Lineare Gleichungssysteme Anwendungen, die mit Gleichungssystemen gelöst werden können

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1 . Anwendungen, die mit Gleichungssystemen gelöst werden können Beispiel Gibt ein Lehrling einem zweiten Lehrling CHF. ab, so haben beide gleich viel Geld; gibt aber der zweite Lehrling dem ersten CHF., so hat der erste sechsmal so viel wie der zweite. Wie viele Franken hat jeder? L Geg: L L, L 6. Satzteil. Satzteil Ges: L? Geldbetrag von Lehrling in Franken L? Geldbetrag von Lehrling in Franken L L L 6 L aus folgt: L L 6 L in : L 6 L 8 L 6 6 L L 8 L 0 4 in : L 0 6 L 4 4 somit: Der Lehrling hat CHF 0. und der Lehrling hat CHF 4.. 4

2 Beispiel Die jährlichen Zinsen zweier Kapitalien von CHF 7'000 und CHF '000 betragen zusammen CHF '70. Zu wie viel Prozent ist das erste Kapital ausgeliehen, wenn das zweite Kapital um % niedriger verzinst wird als das erste? Geg: K CHF 7'000, K CHF '000, z z CHF '70, p p Ges: p? Zinssatz in % von Kapital K K p K p z z z p p K p K p in : z '000 p '000 p Wert eingesetzt: ' '70 70p 0p 0 '0 0p '0 p 6 0 in : p p 6 (für Kontrolle) somit: Das Kapital ist zu 6 % ausgeliehen.

3 Beispiel Jemand hat für seinen Urlaub von bestimmter Dauer eine bestimmte Summe Geldes gespart. Gibt er täglich CHF 6 aus, so kommt er mit dem Geld neun Tage länger aus als vorgesehen; gibt er aber täglich CHF Franken aus, so muss er seinen Urlaub um einen Tag abkürzen. Wie lange sollte seine Urlaubsreise dauern, und wie viel Geld hatte er gespart? Geg: siehe Übersicht in der Tabelle Ges: x? ursprünglich geplante Reisedauer in Tagen y? gespartes Geld für die geplante Reise in CHF Analyse der beiden Varianten: Variante Variante Dauer des Urlaubs in Tagen Tagen x + 9 x CHF Ausgaben pro Tag Tag Totalkosten in Franken 6 CHF y x 9 6 y x y x 9 6 y x : x 9 6 x 6x 4 x 6x 7 x :8 x in : y '4 somit: Die Reise sollte Tage dauern, das gesparte Geld beträgt CHF '4. 6

4 Beispiel 4 Setzt man im Musiksaal 6 Sängerinnen auf jede Bank, so haben Sängerinnen keinen Platz. Setzt man dagegen 7 Sängerinnen auf jede Bank, so kommen auf die letzte Bank nur Sängerinnen. Wie viele Bänke sind vorhanden und aus wie vielen Sängerinnen besteht der Chor? Geg: siehe Skizzen Ges: n? Anzahl Bänke im Musiksaal S? Anzahl Sängerinnen des Chors Analyse der beiden Situationen: Situation Situation n Bänke n Bänke Rest S 6 n aus Situation S 7n 4 aus Situation : 6n 7n 4 6n 4 in : S n somit: Es sind 9 Bänke und der Chor besteht aus 9 Sängerinnen. 7

5 Beispiel (BM-Aufnahmeprüfung 008) Für eine Abendveranstaltung müssen transportable Kassen mit Wechselgeld bereitgestellt werden. Jede Kasse enthält 7 Geldscheine, welche zusammen einen Wert von CHF '700 haben. 7 davon sind Zwanzigernoten, der Rest Zehner- und Fünfzigernoten. Wie viele Noten von jedem Wert sind in den Kassen? W Geg: T '700 Gesamtwert einer Kasse z 7 Anzahl Zwanzigernoten einer Kasse Ges: z? Anzahl Zehnernoten einer Kasse f? Anzahl Fünfzigernoten einer Kasse Analyse des Textes: 0er Noten 0er Noten 0er Noten Anzahl Noten Stück z 7 f CHF Wert pro Note (Stück) Stück Totaler Wert in Franken CHF z f 0 z z f 7 w Gesamtanzahl aller Geldschein T z f 0 Gesamtwert einer Kasse aus : z 7 7 f 6 f in : '700 6 f f 0 T ' f 40 0f '800 40f f in : z 6 f 6 4 somit: Es hat 0er Noten, 7 0er Noten und 4 0er Noten in der Kasse. 8

6 Beispiel 6 0 Personen, Erwachsene und Kinder, nehmen an einem Skiausflug teil. Die Gesamtkosten für die Kinder betragen CHF '400, diejenigen für die Erwachsenen CHF 70, wobei ein Erwachsener CHF 0 mehr als ein Kind bezahlen muss. Wie viele Kinder nehmen am Skiausflug teil und wie viel muss ein Erwachsener für den Skiausflug zahlen? Geg: siehe Tabelle Ges: x? Anzahl Kinder y? Kosten pro erwachsene Person Analyse des Textes: Kinder Erwachsene Anzahl Personen Stück x 0 x CHF Kosten pro Person (Stück) Stück Gesamtkosten in Franken y 0 CHF x y 0 '400 x y 0 '400 0 x y 70 '400 aus : x y 0 '400 y0 in : 0 y 70 y 0 0 y 0 '400 y 70 y 0 y y 0 x y 70 0y '00y '400y 70y 7'00 70 y 7'00 0y 7'60y 7'00 0 :0 y y 0 0 y 0 y 0 0 y unmöglich, x darf nicht negativ sein '400 '400 4 in : x y somit: Kinder nehmen teil und ein Erwachsener muss CHF 0. bezahlen. 9

7 Beispiel 7 Eine Firma bestellt bei einem Importeur 0 neue Computer und Notebooks; der Kostenvoranschlag beläuft sich auf CHF 0'000. Wegen eines Irrtums werden jedoch Computer und 0 Notebooks geliefert, wodurch sich die Rechnung um CHF '00 erhöht. Berechnen Sie den Stückpreis der Computer und Notebooks. Geg: siehe Tabelle Ges: x? Stückpreis pro Computer y? Stückpreis pro Notebook Analyse des Textes: Bestellung Irrtümliche Lieferung PC N-Books PC N-Books Anzahl Stück 0 0 CHF Stückpreis Stück x y x y Gesamtkosten in Franken CHF 0x y x 0y 0x y 0'000 x 0y '00. aus : 40x 0x 60'000 a aus :.x 0y 98'70 a a + a : 7.x=6'0 x '00 in : 0 '00 y 0'000 y 60'000 y 4'000 somit: Stückpreis betragen CHF '00 (Computer) und CHF 4'000 (Notebook). 0

8 Beispiel 8 a. Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte P ( 4 / 48) und P ( / 08) geht. b. Berechnen Sie die Schnittpunkte A und B dieser Geraden mit der y-achse (A) und der x-achse (B). c. In welchem Punkt (S) schneidet diese Gerade eine zweite Gerade, die im Abstand von 4 parallel zur y-achse verläuft? m b Geg: P 4 48, P 08, y 4 Ges: y x Steigung m und y-achsabschnitt b A? Koordinaten Schnittpunkt mit der y-achse B? Koordinaten Schnittpunkt mit der x-achse S? Koordinaten Schnittpunkt mit der y 4 b b 48 m 4 08 m aus : 48 4m b aus : 08 m b a + a : 6 60m m in : 48 4 b b 48 7 y x Schnittpunkt A: y 0 A 0 Schnittpunkt B: 0 x x B 0 Schnittpunkt S: y y 4 x x 4 x 40 S 40 4