Klausur - Analysis I Lösungsskizzen

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Annegret Beltz
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1 Klausur - Analysis I Lösungsskizzen Aufgabe 1.: 5 Punkte Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Kennzeichnen Sie wahre Aussagen mit W und falsche Aussagen mit F. Es sind keine Begründungen nötig. Für jede richtige Antwort gibt es einen halben Punkt, für jede falsche wird ein halber Punkt abgezogen, nicht beantwortete Teilaufgaben werden nicht bewertet. Die minimale Gesamtpunktzahl ist Null. W F F F Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt einen Häufungspunkt. Es sei (X,d) ein metrischer Raum und A X. Ist A nicht abgeschlossen, so ist A offen. Es sei ρ der Konvergenzradius der Potenzreihe n=0 a nx n. Dann konvergiert diese Potenzreihe für alle x R mit ρ x ρ. Es sei f : R R stetig und (a n) n N eine divergente Folge reeller Zahlen. Dann divergiert auch die Folge (f(a n )) n N. F Es sei (a n) n N eine Folge reeller Zahlen, so daß die Teilfolgen (a 2n ) n N und (a 2n 1 ) n N konvergieren. Dann konvergiert auch (a n ) n N. W Die Funktion f : R\{0,1} R, f(x) = x3 x (x 1) ist stetig. W Es sei (a n) n N eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen, so daß die Reihe n=1 a n konvergiert. Dann konvergiert auch die Reihe n=1 a2 n. W Die Funktion f : R R, f(x) = x x, ist im Punkt 0 differenzierbar. ad (i) Dies ist die Aussage des Satzes von Bolzano-Weierstraß. ad (ii) Betrachte z.b. die Menge [0,1) in R, welche weder offen noch abgeschlossen ist. ad (iii) An den Randpunkten des Konvergenzkreises (bzw. -intervalles) muß die Potenzreihe nicht konvergieren, siehe z.b. Aufgabe 5. ad (iv) Betrachte z.b. die stetige Funktion f : R R, f(x) := 0 für alle x R und die divergierende Folge x n := n, n N. Dann konvergier die Folge der Bildpunkte f(x n ) = 0, n N gegen Null. ad (v) Betrachte z.b. die Folge ( 1) n. Dann konvergiert ( 1) 2n gegen 1 und ( 1) 2n 1 gegen 1, aber ( 1) n selbst konvergiert nicht. ad (vi) Dies ist wahr, da f auf dem Definitionsbereich als Komposition stetiger Funktionen stetig ist (es wird nicht durch Null geteilt!). ad (vii) Da n=1 a n konvergiert, so ist (a n ) eine Nullfolge und somit durch eine Konstante K beschränkt. Da mit n=1 a n auch n=1 Ka n = K n=1 a n konvergiert und da a 2 n Ka n gilt, folgt die Behauptung nach dem Majorantenkriterium.

2 ad (viii) Es gilt mit der Definition derdifferenzierbarkeit: f(x) f(0) x x 0 lim = lim = lim x = 0. x 0,x 0 x 0 x 0,x 0 x x 0,x 0 Somit ist f in 0 differenzierbar und f (0) = 0.

3 Aufgabe 2.: Es sei X eine nichtleere Menge und eine Norm auf X. 5 Punkte (i) Zeigen Sie, daß f : X [0, ), f(x) := x, x X, eine stetige Funktion ist. (ii) Es sei A := {x X x = 2}. Zeigen Sie, daß A eine abgeschlossene Menge ist. (i) Sei x 0 X beliebig und ǫ > 0 beliebig. Wir setzen δ := ǫ. Dann gilt mit der umgekehrten Dreiecksungleichung für alle x X mit x x 0 < δ: f(x) f(x 0 ) = x x 0 x x 0 < δ = ǫ. (ii) Da das Urbild abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen abgeschlossen ist, und da {2} [0, ) eine abgeschlossene Menge ist, so folgt, daß abgeschlossen in X ist. A = {x X x = 2} = f 1 ({2})

4 Aufgabe 3.: 3 Punkte Es sei (X, ) ein normierter Raum und (a n ) n N X eine konvergente Folge in X. Zeigen Sie, daß (a n ) n N beschränkt ist. Sei lim n a n =: a X. Wir wählen z.b. ǫ = 1. Dann gibt es nach der Definition der Konvergenz ein N > 0, so daß a n a < ǫ = 1 für alle n > N, also a n a + 1. Mit K := max{ a 1,..., a N, a + 1} folgt somit a n K für alle n N.

5 Aufgabe 4.: 4 Punkte (i) Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge (f n ) n N mit f n : [0,1] R, f n (x) := x n sin(πx) und entscheiden Sie, ob (f n ) n N gleichmäßig konvergiert (Begrnden Sie Ihre Antwort!). (ii) Geben Sie ein Beispiel einer punktweise konvergenten Funktionfolge (f n ) n N auf dem Intervall [0,1] an, so daß für jedes n N die Funktion f n stetig ist, die Grenzfunktion f jedoch nicht. (i) Für x = 1 ist f n (1) = 1sin(π) = 0 für alle n N und somit f n (1) 0 für n. Für 0 x < 1 gilt f n (x) = x n sin(πx) x n 0 für n. Somit konvergiert f n (x) 0 für alle x [0,1]. Die Konvergenz ist nach dem Satz von Dini gleichmäßig, denn [0, 1] ist kompakt, sowohl alle f n als auch die Nullfunktion sind stetig und f n (x) konvergiert für jedes x [0,1] monoton (fallend) gegen 0. (ii) Wir können hier das aus der Vorlesung bekannte Beispiel f n : [0,1] R, f n (x) := x n wählen. Diese Folge stetiger Funktionen konvergiert punktweise gegen die nicht stetige Grenzfunktion { 0, falls 0 x < 1 f : [0,1] R, f(x) := 1 falls x = 1.

6 Aufgabe 5.: Bestimmen Sie alle x R, für die die Potenzreihe 4 Punkte n=1 (x 2) n n konvergiert. Wir bestimmen zunächst den Konvergenzradius: ρ = lim n a n a n+1 = lim n n + 1 n = lim 1 + 1/n = 1. n Da der Entwicklungspunkt der Potenzreihe x 0 = 2 ist, konvergiert die Postenzreihe jedenfalls auf dem Intervall (1,3). Wir betrachten nun die Randpunkte: x = 1 : Hier ist die Konvergenz der Reihe n=1 ( 1)n 1 n zu untersuchen, welche nach dem Leibnizkriterium konvergiert, da (1/ n) eine monoton fallende Nullfolge ist. x = 3 : Hier ist die Konvergenz der Reihe n=1 1 n zu untersuchen, welche nach dem Minorantenkriterium divergiert, denn es ist für alle n N: 1/ n 1/n und die Reihe n=1 1 n konvergiert bekanntermaßen nicht (harmonische Reihe). Somit konvergiert die Potenzreihe genau auf dem Intervall [1,3).

7 Aufgabe 6.: Es sei f : R R, f(x) := { x 2 cos(1/x) falls x 0 0 falls x = 0. 4 Punkte (i) Zeigen Sie, daß f auf ganz R differenzierbar ist. (ii) Entscheiden Sie, ob f auf ganz R stetig ist (mit Begründung). (i) Für x 0 ist f als Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar. Für x = 0 betrachten wir die Definition der Differenzierbarkeit: f(x) f(0) x 2 cos(1/x)) lim = lim = lim xcos(1/x) = 0, x 0,x 0 x 0 x 0,x 0 x x 0,x 0 denn x cos(1/x) x 0 für x 0. Somit ist f auf ganz R differenzierbar. (ii) Jede differenzierbarre Funktion ist auch stetig. Somit ist nach dem ersten Aufgabenteil f auch stetig.

8 Aufgabe 7.: Es sei f : [1,2] R, f(x) := 2 x 4 x Punkte (i) Zeigen Sie, daß f mindestens eine Nullstelle besitzt. (ii) Zeigen Sie, daß f höchstens eine Nullstelle besitzt. (i) Es ist f eine stetige Funktion auf [1,2] und f(1) = 2 > 0, f(2) = 1/8 2+1 = 7/8 < 0. Somit hat f nach dem Zwischenwertsatz zumindest eine Nullstelle. (ii) Angenommen, f besitze zwei verschiedene Nullstellen x 1 x 2. Da f differenzierbar auf (1,2) und stetig auf [1,2] ist, existiert nach dem Mittelwertsatz ein ξ zwischen x 1 und x 2 mit f (ξ) = f(x 1) f(x 2 ) x 1 x 2 = 0. Es ist aber f (x) = 8 x 5 1 < 0 für alle x (1,2), also insbesondere auch f (ξ) < 0, Widerspruch!

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