpaar) aus

3 R 2. Berechnung eines Vektors aus Anfangs- und Endpunkt Gegeben seien die Punkte A a 1 a 2 und B b 1 b 2. Aus der nebenstehenden Abbildung ist zu erkennen, dass der Vektor AB dem Zahlenpaar b 1 a 1 b 2 a 2 entspricht. Der Vektor AB ergibt sich also aus der Differenz von Endpunkt B und Anfangspunkt A. Für all A, B R 2 gilt: AB B A Die Operation AB B A ist so zu verstehen, dass sowohl AB, als auch die Punkte A und B als Zahlenpaare zu betrachten sind. Die Differenz von Zahlenpaaren ergibt wieder ein Zahlenpaar. Aus der Beziehung AB B A ergibt sich der folgende Für all A, B R 2 gilt: 1. AB BA 2. A AB B 3. AB BC AC Beweis: ad 1) ad 2) AB B A A B BA

4 ad 3) AB B A A A AB B AB BC B A C B B A C B A C AC Die Addition zweier Vektoren AB und BC kann so interpretiert werden, dass der Vektor BC an den Vektor AB angehängt wird. Der Ergebnisvektor entspricht dem Pfeil vom Anfangspunkt des Vektors AB zum Endpunkt des Vektors BC. Parallelogramm- und Differenzregel Seien a und b Vektoren, die als Pfeile mit gleichem Anfangspunkt dargestellt seien. Parallelogrammregel: die Summe a b entspricht dem vom gemeinsamen Ausgangspunkt ausgehenden Pfeil entlang der Diagonale des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Differenzregel: die Differenz b a entspricht dem Pfeil vom Endpunkt des Vektors zum Endpunkt des Vektors b a

5 Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Der Multiplikation einer Vektors o mit einer reellen Zahl r entspricht eine Streckung (Stauchung) jedes zugehörigen Pfeils mit dem Faktor r. Bei einer Multiplikation eines Vektors a mit einer reellen Zahl r 0 wird der Vektor um den Faktor r gestreckt. Bei einer Multiplikation mit einem Faktor r 0 wird der Vektor ebenfalls um den Faktor r gestreckt, allerdings wird seine Richtung umgekehrt. Bei Multiplikation mit r 0 wird der Vektor a auf den Nullvektor reduziert. Parallele und normale Vektoren in R 2 Definition: parallele Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und b aus R 2 parallel, wenn die zugehörigen Pfeile parallel sind. heißen zueinander

6 Sind die Vektoren a und b zueinander parallel, schreiben wir a b Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und b aus R 2 zueinander parallel, wenn es ein r R gibt, sodass b r a. sind genau dann Sind zwei Vektoren zueinander parallel, dann bilden, wie in der nebenstehenden Abbildung gezeigt, ihre Pfeile ähnliche Dreiecke. Aus der Ähnlichkeit folgt: Damit gilt: b 1 : a 1 b 2 : a 2 r b 1 r a 1 b 2 r a 2} v b r v a Definition: normale Vektoren (Normalvektor) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und b aus R 2 heißen zueinander normal, wenn die zugehörigen Pfeile aufeinander normal stehen. Sind die Vektoren a und b zueinander normal, schreiben wir a b Ist a ein vom Nullvektor verschiedener Vektor aus R 2, dann sind die Vektoren a 2 a 1 und a 2 a 1 Normalvektoren dieses Vektors.

7 Wie aus nebenstehender Abbildung zu erkennen ist, gehen die zu den Normalvektoren n 1 und n 2 gehörigen Dreiecke aus dem zum Vektor a gehörigen Dreieck durch eine Drehung um -90 bzw. um +90 hervor. Betrag eines Vektors, Abstand zweier Punkte Definition: Unter dem Betrag eines Vektors a a 1 a 2 R2 a a 1 2 a 2 2. Der Betrag des Vektors entspricht der Länge des Pfeils. versteht man Der Vektor a bildet mit seinen Komponenten a 1 und a 2 ein rechtwinkeliges Dreieck, wobei die Komponenten a 1 und a 2 die Katheten und der Pfeil a die Hypothenuse bilden. Entsprechend des Satzes von Pythagoras errechnet sich die Länge der Hypothenuse (also der Pfeil a ) aus a 1 2 a 2 2

8 Seien A und B zwei Punkte der Ebene, dann gilt: AB AB B A Für alle a R 2 Beweis: und alle r R gilt: r a r a r a r a 1 a 2 r a 1 r a 2 r a 1 2 r a 2 2 r 2 a 1 2 a 22 r a a 2 a r a Mit der Definition des Vektorbetrages und der Parallelogrammregel für die Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion folgt der Dreiecksungleichung für die Vektoraddition: a b a b Dreiecksungleichung für die Vektorsubtraktion: a b a b Einheitsvektor Definition: Einheitsvektor Der Vektor a 0 1 a a heißt der zu a gehörige Einheitsvektor. Der Einheitsvektor hat stets die Länge 1. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Einheitsvektors. a 0 1 a a 1 a a 1

9 Skalares Produkt von Vektoren Definition: Für zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und b aus R 2 heißt die Zahl a 1 b 1 a 2 b 2 das skalare Produkt der Vektoren a und b. Wir schreiben: a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 a b Orthogonaltätskriterium für Vektoren Zwei Vektoren a und b sind genau dann zueinander orthogonal (sind normal zueinander), wenn ihr skalares Produkt verschwindet, d.h.: a b a b 0 Rechengesetze für das Skalarprodukt Für alle Vektoren a, b und c R 2 1. a b b a 2. a b c a c b c 3. r a b r a b und alle r R gilt: Beweis: ad 1) ad 2) a b a 1 b 1 a 2 b 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b a

10 ad 3) a b c a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 b 1 a 2 b 2 c 1 c 2 c 1 a 1 c 1 b 1 c 2 a 2 c 2 b 2 c 1 a 1 c 2 a 2 c 1 b 1 c 2 b 2 a c b c r a b r a 1 r a 2 b 1 b 2 r a 1 b 1 r a 2 b 2 r a 1 b 1 a 2 b 2 r a b a b Auf der Basis dieser Rechengesetze für das Skalarprodukt lassen sich die folgenden Rechengesetze ableiten: Für alle Vektoren a, b c, d R 2 1. a b c a b a c 2. a b c a b a c 3. r a b a r b r a b 4. r a s b r s a b und alle r, s R gilt: 5. a b 2 a 2 2 a b b 2 6. a b 2 a 2 2 a b b 2 7. a a 2 8. a 2 a 2 Vorzeichen des Skalarproduktes a b 0 cos

11 a b 0 cos 0 90 a b 0 cos Winkel zwischen zwei Vektoren Der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b ist gegeben durch: cos a, b a b a b a a b b a 0 b 0 Normalprojektion eines Vektors auf einen anderen Vektor Die Normalprojektion ba des Vektors b auf den Vektor a hat die orientierte Länge Der Vektor selbst hat die Darstellung p b a b cos a, b b a 0 b a p b a a 0

12 Parameterdarstellung einer Geraden Definition: Sind P und Q zwei verschiedene Punkte einer Geraden g, dann nennt man den Vektor g PQ einen Richtungsvektor von g. Ist g eine Gerade in R 2. P ein Punkt auf g und g ein Richtungsvektor von g, dann gilt: X g t R : X P t g Die Vektorgleichung g. X P t g nennt man eine Parameterdarstellung der Geraden Jedem Parameterwert t R entspricht genau ein Punkt auf der Geraden. Umgekehrt kann zu jedem Punkt auf der Geraden g ein Parameterwert gefunden werden. Da die Punkte P und Q beliebig gewählt werden können, gibt es beliebig viele Möglichkeiten, eine Parameterdarstellung für die Gerade g zu finden. Lagebeziehungen zweier Geraden parallele Geraden g h : g h {} G h H g s R : v g s v h Kein Punkt von g liegt in h und umgekehrt. Der Richtungsvektor von h lässt sich als Vielfaches von v g darstellen, d.h. die Richtungsvektoren sind zueinander parallel.

13 identische Geraden g h : g h g h G h H g s R : v g s v h Jeder Punkt von g liegt auch in h und umgekehrt. Der Richtungsvektor von h lässt sich als Vielfaches von v g darstellen, d.h. die Richtungsvektoren sind zueinander parallel. schneidende Geraden g h : g h {S} s R : v g s v h Der Richtungsvektor von h lässt sich nicht als Vielfaches von v g darstellen, d.h. die Richtungsvektoren sind nicht parallel zueinander. Es gibt nur einen Punkt S, der auf beiden Geraden liegt. Beschreibung von Geraden durch Punkt und Normalvektor Definition: Ein Vektor n heißt ein Normalvektor der Geraden g, wenn n zu allen Richtungsvektoren von g normal ist. Der Richtungsvektor v g der Geraden g ist gegeben durch v g X P. Für den Richtungsvektor v g und den Normalvektor nv g gilt die Beziehung: nv g X P 0 nv g X nv g P 0 nv g X nv g P Setzen wir für X x 1 x 2 und P p 1 p 2 dann erhalten wir:

14 n 1 n 2 x 1 x 2 n 1 n 2 p 1 p 2 n 1 x 1 n 2 x 2 n 1 p 1 n 2 p 2 n 0 Verwenden wir für n 1 p 1 n 2 p 2 n 0, dann vereinfacht sich die obige Gleichung zu n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 Damit gilt der folgende Ist g eine Gerade in R 2, die den Punkt P p 1 p 2 enthält und den Vektor n n 1 n als Normalvektor hat, dann gilt: X g n X n P bzw. x y g n 1 x n 2 y n 0 mit n 0 n 1 p 1 n 2 p 2 Die Gleichung n X n P bzw. n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 nennt man die Normalvektordarstellung der Geraden g. Parameterdarstellung allgemeine Geradengleichung Eine Gerade, gegeben durch die Parameterdarstellung X p 1 p 2 t g 1 g 2 beiden linearen Gleichungen: x 1 p 1 t g 1 x 2 p 2 t g 2, liefert die Durch Elimination des Parameters t erhalten wir: x 1 p 1 t g 1 g 2 x 2 p 2 t g 2 g 1 g 2 a g 2 x 1 g 2 p 1 t g 1 g 2 g 1 x 2 g 1 p 2 t g 1 g 2 b c x 1 g 1 x 2 g 2 p 1 g 1 p 2 Setzen wir a g 2, b g 1 und c g 2 p 1 g 1 p 2 dann erhalten wir eine lineare Gleichung der Form:

15 a x 1 b x 2 c Allgemeine Geradengleichung Hauptform Ist die Gleichung einer Geraden in der allgemeinen Form a x b y c kann sie wie folgt in die Hauptform y k x d überführt werden: a x b y c ax b y a x c b y a x b c b k d Indem man für k a b und für d c setzt lässt sich eine Gerade in der allgemeinen b Form a x b y c auf die Hauptform y k x d bringen. Hauptform Parameterdarstellung Steigungs- Richtungsregel: Zwischen der Steigung k und jedem Richtungsvektor a einer Geraden besteht der Zusammenhang: a s 1 mit s R {0} k Abstand eines Punktes von einer Geraden

16 Unter dem Abstand eines Punktes von einer Geraden versteht man den Normalabstand d. Dieser Abstand ergibt sich als Projektion des Vektors AP auf einen Normalvektor n g und lässt sich wie folgt berechnen: HESSE'sche Formel für den Abstand eines Punktes von der Geraden g : d P, g AP n 0

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der

Mehr

Lineare Algebra und Computer Grafik

Lineare Algebra und Computer Grafik Lineare Algebra und Computer Grafik Vorlesung an der Hochschule Heilbronn (Stand: 7 Mai ) Prof Dr V Stahl Copyright 6 by Volker Stahl All rights reserved Inhaltsverzeichnis Vektoren 4 Vektoren und Skalare

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Vektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren

Vektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren Vektorgeometrie Version: 28. Dezemer 2007 Bitte nur für den Eigengerauch verwenden) mathenachhilfe.ch. Mathematische Operationen für Vektoren Addition + a + 3 = a + + + 3 + Sutraktion a 3 = a 3 Skalare

Mehr

Geometrische Maße oder,... wie kann man quantitative Aussagen über geometrische Objekte erhalten?

Geometrische Maße oder,... wie kann man quantitative Aussagen über geometrische Objekte erhalten? In der euklidischen Geometrie der Mittelstufe ging es zumeist um geometrische Konstruktionen und um qualitative Aussagen über geometrische Objekte in Bezug zueinander. Möchte man, insbesondere im dreidimensionalen

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT Alle aufgeführten Kurse sind 100 % kostenfrei und können unter http://www.unterricht.de abgerufen werden. ANALYSIS / INFINITESIMALRECHNUNG Nullstellen * Nullstellen einer

Mehr

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Einführung in die Vektorgeometrie und Lineare Algebra

Einführung in die Vektorgeometrie und Lineare Algebra Vektorgeometrie und Lineare Algebra 1 Einführung in die Vektorgeometrie und Lineare Algebra Anhang: Anleitung zur Nutzung des Computer-Algebra-Systems MAPLE in der Linearen Algebra Prof. Siegfried Krauter

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Leitprogramm Vektorgeometrie

Leitprogramm Vektorgeometrie Leitprogramm Vektorgeometrie Torsten Linnemann Pädagogische Hochschule FHNW Gymnasium Oberwil E-mail:torsten.linnemann@fhnw.ch 18. September 2011 Dank: Ich danke der Klasse 4aL, Kantonsschule Solothurn,

Mehr

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter Vorwort Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8 sowie im Buchhandel. Carl Hanser

Mehr

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x =

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x = WERRATALSCHULE HERINGEN KOMPENSATION MATHEMATIK JG. 11 1 Lineare Gleichungen Das Lösen linearer Gleichungen ist eine wichtige Rechenfertigkeit, die immer wieder gefordert wird und für den Mathematikunterricht

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

5. Komplexe Zahlen. 5.1 Was ist eine Zahl?

5. Komplexe Zahlen. 5.1 Was ist eine Zahl? 5. Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form a + bi, wo a und b reelle Zahlen sind und i = 1 ist. Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es nicht, wird man da antworten, und in der Tat gibt es keine

Mehr

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal

Mehr

Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung

Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Amina Duganhodzic Proseminar: Mathematisches Problemlösen Unter der Leitung von Privat Dozentin Dr. Natalia Grinberg 26. Juni

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Mathematik Berufskolleg zur Erlangung der Fachhochschulreife

Mathematik Berufskolleg zur Erlangung der Fachhochschulreife Mathematik Berufskolleg zur Erlangung der Fachhochschulreife INHALTSVERZEICHNIS. GRUNDLAGEN. DAS KOORDINATENSYSTEM. DARSTELLUNG VON GERADEN. SEITENVERHÄLTNISSE IM RECHTWINKLIGEN DREIECK 4. WEITERE GERADENGLEICHUNGEN

Mehr

Staatlich geprüfte Techniker

Staatlich geprüfte Techniker Auszug aus dem Lernmaterial ortbildungslehrgang Staatlich geprüfte Techniker Auszug aus dem Lernmaterial Maschinenbautechnische Grundlagen DAA-Technikum Essen / www.daa-technikum.de, Infoline: 001 83 16

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Abitur 2011, Analysis I

Abitur 2011, Analysis I Abitur, Analysis I Teil. f(x) = x + 4x + 5 Maximale Definitionsmenge: D = R \ {,5} Ableitung: f (4x + 5) (x + ) 4 8x + 8x (x) = (4x + 5) = (4x + 5) = (4x + 5). F(x) = 4 x (ln x ); D F = R + F (x) = 4 x

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Mathematik für das Ingenieurstudium Lösungen der Aufgaben. 4. Dezember 2014

Mathematik für das Ingenieurstudium Lösungen der Aufgaben. 4. Dezember 2014 Mathematik für das Ingenieurstudium Lösungen der Aufgaben Jürgen Koch Martin Stämpfle 4. Dezember 4 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5 Lineare Gleichungsssteme 9 Vektoren 7 4 Matrizen 5 Funktionen 9 6 Differenzialrechnung

Mehr

Übungsbuch Algebra für Dummies

Übungsbuch Algebra für Dummies ...für Dummies Übungsbuch Algebra für Dummies von Mary Jane Sterling, Alfons Winkelmann 1. Auflage Wiley-VCH Weinheim 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 527 70800 0 Zu Leseprobe

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft.

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft. Vorlesung 1 Einführung 1.1 Praktisches Zeiten: 10:00-12:00 Uhr Vorlesung 12:00-13:00 Uhr Mittagspause 13:00-14:30 Uhr Präsenzübung 14:30-16:00 Uhr Übungsgruppen Material: Papier und Stift wacher Verstand

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II

Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II Robert Geretschläger Graz, Österreich, 2009 Blatt 1 Lösen quadratischer Gleichungen mit Zirkel

Mehr

Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns!

Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns! Aufgaben und Lösungen. Runde 04 Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen n freuen wir uns!» KORREKTURKOMMISSION KARL FEGERT» BUNDESWETTBEWERB MATHEMATIK Kortrijker Straße, 577 Bonn Postfach 0 0 0, 5 Bonn

Mehr

ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009

ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 7. Februar 2009 1 Grenzwerte und Folgen 1. Unterschied arithmetische Folge zu geometrische Folge 2. Rekursive Darstellung von Zerfalls- und Wachstumsvorgängen (a) lineares

Mehr

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches Annelie Heuser, Jean-Luc Landvogt und Ditlef Meins im 1. Semester Komplexe Zahlen Will man nur addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, kommt man uneingeschränkt mit reellen Zahlen aus.

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage

Mehr

Didaktischer Kommentar: Vektorrechnung in der Ebene, Teil 1

Didaktischer Kommentar: Vektorrechnung in der Ebene, Teil 1 Didaktischer Kommentar: Vektorrechnung in der Ebene, Teil 1 Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in die Grundlagen der Vektorrechnung. Durch interaktive Applets, Übungen und Aufgaben mit Lösungen sollen

Mehr

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW)

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW) Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) 5. Übung (5. KW) Aufgabe 1 (Achterbahn) Start v h 1 25 m h 2 2 m Ziel v 2? v 1 Welche Geschwindigkeit erreicht die Achterbahn in der Abbildung, wenn deren

Mehr

( -1 2 ) -2. Gesamtschule Duisburg-Mitte. Abbildungen. Affine Abbildungen. 1. Spiegelung an den Koordinatenachsen A( 1 / 4 ) -> A'( -1 / 5 )

( -1 2 ) -2. Gesamtschule Duisburg-Mitte. Abbildungen. Affine Abbildungen. 1. Spiegelung an den Koordinatenachsen A( 1 / 4 ) -> A'( -1 / 5 ) Duisurg-Mitte e/04 Aildungen Im zweidimensionalen Raum werden Figuren durch Rechen- / Aildungsvorschriften auf andere Figuren ageildet. Die ursprünglichen Figuren werden mit Buchstaen A,B,C usw. enannt,

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN Liebe Schülerinnen und Schüler, wie schnell man einen bereits einmal gekonnten Stoff wieder vergisst, haben Sie sicherlich bereits schon

Mehr

Grundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung

Grundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung Vortrag zu Mathematik, Geometrie und Perspektive von Prof. Dr. Bodo Pareigis am 15.10.2007 im Vorlesungszyklus Naturwissenschaften und Mathematische Wissenschaften im Rahmen des Seniorenstudiums der LMU.

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände

Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände Axel Tobias 22.2.2000 Ein besonderer Dank geht an Ingo Treunowski, der die Übertragung meines Manuskriptes in L A TEX durchgeführt hat tob skript komplex.tex.

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Zusammengestellt von Hannes Ernst, KSR Lernziele: - Lineare Gleichungen von Hand auflösen können. - Lineare Gleichungen mit Parametern

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Geometrie. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Geometrie. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Das Mathematikabitur Abiturvorbereitung Geometrie Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Gliederung Was sind Vektoren/ ein Vektorraum? Wie misst man Abstände und Winkel? Welche geometrischen

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

4 Kongruenz und Modulorechnung

4 Kongruenz und Modulorechnung 4 Kongruenz und Modulorechnung 39 4 Kongruenz und Modulorechnung In unserer Zeitrechnung haben wir uns daran gewöhnt, nur mit endlich vielen Zahlen zu rechnen. Es ist gerade 3 Uhr und in 50 Stunden muss

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte März 2008 Zusammenfassung IB 1. Lagebeziehungen zwischen geometrischen Objekten 1.1 Punkt-Gerade Ein Punkt kann entweder auf einer gegebenen

Mehr

Mündliches Abitur in IViathematik

Mündliches Abitur in IViathematik Mündliches Abitur in IViathematik Zusatzprüfung: Kurzvortrag mit Prüfungsgespräcti Ziele: Nachweis von fachlichem Wissen und der Fähigkeit, dies angemessen darzustellen erbringen fachlich überfachlich

Mehr

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen Hans Walser, [0090509a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Abituraufgabe zur analytischen Geometrie, Hessen 2013, B2, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur analytischen Geometrie, Hessen 2013, B2, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur analytischen Geometrie, Hessen 2013, B2, Grundkurs (TR) 1 Bei Ausgrabungen wurden die Überreste einer 4500 Jahre alten Pyramide entdeckt. Die Abbildung zeigt die Ansicht der Pyramidenruine

Mehr

Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 15 0 6 1. 15 12 x + 3 y 3 z = 15 12 3 3. 15 2 x 3 y = 4 2 3 0.

Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 15 0 6 1. 15 12 x + 3 y 3 z = 15 12 3 3. 15 2 x 3 y = 4 2 3 0. Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 5 0 6 5 2 x + 3 y 3 z = 5 2 3 3 5 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 z2 /3 z : 3 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 4 x + y z = 5 4 5 6 y + z = 5 0 6 5 z2 + 2 z 2 x 3 y = 4 2

Mehr

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung Mathematik Klausuraufgaben zur Mathematik - von Wolfgang Langguth Aufgabenstellungen

Mehr

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man die kleinste Primzahl zwischen 0 und 60 zwischen 0 und 10 zwischen 60 und 70 zwischen 70 und 80 zwischen 80 und 90 zwischen 90 und 100 zwischen 10 und 20 zwischen 20 und 0 zwischen 0 und 40 zwischen 40

Mehr

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes University of Applied Sciences Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner

Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner Rechengesetze 1. Rechengesetze für natürliche Zahlen Es geht um

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

4. Kapitel 3D Engine Geometry

4. Kapitel 3D Engine Geometry 15.11.2007 Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics 4. Kapitel 3D Engine Geometry Anne Adams & Katharina Schmitt Universität Trier Fachbereich IV Proseminar Numerik Wintersemester 2007/08

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Zuerst einige Bemerkungen zum Punkteschema. Eine vollständige und korrekte Lösung einer Aufgabe ist jeweils 7 Punkte wert. Für komplette Lösungen mit kleineren Fehlern

Mehr

Vorlesungsskript. für den Vorkurs Mathematik für Elektrotechniker und Informationstechniker

Vorlesungsskript. für den Vorkurs Mathematik für Elektrotechniker und Informationstechniker Vorlesungsskript für den Vorkurs Mathematik für Elektrotechniker und Informationstechniker Nach einer Vorlesung von Prof. Dr. Josef F. Dorfmeister an der Technischen Universität München Verfasst von Conrad

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie

Mehr

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k.

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k. 25 2 Kongruenzen Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer

Mehr

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 5 Invariantenringe zu Untergruppen Proposition 5.1. Es sei R G R eine Operation einer Gruppe G auf einem kommutativen Ring durch

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.3 Algebra Gleichungen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87 Ausgabe: Februar 009

Mehr

Polarisation des Lichts

Polarisation des Lichts PeP Vom Kerzenlicht zum Laser Versuchsanleitung Versuch 4: Polarisation des Lichts Polarisation des Lichts Themenkomplex I: Polarisation und Reflexion Theoretische Grundlagen 1.Polarisation und Reflexion

Mehr

Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 2014

Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 2014 Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 04 Schwerpunkt: grundlegendes Anforderungsniveau 0 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Seite Vorbemerkungen... Aufgabenvariationen und Ergänzungen

Mehr

5. Arbeit und Energie

5. Arbeit und Energie Inhalt 5.1 Arbeit 5.2 Konservative Kräfte 5.3 Potentielle Energie 5.4 Kinetische Energie 5.1 Arbeit 5.1 Arbeit Konzept der Arbeit führt zur Energieerhaltung. 5.1 Arbeit Wird Masse m mit einer Kraft F von

Mehr