Rückblick. Zahlendarstellung zu einer beliebigen Basis b. Umwandlung zwischen Zahlendarstellung (214) 5 = (278) 10 =(?) 8

Transkript

1 Rückblick Zahlendarstellung zu einer beliebigen Basis b (214) 5 = Umwandlung zwischen Zahlendarstellung (278) 10 =(?) 8 25

2 Rückblick Schnellere Umwandlung zwischen Binärdarstellung und Hexadezimaldarstellung (1FFE) 16 =(?) 2 ( ) 2 =(?) 16 26

3 2.1.6 Arithmetik in den Zahlensystemen Aus der Schulzeit bekannte Verfahren zum Rechnen von Hand funktionieren unabhängig vom verwendeten Zahlensystem Beispiel: Addition im Dezimalsystem Summanden Überträge Ergebnis =

4 Arithmetik in den Zahlensystemen Beispiele: Addition im Binärsystem = = 27

5 Arithmetik in den Zahlensystemen Beispiele: Addition im Hexadezimalsystem F A B = A F F B A + E 1 D F = 28

6 Arithmetik in den Zahlensystemen Beispiel: Multiplikation im Dezimalsystem Faktoren Überträge Ergebnis =

7 Arithmetik in den Zahlensystemen Beispiel: Multiplikation im Binärsystem =

8 Arithmetik in den Zahlensystemen Beispiel: Multiplikation im Binärsystem = 31

9 Arithmetik in den Zahlensystemen Beispiel: Multiplikation im Hexadezimalsystem A 1 B 2 6 E B = 6 F F 2 32

10 Arithmetik in den Zahlensystemen Beispiel: Multiplikation im Hexadezimalsystem A F F E = 33

11 Arithmetik in den Zahlensystemen Beispiel: Multiplikation im Hexadezimalsystem 34

12 2.1.7 Negative Zahlen Wie lassen sich auch negative Zahlen im vom Rechner verwendeten Binärsystem darstellen? Möglichkeit 1: Darstellung mit Vorzeichenbit Wir verwenden eine feste Anzahl l von Bits und reservieren das erste (höchstwertige) Bit, um das Vorzeichen der Zahl und die verbleibenden (l - 1) Bits um den Betrag der Zahl darzustellen 35

13 Negative Zahlen dargestellt mit Vorzeichenbit Beispiele: Bei Verwendung von l = 4 Bits die Zahl 7 wird dargestellt als [ ] die Zahl -7 wird dargestellt als [ ] Ein Nachteil dieser Darstellung ist, dass die uns bekannten arithmetischen Verfahren nicht länger funktionieren Beispiel: Addition von 7 und 2 bei l = 4 Bits die Zahl 7 wird dargestellt als [ ] die Zahl 2 wird dargestellt als [ ] 36

14 Negative Zahlen dargestellt als Zweierkomplement Möglichkeit 2: Darstellung als Zweierkomplement Wir verwenden weiterhin eine feste Anzahl von l Bits. Eine negative Zahl -n wird als ihr Zweierkomplement (2 l - n) dargestellt. Das Zweierkomplement einer Zahl n ist also ihre Differenz zur Zweierpotenz 2 l Beispiele: Verwendung von l = 4 Bits (-5) 10 = (0101) 2 wird dargestellt als = 16-5 = (1011) 2 (-3) 10 = (0001) 2 wird dargestellt als = 16-3 = (1101) 2 37

15 Negative Zahlen dargestellt als Zweierkomplement Die bekannten arithmetischen Verfahren funktionieren bei der Darstellung als Zweierkomplement wie gewohnt (6) 10 +( 3) 10 = (0110) 2 + (1101) 2 = (0011) 2 = (3) 10 Einfachere Berechnung des Zweierkomplements als (2 l n)=(2 l 1 n)+1 (2 l - 1) ist die Binärzahl bestehend aus l Einsen -n (mit bekanntem Verfahren zur Subtraktion) +1 (mit bekanntem Verfahren zur Addition) 38

16 Negative Zahlen dargestellt als Zweierkomplement Dies entspricht der (noch) einfacheren Vorgehensweise Bestimme (2 l n) durch Invertieren der Bits der Binärdarstellung der Zahl n Addiere 1 Beispiel: Zweierkomplement von n = 6 bei l = 4 Bits Binärdarstellung von 6 ist (0110) 2 Invertieren der Bits ergibt (1001) 2 Addieren von 1 ergibt (1010) 2 = (10) 10 39

17 Negative Zahlen dargestellt als Zweierkomplement Beispiel: Zweierkomplement von n = 67 bei l = 8 Bits Binärdarstellung von 67 ist Invertieren der Bits ergibt Addieren von 1 ergibt Bei der Subtraktion mittels Zweierkomplement müssen bei de Zahlen mit gleicher Stellenanzahl betrachtet werden 40

18 Negative Zahlen dargestellt als Zweierkomplement Darstellbare Zahlenbereiche bei Verwendung von l Bits l = 8 : -2 7 n < 2 7 l = 16 : n < 2 15 (entspricht short in Java) l = 32 : n < 2 31 (entspricht int in Java) l = 64 : n < 2 63 (entspricht long in Java) l : -2 (l - 1) n < 2 (l - 1) Einige Programmiersprachen (z.b. C) unterscheiden Datentypen mit/ohne Vorzeichen. Der darstellbare Zahlenbereich verdoppelt sich in diesem Fall l = 16 : 0 n < 2 16 (unsigned int in C) 41