Triangulierung von Polygonen und das Museumsproblem

Transkript

1 Triangulierung von Polygonen und das Museumsproblem (Literatur: deberg et al., Kapitel 3) 1 Motivation: Das Museumsproblem ein Museum soll durch Kameras überwacht werden wie viele Kameras werden benötigt? wo sollen die Kameras platziert werden? 2

2 Das Museumsproblem der Plan des Museums ist ein einfaches Polygon P eine Kamera entspricht einer Punktlichtquelle, d.h. eine Kamera ist ein Punkt k sie sieht einen Punkt p genau dann wenn die Strecke kp ganz im Inneren von P liegt. wie viele Kameras müssen in P platziert werden, damit jeder Punkt im Inneren von P gesehen wird? 3 Das Museumsproblem ein konvexes Polygon kann immer mit einer Kamera bewacht werden das Problem die kleinste Anzahl von Kameras zu einem gegebenen Polygon P zu finden ist NPschwer wir fragen uns, wie viele Kameras immer ausreichen, um ein Polygon mit n Ecken zu bewachen 4

3 Idee P sei ein einfaches Polygon mit n Ecken zerlege P in Stücke, die jeweils mit einer Kamera bewacht werden können beliebige konvexe Stücke Dreiecke 5 Triangulierungen Def. Eine Diagonale eines einfachen Polygons P ist eine offene Strecke zwischen zwei Ecken von P, die ganz im Inneren von P liegt Def. Eine Triangulierung eines einfachen Polygons P ist eine Zerlegung von P in Dreiecke welche von einer maximalen Menge von paarweise disjunkten Diagonalen induziert wird 6

4 Triangulierungen maximale Menge von disjunkten Diagonalen impliziert, dass keine Ecken auf dem Rand eines Dreiecks liegen können zu einem Polygon gibt es i. allg. verschiedene Triangulierungen! 7 Fragen über Triangulierungen gibt es zu jedem einfachen Polygon eine Triangulierung? wie viele Dreiecke braucht man, um ein Polygon zu triangulieren? 8

5 Existenz von Triangulierungen Satz: Zu jedem einfachen Polygon P gibt es eine Triangulierung Beweis: zeigen durch Induktion über n, dass jedes einfache Polygon P trianguliertwerden kann. 9 Existenz von Triangulierungen Satz: Zu jedem einfachen Polygon P gibt es eine Triangulierung Beweis: zeigen durch Induktion über n, dass jedes einfache Polygon P trianguliertwerden kann. I.A. (n=3): Dann ist P ein Dreieck. 10

6 Existenz von Triangulierungen Satz: Zu jedem einfachen Polygon P gibt es eine Triangulierung Beweis: zeigen durch Induktion über n, dass jedes einfache Polygon P trianguliertwerden kann. I.S.: Sei P ein einfaches Polygon mit n Ecken. Wir zeigen zunächst, dass es in P eine Diagonale gibt. Sei v die lexicographisch kleinste Ecke von P und u sowie w die zu v adjazenten Ecken von P. Fall 1.) Die Strecke uw liegt in P uw ist eine Diagonale 11 Existenz von Triangulierungen Satz: Zu jedem einfachen Polygon P gibt es eine Triangulierung Beweis: zeigen durch Induktion über n, dass jedes einfache Polygon P trianguliertwerden kann. I.S.: Sei P ein einfaches Polygon mit n Ecken. Wir zeigen zunächst, dass es in P eine Diagonale gibt. Sei v die lexicographisch kleinste Ecke von P und u sowie w die zu v adjazenten Ecken von P. Fall 2.) Die Strecke uw schneidet den Rand von P uw ist keine Diagonale. Dann gibt es mindestens eine Ecke von P auf uw oder in dem Dreieck uvw. Sei v die Ecke von P in dem Dreieck uvw die am weitesten von der Strecke uw entfernt ist. Die Strecke vv schneidet keine Kante von P; sonst hätte diese einen Endpunkt innerhalb von uvw der weiter von uw entfernt wäre als v vv ist eine Diagonale.

7 Existenz von Triangulierungen Satz: Zu jedem einfachen Polygon P gibt es eine Triangulierung Beweis: zeigen durch Induktion über n, dass jedes einfache Polygon P trianguliertwerden kann. I.S.: Sei P ein einfaches Polygon mit n Ecken. In P gibt es eine Diagonale. Diese zerlegt P in zwei Polygone L und R mit l bzw. r Ecken, wo l<n und r<n. Nach I.V. kann jedes einfache Polygon mit n <n Ecken trianguliert werden, also ibs. L und R. Damit kann auch P trianguliert werden. 13 Grösse von Triangulierungen Satz: Jede Triangulierung eines einfachen Polygons mit n Ecken besteht aus n2 Dreiecken. Beweis: zeigen durch Induktion über n, dass jede Triangulierung eines einfachen Polygons mit n Ecken aus n2 Dreiecken besteht I.A. (n=3) Dann ist P ein Dreieck, 1=32 I.S. Sei P ein einfaches Polygon mit n Ecken und T eine Triangulierung von P. Sei d eine Diagonale von P aus T, die P in zwei Polygone L und R mit l bzw. r Ecken zerlegt, wobei l<n und r<n. Die Ecken von d gehören zu L und R, also n+2=l+r. Nach I.V. hat jede Triangulierung von L bzw. R l2 bzw. r2 Dreiecke. Damit hat die T gerade (l2)+(r2)=n2 Dreiecke.

8 Zurück zum Museumsproblem Folgerung: Jedes einfache Polygon P mit n Ecken kann mit n2 Kameras bewacht werden. zu P gibt es eine Triangulierung T mit n2 Dreiecken ein Dreieck kann mit einer Kamera bewacht werden Geht es besser? Idee: wähle eine Menge W von Ecken von P mit der Eigenschaft, dass jedes Dreieck aus T mindestens eine Ecke in dieser Menge hat platziere Wächter bei den Ecken aus der Menge W 15 Färbung von Graphen Def. Eine Färbung eines Graphen G=(V,E) ist eine Funktion die jedem Knoten aus V eine Farbe zuordnet, mit der Eigenschaft, dass die Endpunkte jeder Kante aus E dabei unterschiedliche Farben haben. Def. Sei k>0 eine natürliche Zahl. Eine kfärbung eines Graphen G=(V,E) ist eine Färbung von G mit höchstens k Farben. 16

9 3Färbbarkeit von Triangulierungen Satz: Der Graph einer Triangulierung T eines einfachen Polygons P ist 3färbbar. Beweis: (durch Induktion über n) I.A. (n=3) Dann ist P ein Dreieck und damit 3färbbar I.S. Sei P ein einfaches Polygon mit n Ecken und T eine Triangulierung von P sei d=(a,b) eine Diagonale aus T d zerlegt T in zwei Triangulierungen L und R einfacher Polygone mit je < n Ecken nach i.v. sind L und R 3färbbar die Ecken a und b von d gehören zu L und R falls diese Ecken unter den Färbungen von L und R verschiedene Farben erhalten haben, müssen die Farben von L entsprechend permutiert werden 17 Wieder zurück zum Museumsproblem Satz: Jedes einfache Polygon P mit n Ecken kann mit n/3 Kameras bewacht werden. Beweis: finde eine 3Färbung einer Triangulierung von P wähle die kleinste Farbklasse als Menge der Wächter die kleinste Farbklasse hat höchstens n/3 Elemente Satz: Es gibt Polygone mit n Ecken, für die man n/3 Kameras benötigt. Beweis: 18

10 Triangulierung von Polygonen Zerlege das Polygon in monotone Polygone Trianguliere die monotonen Polygone einzeln 19 Monotone Polygone Def. Ein Polygon P heisst monoton bezüglich einer Geraden l, wenn der Durchschnitt des Inneren von P mit jeder Geraden die parallel zu l ist, zusammenhängend ist. Def. Ein Polygon P heisst ymonoton, wenn es monoton bezüglich der xachse ist. P heisst streng ymonoton, wenn es in P keine horizontale Kante gibt. ymonoton nicht ymonoton 20

11 Eigenschaften ymonotoner Polygone wenn ein Polygon P monoton bezüglich einer Geraden l ist, dann ist der Schnitt des Inneren von P mit jeder Geraden die parallel zu l ist, entweder leer, oder ein Punkt, oder eine Strecke wenn man sich auf der linken (rechten) Seite eines ymonotonen Polygons P vom höchsten zum tiefsten Eckpunkt von P bewegt, so bewegt man sich immer horizontal oder nach unten (aber nie nach oben) wenn man sich auf einer Seite eines streng y monotonen Polygons vom höchsten zum tiefsten Eckpunkt bewegt, so bewegt man sich immer nach unten 21 Zerlegung in ymonotone Polygone wir überstreichen ein Polygon P mit einer horizontalen Gerade l und betrachten den Schnitt der Geraden l mit dem Inneren von P dieser Durchschnitt ist eine Menge von Intervallen auf l bei den Ecken von P können Intervalle neue entstehen (StartEcken) verschwinden (EndEcken) verschmelzen (MergeEcken) in zwei Teile zerfallen ( SplitEcken) (kombinatorisch) unverändert bleiben (reguläre Ecken) P l 22

12 Klassifikation von Ecken Eine Ecke p von P ist eine StartEcke gdw. die Nachbarn liegen unterhalb von p und der innere Winkel bei p ist < EndEcke gdw. die Nachbarn liegen oberhalb von p und der innere Winkel bei p ist < MergeEcke gdw. die Nachbarn liegen oberhalb von p und der innere Winkel bei p ist > SplitEcke gdw. die Nachbarn liegen unterhalb von p und der innere Winkel bei p ist > Alle anderen Ecken sind reguläre Ecken P l 23 Charakterisierung ymonotoner Polygone Satz: Ein einfaches Polygon P ist ymonoton gdw. es keine Split und keine MergeEcken hat Beweis: wir zeigen: P ist nicht ymonoton es gibt eine Split oder MergeEcke sei also P nicht ymonoton es gibt eine horizontale Gerade l deren Schnitt mit P aus mindestens zwei Intervallen besteht betrachte das linkeste Intervall pq mit linkem Endpunkt p und rechtem Endpunkt q durchlaufe von q aus den Rand von P so, dass P links liegt sei r der erste Punkt, der wieder auf der Geraden l liegt 24

13 Charakterisierung ymonotoner Polygone Fall 1: r p die höchste Ecke der wir auf dem Weg von q nach r begegnet sind, muss eine Split Ecke gewesen sein p q r Split Ecke l 25 Charakterisierung ymonotoner Polygone Fall 2: r = p durchlaufe von q aus den Rand von P so, dass P rechts liegt; sei r der erste Punkt, der wieder auf der Geraden l liegt r p da ansonsten P nur zwei Schnittpunkte mit l hätte die tiefste Ecke der wir auf dem Weg von q nach r begegnet sind, muss somit eine MergeEckegewesen sein p=r q r Merge Ecke l 26

14 Idee zur Zerlegung in ymonotone Polygone Zerstöre alle Split und Merge Ecken von P arbeite die Ecken von P von oben nach unten ab füge von jeder SplitEcke eine Diagonale nach oben ein füge von jeder MergeEckeeine Diagonale nach unten ein diese Diagonalen dürfen sich nicht schneiden nach vorigem Lemma sind die einzelnen Stücke dann ymonoton 27 Beseitigung von SplitEcken Ziel: füge von jeder SplitEcke s eine Diagonale zu einer Ecke über s ein Sweeplinealgorithmus: Ereignispunkte: Ecken von P Ereignisdatenstruktur: nach y Koordinaten sortierte Liste der Ereignisse erreicht die Sweepline eine SplitEcke s, so wird die Diagonale zur Ecke Helfer(u) eingefügt (geht immer!); dabei ist Helfer(u) :=tiefste Ecke auf dem Polygonzug zwischen u, der linken Nachbarkante von s auf l, und v, der rechten Nachbarkante von s auf l u s Helfer(u) v l 28

15 Beseitigung von MergeEcken Ziel: füge von jeder MergeEcke m eine Diagonale zu einer Ecke unter m ein erreicht die Sweepline eine MergeEcke m gilt: m wird zu Helfer(u), wobei u die linke Nachbarkante von m auf l ist von m aus kann man immer eine Diagonale zur höchsten Ecke p zwischen u und v (der rechten Nachbarkante von s auf l) unterhalb von m eingefügen diese Ecke p ist noch nicht bekannt, wenn die Sweepline m erreicht hat sie kann aber leicht später entdeckt werden: p ist die Ecke, die m als Helfer(u) ablöst u m p v l 29 Sweeplinestatus enthält Liste der Kanten von P die die Sweepline schneiden und P auf ihrer rechten Seite haben, sortiert nach xkoordinaten der Schnittpunkte für jede Kante u einen Eintrag Helfer(u) erforderliche Operationen Einfügen und Löschen von Kanten Finden des linken Nachbarn Ändern der HelferInformation Implementierung: Variante von balancierten Suchbäumen Laufzeit: O(log n) für alle Operationen 30

16 Ereignisliste Prioritätswarteschlange auf den Ecken des Polygons p Priorität definiert durch ykoordinaten; bei gleicher y Koordinate entscheidet die xkoordinate (je kleiner, desto grösser die Priorität) alle Ereignisse stehen am Anfang des Algorithmus fest erforderliche Operationen Initialisieren Finden und Entfernen des nächsten Ereignisses Implementierung: MinHeap Laufzeit: O(n) für Initialisierung O(log n) für Extraktion des nächsten Ereignisses 31 Algorithmus Eingabe: P mit n Ecken in einer DCEL D Ausgabe: Eine Zerlegung von P in ymonotone Polygone in D v 1, v 2,, v n sei die Folge der Ecken von P (geordnet gegen den Uhrzeigersinn) e 1, e 2,, e n sei die Folge der Kanten von P mit e i =v i v i+1 Initialisiere die Ereignisdatenstruktur EPS mit den Ecken von P Initialisiere die Sweeplinedatenstruktur SLS while EPS nicht leer ist do Entferne die Ecke v i mit der höchsten Priorität aus EPS Behandle diese Eckeihrem Typ entsprechend 32

17 Ereignisbehandlung Helfer von Kanten werden geändert Diagonalen werden eingefügt Bei SplitEcken immer Wenn der Helfer einer Kante sich ändert und der alte Helfer eine MergeEckewar Der Status der Sweepline wird geändert 33 Behandlung von StartEcken HandleStartVertex(v i ) Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i v 5 e 5 34

18 Behandlung von regulären Ecken HandleRegularVertex(v i ) if das Innere von P liegt rechts von v i then if Helfer(e i1 ) ist eine MergeEcke then Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i1 ) in D ein Entferne e i1 aus SLS Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i else Suche in SLS die Kante u links von v i if Helfer(u) ist eine MergeEcke then Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i v 6 35 Behandlung von MergeEcken HandleMergeVertex(v i ) if Helfer(e i1 ) ist eine MergeEcke then Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i1 ) in D ein Entferne e i1 aus SLS Suche in SLS die Kante u links von v i if Helfer(u) ist eine MergeEcke then Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i u=e 9 v 8 e 7 Helfer(e 7 ) 36

19 Behandlung von SplitEcken HandleSplitVertex(v i ) Suche in SLS die Kante u links von v i Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i u=e 9 Helfer(e 9 ) v e 37 Behandlung von EndEcken HandleEndVertex(v i ) if Helfer(e i1 ) ist eine MergeEcke then Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i1 ) in D ein Entferne e i1 aus SLS Helfer(e ) e v 15 38

20 Beispiel Beispiel HandleStartVertex(v i ) Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i

21 Beispiel HandleStartVertex(v i ) Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i Beispiel HandleMergeVertex(v i ) if Helfer(e i1 ) ist eine MergeEckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i 1 ) in D ein Entferne e i 1 aus SLS Suche in SLS die Kante u links von v i if Helfer(u) ist einemergeeckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i

22 Beispiel HandleRegularVertex(v i ) if das Innere von P liegt rechts von v i then if Helfer(e i 1 ) ist eine MergeEckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i 1 ) in D ein Entferne e i 1 aus SLS Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i else Suche in SLS die Kante u links von v i if Helfer(u) ist einemergeeckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i Beispiel HandleRegularVertex(v i ) if das Innere von P liegt rechts von v i then if Helfer(e i 1 ) ist eine MergeEckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i 1 ) in D ein Entferne e i 1 aus SLS Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i else Suche in SLS die Kante u links von v i if Helfer(u) ist einemergeeckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i

23 Beispiel HandleStartVertex(v i ) Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i Beispiel HandleStartVertex(v i ) Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i

24 Beispiel HandleMergeVertex(v i ) if Helfer(e i1 ) ist eine MergeEckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i 1 ) in D ein Entferne e i 1 aus SLS Suche in SLS die Kante u links von v i if Helfer(u) ist einemergeeckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i Beispiel HandleMergeVertex(v i ) if Helfer(e i1 ) ist eine MergeEckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i 1 ) in D ein Entferne e i 1 aus SLS Suche in SLS die Kante u links von v i if Helfer(u) ist einemergeeckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i

25 Beispiel HandleSplitVertex(v i ) Suche in SLS die Kante u links von v i Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i 49 Beispiel HandleEndVertex(v i ) if Helfer(e i1 ) ist eine MergeEckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i 1 ) in D ein Entferne e i 1 aus SLS

26 Beispiel HandleRegularVertex(v i ) if das Innere von P liegt rechts von v i then if Helfer(e i 1 ) ist eine MergeEckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i 1 ) in D ein Entferne e i 1 aus SLS Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i else Suche in SLS die Kante u links von v i if Helfer(u) ist einemergeeckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i Beispiel HandleSplitVertex(v i ) Suche in SLS die Kante u links von v i Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(u) in D ein Setze Helfer(u)= v i Füge e i in SLS ein Setze Helfer(e i )= v i 52

27 Beispiel HandleEndVertex(v i ) if Helfer(e i1 ) ist eine MergeEckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i 1 ) in D ein Entferne e i 1 aus SLS Beispiel HandleEndVertex(v i ) if Helfer(e i1 ) ist eine MergeEckethen Füge die Diagonale zwischen v i und Helfer(e i 1 ) in D ein Entferne e i 1 aus SLS

28 Beispiel Korrektheit Satz: der Algorithmus beseitigt alle Merge und SplitEcken die eingefügten Diagonalen sind gültig schneiden keine Kanten von P schneiden sich nicht Beweis: der Algorithmus beseitigt alle Merge und SplitEcken folgt aus vorigen Überlegungen die eingefügten Diagonalen sind gültig wir zeigen: wenn eine neue Diagonale d eingefügt wird schneidet sie keine Kante von P schneidet sie keine der vorher eingefügten Diagonalen 56

29 Korrektheit angenommen die Diagonale d=pq wird in der Prozedur HandleSplitVertex(p) eingefügt sei u die Kante links von p und v die Kante rechts von p und somit Helfer(u)=q sei Q das Viereck, das durch die Kanten u und v sowie die beiden horizontalen Geraden durch p und q beschränkt ist; da Helfer(u)=q, enthält Q keine Ecken von P d schneidet keine Kante von P: angenommen, eine Kante w schneidet die Diagonale d da die Ecken von w nicht in Q liegen können und sich die Ecken von P nicht schneiden, muss w den oberen oder unteren Rand von Q links von d schneiden das steht im Widerspruch dazu, dass u der linke Nachbar von p und q ist u u Q Q q p q p w v v 57 Korrektheit angenommen die Diagonale d=pq wird in der Prozedur HandleSplitVertex(p) eingefügt sei u die Kante links von p und v die Kante rechts von p und somit Helfer(u)=q sei Q das Viereck, das durch die Kanten u und v sowie die beiden horizontalen Geraden durch p und q beschränkt ist; da Helfer(u)=q, enthält Q keine Ecken von P d schneidet keine der vorher eingefügten Diagonalen: jede bisher eingefügte Diagonale hat beiden Endpunkte über p in Q gibt es keine Ecken von P u Q p q v 58

30 Korrektheit analog zeigt man, dass Diagonalen die in den Prozeduren HandleStartVertex(), HandleEndVertex(), HandleRegularVertex(), und HandleMergeVertex() eingefügt werden keine der Kante von P schneiden und keine der vorher eingefügten Diagonalen schneiden 59 Analyse Satz: Der Algorithmus läuft in O(n log n) Zeit Beweis: Initialisierung der Ereignisdatenstruktur: O(n) Behandlung aller Ereignisse (ohne Manipulation von D): O(n log n) es gibt genau n Ereignisse ein Ereignis kann in O(log n) behandelt werden entfernen des nächsten Ereignisses: O(log n) O(1) Operationen auf SLS: O(log n) Gesamtkosten für Einfügen der Diagonalen: O(n) pro Ereignis maximal 2 Kanten in D eingefügt: O(Größe der kleineren Facette) Kosten pro Diagonale jede Diagonale d trennt eine Facette ab bis auf d werden deren Kanten beim Einfügen neuer Diagonalen nicht wieder durchlaufen d wird höchstens noch ein Mal durchlaufen, wenn seine gegenüberliegende Facette durch eine weitere Diagonale abgetrennt wird 60

31 Triangulieren streng ymonotoner Polygone Idee arbeite die Ecken von oben nach unten ab (Ecken mit derselben ykoordinaten von links nach rechts) speichere in einem Stack die Ecken die bereits entdeckt, aber noch nicht für eine Diagonale verwendet wurden wenn eine neue Ecke entdeckt wird, dann füge von dort aus so viel Diagonalen wie möglich zu den Ecken, die auf dem Stack liegen ein jede Diagonale spaltet ein Dreieck vom Polygon ab und entfernt eine Ecke vom Stack noch nicht trianguliert abgespaltene Dreiecke 61 Die Struktur der Ecken im Stack wir erhalten folgende Invariante aufrecht: das Stück F von P oberhalb der letzten (tiefsten) entdeckten Ecke das noch nicht trianguliert ist (also die Ecken im Stack), bildet einen Funnel eine Seite von F ist ein Polygonzug, der mit Ausnahme der tiefsten Ecke (= dem obersten Element auf dem Stack) nur aus Reflexecken (Winkel im Polygoninnern > 180º) besteht die andere Seite von F ist Teil einer Kante Funnel des Polygons (deren unterer Endpunkt noch Teilkante nicht entdeckt wurde) abgespaltene Dreiecke Reflexecken letzte entdeckte Ecke 62

32 Bearbeiten der nächsten Ecke: 1.Fall die nächste Ecke n liegt auf der gegenüberliegenden Seite der Reflexecken n ist der untere Endpunkt der Teilkante e des Funnel t sei oberer Endpunkt von e = höchste (und letzte) Ecke auf dem Stack aufgrund der FunnelStruktur können von n aus zu allen Reflexecken bis auf t Diagonalen eingefügt werden n e t 63 Bearbeiten der nächsten Ecke: 1. Fall Vorgehensweise: b sei die tiefste Reflexecke = erstes Element auf dem Stack entferne alle Reflexecken vom Stack und füge dabei die Diagonalen hinzu (ausser zu t) lege b und n auf den Stack die Ecken im Stack bilden wieder einen Funnel pop n e t pop pop pop/push b push 64

33 Bearbeiten der nächsten Ecke: 2. Fall die nächste Ecke n liegt auf der Seite der Reflexecken b sei tiefste Reflexecke (= erstes Element auf dem Stack), s sei das nächste Element auf dem Stack aufgrund der FunnelStruktur bilden die Reflexecken zu denen von n aus Diagonalen eingefügt werden können ein (evt. leeres) Anfangsstück des Stacks, angefangen mit s von n kann eine Diagonale zu v eingefügt werden, gdw. nuv ein Linksknick ist (u ist die vor v bearbeitete Reflexecke) v u n s b 65 Bearbeiten der nächsten Ecke: 2. Fall Vorgehensweise: entferne b vom Stack solange noch Reflexecken auf dem Stack liegen, prüfe, ob von der obersten Ecke im Stack eine Diagonale zu n eingefügt werden kann falls ja, füge diese Diagonale ein und entferne die oberste Ecke aus dem Stack lege die letzte Reflexecke die entfernt wurde zurück auf den Stack lege n auf den Stack v u n s b 66

34 Bearbeiten der nächsten Ecke: 2. Fall die Ecken im Stack bilden wieder einen Funnel s b pop/push push n pop/push v pop pop u s b pop n push 67 Überblick Algorithmus: Sweeplineverfahren Ereignisse : Endpunkte der Strecken Ereignisdatenstruktur: nach ykoordinaten sortierte Liste der Ereignisse Status der Sweepline: Folge der Ecken oberhalb der Sweepline die noch nicht für eine Diagonale verwendet wurden, nach ykoordinaten sortiert (Funnel) Datenstruktur für den Sweeplinestatus Stack 68

35 Algorithmus Eingabe: streng ymonotones Polygon P mit n Ecken in einer DCEL D Ausgabe: Triangulierung von P in der DCEL D Vorverarbeitung: Verschmelze den linken und rechten Rand von P zu einer nachaufsteigenden ykoordinaten sortierten Folge u 1, u 2,, u n von Ecken (wobei Ecken mit derselben y Koordinaten aufsteigend nachxkoordinaten sortiert werden) 69 Algorithmus Lege u 1 und u 2 auf den Stack S for j=3 to (n1) if (u j und top(s) sind auf verschiedenen Seiten von P) then Entferne alle Ecken aus S Füge in D die Diagonalen von u j zu allen aus S gelöschten Ecken ein (bis auf die letzte) Lege u j1 und u j auf den Stack S else Entferne die oberste Ecke von S Entferne jeweils die oberste Ecke von S und füge in D die Diagonale von u j zu der entfernten Ecke ein, solange diese Diagonale ganz in P liegt Lege die letzte aus S gelöschte Ecke und u j auf den Stack S Füge in D die Diagonalen von u n zu allen Ecken in S ein (bis auf die letzte und die erste) 70

36 71 Beispiel dab c d e f g h i Diagonalen Stack Ereignis a b c d e f g i h 72 Beispiel ab dabc c d e f g h i Diagonalen Stack Ereignis a b c d e f g i h

37 73 Beispiel ab abc c dc cdg d e f g h i Diagonalen Stack Ereignis a b c d e f g i h 74 Beispiel ab abc c dc,db cdg d e f g h i Diagonalen Stack Ereignis a b c d e f g i h

38 75 Beispiel ab abc c dc,db cd d ec ceg e f g h i Diagonalen Stack Ereignis a b c d e f g i h 76 Beispiel ab abc c dc,db cd d ec ce e fc cfg f g h i Diagonalen Stack Ereignis a b c d e f g i h

39 77 Beispiel ab abc c dc,db cd d ec ce e fc cf f gf hfg g h i Diagonalen Stack Ereignis a b c d e f g i h 78 Beispiel ab abc c dc,db cd d ec ce e fc cf f gf fg g hg gh h i Diagonalen Stack Ereignis a b c d e f g i h

40 Analyse Der Algorithmus läuft in O(n) Zeit die Initialisierung erfordert O(n) Zeit die Schleife erfordert O(n) Zeit die Laufzeit der Schleife ist proportional zur Anzahl der push und pop Operationen auf dem Stack in jedem Durchlauf der Schleife werden höchtens zwei Ecken auf den Stack gelegt die Anzahl der pop Operationen ist höchstens so gross wie die Anzahl der push Operationen das Hinzufügen von Diagonalen im letzten Schritt erfordert O(n) Zeit 79 Triangulieren ymonotoner Polygone Der Algorithmus funktioniert auch für ymonotone Polygone mit horizontalen Kanten 80