Beispiel für stabile Spielausgänge. Kapitel 5: Nash-Gleichgewicht. Anna Theater Fußball

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1 Kapitel 5: Nash-Gleichgewicht 5. Nash-Gleichgewicht Frage nach stabilen Spielausgängen Stabile soziale Konventionen Definition Nash-Gleichgewicht Nash-GG als gegenseitig beste Antworten Wie findet man Nash-Gleichgewichte? Anwendung: Cournot Duopol Anwendung: Cournot Oligopol Multiple Nash-GGe; Nicht-Existenz von Nash-GGen Beispiel für instabile Spielausgänge Theater, 2, Fußball 0, 0 2, Dieses Spiel hat keine dominierten Strategien (aber instabile Spielausgänge) Die Absprache (: Fußball, : Theater) wäre instabil,... weil wenigstens einer (hier beide) einen Anreiz hat, davon abzuweichen: : Lieber mit ins Theater als alleine zum Fußball : Lieber mit zum Fußball als alleine ins Theater Als dauerhafter Spielausgang würde sich das nicht lange halten (Es sei denn, sie sind gar nicht so gerne zusammen, aber dann: Spiel falsch) Eine sehr instabile Absprache wäre: (: Theater, : Fußball) Theater 2,, Fußball 0, 0, 2 / 24 3 / 24 Frage nach stabilen Spielausgängen Nachteile des bisherigen Lösungskonzepts Dominanz : a) Geringe Vorhersagekraft über den Spielausgang: In vielen Spielen überleben zahlreiche Strategien die Elimination. b) hme hoher Rationalität (strateg. Denken) der Spieler: Die Spieler müssen um viele Ecken denken können. Wir führen in diesem Kapitel mit dem Nash-Gleichgewicht ein Lösungskonzept ein, das nicht versucht, den Spielausgang aus dem strategischen Denken der Spieler (Einbeziehung der Rationalität der Gegenspieler) zu deduzieren, sondern aus der Frage nach stabilen stationären Zuständen des Spiels: Welche Spielausgänge sind stabil, insofern als rationale Spieler keinen Anreiz haben, davon abzuweichen? Frage: Welche Absprachen des Spielausgangs wären nicht instabil? Angenommen, die Spieler haben verabredet, dass jeder eine vorgegebene Strategie spielt, kommen aber in die Situation des Spiels (wo sie unabhängig voneinander ziehen). Hätten sie dann einen Anreiz, von der Absprache abzuweichen? Beispiel für stabile Spielausgänge Theater, 2, Fußball 0, 0 2, Eine Absprache darüber, dass beide ins Theater gehen,... wäre nicht instabil, insofern als... keine(r) einen Anreiz hat, von (Theater, Theater) abzuweichen. (Anreiz für Aufrechterhaltung bei allerdings geringer als bei ) Dieser Spielausgang könnte sich als stationärer Zustand stabilisieren. Ähnlich bei (: Fußball, : Fußball): Theater, 2, Fußball 0, 0 2, 2 / 24 4 / 24

2 Stabile soziale Konventionen Abstraktion des Beispiels: Eine Verhaltensregel (oder soziale Konvention) ist stabil, wenn gilt: Gegeben alle anderen Spieler halten sich daran, so ist es für jeden Spieler individuell optimal,... sich auch daran zu halten. Man sagt auch Die Konvention ist selbstdurchsetzend (self-enforcing) Soziale Konventionen, die nicht stabil sind, werden sich auf Dauer nicht etablieren,... denn einige Spieler haben den Anreiz, davon abzuweichen. Formal lässt sich eine soziale Konvention als Spielausgang s = (s,..., s n ) darstellen, wobei s i die individuelle Regel für Spieler i ist. Als systematische Prognose sollte ein Spielausgang stabil sein. Nash-GGe im Battle of Sexes Theater, 2, Fußball 0, 0 2, (Theater, Theater) ist Nash-GG, denn hat keinen Anreiz, davon abzuweichen: u O (Theater, Theater) = > hat keinen Anreiz, davon abzuweichen: 0 = u O (Fußball, Theater) u A (Theater, Theater) = 2 > = u A (Theater, Fußball) Genauso: (Fußball, Fußball) ist Nash-GG Beachte: Nicht: das Nutzenpaar (, 2), sondern: das Strategienprofil (Theater, Theater) ist ein Nash-GG. 5 / 24 7 / 24 Definition: Nash-Gleichgewicht Ein Nash-Gleichgewicht realisiert eine stabile soziale Konvention: Definition: Sei G ein Spiel in Normalform. Das Strategienprofil s = (s,..., s n) heißt Nash-Gleichgewicht, wenn für alle i u i (s i, s i) u i (s i, s i) für alle s i S i In Worten: Für jeden Spieler i gilt: Wenn alle anderen s i spielen, habe ich keinen Anreiz, von s i zu einer anderen Strategie s i abzuweichen. Nash-GG ist das wichtigste Konzept der Spieltheorie John Nash: Nobelpreis 994 Nash-GG im Gefangenendilemma Fahrrad Auto Fahrrad 0, 0 2, Auto, 2, Beide fahren mit dem Auto (Auto, Auto) ist Nash-GG, denn hat keinen Anreiz, daraus abzuweichen: u O (Auto, Auto) = > 2 = u O (F ahrrad, Auto) Genauso: hat keinen Anreiz, daraus abzuweichen Einer fährt mit dem Auto, z.b. (O:Fahrrad, A:Auto), kein Nash-GG: Der Radfahrer will zum Auto ausweichen. Beide fahren mit dem Rad (Fahrrad, Fahrrad) kein Nash-GG. Nur die Absprache darüber, dass alle Autofahren, ist anreiz-kompatibel. 6 / 24 8 / 24

3 Nash-GG als gegenseitig beste Antworten (BiM) Man kann ein Nash-GG einfach charakterisieren mit Hilfe Bester Antworten Die beste Antwort von Spieler i gegen die Strategie s i ist die nutzenmaximierende Strategie, wenn die Gegenspieler s i spielen Beispiel: x y z a 0, 4 4, 0 5, 3 b 4, 0 0, 4 5, 3 c 3, 5 3, 5 6, 6 Beste Antwort v. SP auf x ist b Beste Antwort v. SP auf y ist a Beste Antwort v. SP auf z ist c Beste Antw. v. SP2 auf a ist x auf b ist y auf c ist z Nash-GG als gegenseitig beste Antworten (NF) Betrachte SPi und fixiere eine beliebige Strategie s i der Gegenspieler Betrachte eine beste Strategie s i für Spieler i gegen s i, d.h. u i (s i, s i ) u i (s i, s i ) Eine solche Strategie s i heißt für alle s i S i (eine) beste Antwort von Spieler i auf s i Wenn Spieler i s beste Antwort auf jede Gegenstrategie s i eindeutig ist, definieren wir Spieler i s Reaktionsfunktion R i : S i S i als R i (s i ) := beste Antwort von Spieler i auf s i Suggestiver: R i (s i ) = s i (s i) Da die Eindeutigkeit nicht gegeben sein muss, legt man allgemein als Wert der Reaktionsfunktion die Menge der besten Antworten fest: R i (s i ) := arg max s i S i u i (s i, s i ) 9 / 24 / 24 Nash-GG als gegenseitig beste Antworten (BiM) Das (einzige) Nash-GG ist (c, z), denn Für SP ist c beste Antwort auf z x y z a 0, 4 4, 0 5, 3 b 4, 0 0, 4 5, 3 c 3, 5 3, 5 6, 6 Also hat SP keinen Anreiz für Abweichung aus c, wenn SP2 z spielt ( SP hat in c keine profitable Abweichung gegen z ) Für SP2 ist z beste Antwort auf c Also hat SP2 keinen Anreiz für Abweichung aus z, wenn SP c spielt ( SP2 hat in z keine profitable Abweichung gegen c ) Satz: Gegenseitig beste Antworten bilden Nash-GG Nash-GG als gegenseitig beste Antworten (NF) Ein Strategienprofil s = (s,..., s n) ist Nash-GG genau dann, wenn für alle Spieler i gilt. s i = R i (s i) [bzw. s i R i (s i )] Denn dann gilt gemäß Definition der Reaktionsfunktion für alle Spieler i... u i (s i, s i) u i (s i, s i) für alle s i S i... und das ist gerade die Definition des Nash-GG Also: Ein Nash-GG ist ein Strategienprofil, in dem alle individuellen Strategien gegenseitig beste Antworten aufeinander sind. 0 / 24 2 / 24

4 Wie findet man Nash-GG in Bimatrix-Spielen? Wie gesehen: Bestimme beste Antworten für SP Bestimme beste Antworten für SP 2 x y z a 0, 4 4, 0 5, 3 b 4, 0 0, 4 5, 3 c 3, 5 3, 5 6, 6 Gegenseitig beste Antworten sind Nash-GG Hier ergibt sich ein einziges Nash-GG: (c, z) Beispiel zu: Nash-GG bei stetigen S i n = 2, S = S 2 = (0, ). Die Nutzenfunktionen seien: u (s, s 2 ) = s s 2 2 s 2, u 2 (s, s 2 ) = 8s 2 s s 2 2 wobei x = s die Strategie von SP darstellt, y = s 2 die von SP2. Die Bedingungen. Ordnung ergeben: max u (s, s 2 ) u s S s = s 2! 2 2s = 0 s = s2 2 /2 = R (s 2 ) max u 2 (s, s 2 ) u 2! s 2 S s 2 = 8 2s s 2 = 0 s 2 = 4/s = R 2 (s ) 2 Setzt man s = s 2 2 /2 (R-fkt. von SP) in s 2 = 4/s (R-fkt von SP2) ein, ergibt sich s 2 = 8/s 2 2 s 3 2 = 8 s 2 = +2 Einsetzen in s = s 2 2 /2 liefert s = 4/2 = 2. Die Bedingungen 2. Ordnung 2 u s 2 = 2 < 0, 2 u s 2 2 = 2s < 0 für s > 0, zeigen, dass (s, s 2) = (2, 2) das (einzige) Nash-GG des Spiels ist. 3 / 24 5 / 24 Wie findet man Nash-GG bei stetigen S i? Wenn die Nutzenfunktionen glatt (genügend oft differenzierbar) sind: Indem man die Bedingung. Ordnung für beste Antworten aufstellt und das entstehende Gleichungssystem löst: max s S u (s,... s n ) u s (s,..., s n ) = 0. max u n (s,... s n ) s n S n.. n s n (s,..., s n ) = 0 Auch die Bedingungen 2. Ordnung checken! Gilt für alle i: 2 u i (s s 2,..., s n ) < 0?? i Gl.System von n Gleichungen in n Unbekannten Behandlung in dieser einfachen Form nur möglich, wenn - Strategieräume S i keine Nebenbed. darstellen (z.b. S i = [0, ] statt S i = R) - Beste Antworten eindeutig sind. - Nutzenfunktionen u i (s i, s i ) konkav in s i für jedes s i sind. Nash-GG als Schnittpkt. der Reaktionsfunktionen Bei n = 2 Spielern kann man Nash-GGe auch graphisch bestimmen, indem man in der (s, s 2 )-Ebene die Reaktionsfunktion R 2 (s ) = s 2(s ) über der horiz. Achse (s -Achse) die Reaktionsfunktion R (s 2 ) = s (s 2 ) über der vertik. Achse (s 2 -Achse) aufträgt. Dort (und nur dort), wo sich die Graphen schneiden, liegt ein Nash-GG, denn s 2 = R 2 (s ) ist beste Antwort v. SP2 auf die Strategie s v. SP s = R (s 2 ) ist beste Antwort v. SP auf die Strategie s 2 v. SP2 Im vorherigen Beispiel hatten wir: R 2 (s ) = 4/s, R (s 2 ) = s 2 2 /2 Diese Funktionen sind rechts abgebildet. Anmerkung: Ein Nash-GG ist ein Fixpunkt der Abbildung ( ) ( ) ( ) s R (s 2 ) s = (s 2 ) R 2 (s ) s 2(s ) s 2 s 2 s 2 = R 2 (s ) Nash-GG s = R (s 2 ) 4 / 24 s 6 / 24

5 Cournot Duopol Betrachte einen Mengenwettbewerb zwischen zwei Firmen, die das gleiche Gut produzieren. Jede Firma wählt eine Produktionsmenge (= Absatzmenge) q i, i =, 2 Der Preis p = P (Q), bei dem die Menge Q = q + q 2 nachgefragt wird, sei P (Q) = a Q [P (Q) ist die Preis-Absatz-Fkt = (inverse) Nachfragefkt.] [a ist der Prohibitivpreis der Nachfrage: Der Preis, ab dem die Nachfrage negativ wird.] Die Produktionskosten von Firma i seien durch C i (q i ) = c i q i gegeben. [c i sind die Grenzkosten von Firma i, die hier als konstant angenommen werden.] Die Gewinnfunktion von Firma i ist also π i (q, q 2 ) = P (Q) q i C i (q i ) = ( a (q + q 2 ) ) q i c i q i Ziel: Nash-GG desjenigen Spiels bestimmen, bei dem die Strategie von Firma i durch q i gegeben ist und der Nutzen u i (s, s 2 ) durch den Gewinn π i (q, q 2 ). Anmerkung: Ein Wettbewerb entsteht dadurch, dass die Firmen ihre Produktionsmengen q i unabhängig voneinander wählen müssen. Bestimmung des Nash-GG im Cournot-Duopol Die Strategien sind q und q 2, die Nutzenfunktionen die Gewinnfunktionen π (q, q 2 ) = ( a (q +q 2 ) ) q c q = (a c ) q q 2 q 2 q π 2 (q, q 2 ) = ( a (q +q 2 ) ) q 2 c 2 q 2 = (a c 2 ) q 2 q 2 2 q q 2 Bedingungen. Ordnung: π! q = (a c ) 2q q 2 = 0 2q + q 2 = a c π 2! q 2 = (a c 2 ) 2q 2 q = 0 q + 2q 2 = a c 2 Lösung des entstandenen linearen Gl.Systems in (q, q 2 ) ergibt Nash-GG: q = 3 (a 2c + c 2 ) = 3 (a c ) + 3 (c 2 c ) q 2 = 3 (a 2c 2 + c ) = 3 (a c 2) + 3 (c c 2 ) Auch möglich: Reaktionsfunktionen R (q 2 ) = q (q 2 ) = 2 (a c q 2 ) R 2 (q ) = q 2(q ) = 2 (a c 2 q ) zeichnen; Schnittpunkt ergibt Nash-GG. Prod.Menge Q u. Preis p im Nash-GG: Q = q + q 2 = 2 3 a 3 (c + c 2 ) p = a Q = 3 a + 3 (c + c 2 ) q 2 a-c ½(a-c 2 ) Bedingung 2.ter Ordn. erfüllt. Lösung nicht für bel. a, c, c 2 ökon. sinnvoll: q i 0? Q a? q = R (q 2 ) ½(a-c ) Reaktionsfkt.nen haben konst. Steigung 2 bzw. ½. Änderung c i i => Parallelverschiebung Nash-GG q 2 = R 2 (q ) a-c 2 a q 7 / 24 8 / 24 Nash-Cournot-Duopol vs. Kartell (I) Die folgende Tabelle vergleicht die Nash-Cournot-Prognose im Fall c i = c, wo q = q2 = 3 (a c), mit den Resultaten, die die Firmen erzielen, wenn sie q K = q2 K = 4 (a c) wählen. Die Summe q K + q2 K = 2 (a c) ist die gewinnmaximierende Produktionsmenge eines Monopolisten. Das Strategienprofil (q K, q2 K ) entspricht also einem Kartell der beiden Firmen, das als Monopolist auftritt, um sich dessen Gewinn 4 (a c)2 > 2 9 (a c)2 zu teilen. q i q + q 2 p π i π + π 2 Nash 3 (a c) 2 3 (a c) 3 a c 9 (a c)2 2 9 (a c)2 Kartell 4 (a c) 2 (a c) 2 a + 2 c 8 (a c)2 4 (a c)2 Im Nash-GG sind die Produktionsmengen q i höher, der Preis p (somit) geringer und die Gewinne π i geringer als im Kartell. Es muss c < a angenommen werden sonst produzieren die Firmen nicht. Nash-Cournot-Duopol vs. Kartell (II) Warum sind die Produktionsmengen im Nash-GG höher als im Kartell? Weil die Produktionsmengen im Kartell als diejenigen eines Monopolisten gering sind. Die beste Antwort auf eine derart geringe Produktionsmenge der anderen Firma, stünden die Firmen im Duopol-Wettbewerb, läge bei einer größeren Produktionsmenge. Beachte dazu: Das Kartell entspricht einer Absprache auf feste Strategien qi K, und diese Absprache wäre in der Wettbewerbssituation des Cournot-Duopols nicht stabil: Beide hätten dort einen Anreiz, sich nicht an die Absprache zu halten (sondern größere q i zu wählen). Warum ergeben sich im Nash-GG geringere Gewinne als im Kartell? Die meiste Marktmacht hat ein Monopolist. Er setzt schon den maximal erreichbaren Gewinn durch, und das Kartell dient diesem Zweck. Die Marktmacht der Firmen im Nash-GG ist geringer, weil sie hier in einem gewissen Wettbewerb stehen, indem sie ihre Produktionsmengen unabhängig voneinander wählen müssen. Gewisse Parallele zum GD: Kartell Kooperation. 9 / / 24

6 Cournot Oligopol Betrachte jetzt Mengenwettbewerb zwischen n Firmen, die das gleiche Gut produzieren. Jede Firma wählt eine Produktionsmenge (= Absatmenge) q i Der Preis p = P (Q), bei dem die Menge Q = q q n nachgefragt wird, sei P (Q) = a Q Die Produktionskosten von Firma i seien durch C i (q i ) = c i q i gegeben. hme: c i = c für alle i. Außerdem: c < a. Die Gewinnfunktion von Firma i ist also π i (q,..., q n ) = P (Q) q i C(q i ) = ( a (q q n ) ) q i c q i Ziel: Nash-GG desjenigen Spiels bestimmen, bei dem die Strategie von Firma i durch q i gegeben ist und der Nutzen u i (s,..., s n ) durch den Gewinn π i (q,..., q n ). Anmerkung: Der Wettbewerb entsteht dadurch, dass die Firmen ihre Produktionsmengen q i unabhängig voneinander wählen müssen. Multiple Nash-Gleichgewichte Bereits gesehen: Nash-GG nicht immer eindeutig: (Theater, Theater) und (Fußball, Fußball) waren beides Nash-GGe im BoS Auf den ersten Blick erscheint das als Nachteil des Nash-Konzepts. Allerdings gibt es viele Anwendungen, wo tatsächlich mehrerer stabile soziale Konventionen existieren und die Nash-GGe bilden diese dann ab. Battle of Sexes ist ein Beispiel, ein (ähnliches) anderes ist: Links Rechts Straßenverkehr: Links, 0, 0 Rechts 0, 0, Das Spiel hat zwei Nash-GGe, (Links, Links) und (Rechts, Rechts). Das erste beschreibt Großbrittannien, das zweite den Kontinent Existenz mehrerer Nash-GGe kann erklären, warum in verschiedenen Ländern verschiedene Konventionen bestehen, obwohl die ökonomischen Grunddaten gleich sind 2 / / 24 Nash-GG im Cournot Oligopol π i = (a Q) q i c q i wobei: Q = q q n π i q i = q i (a Q) q i + (a Q) q i q i c = ( ) q i + (a Q) c = a c q i Q! = 0 Ansatz: q i = q für alle i. Dann Q = nq i und 0 = a c nq i q i = a c (n + ) q i q i = a c n+ Also: Nash-GG: q i = a c n+ für alle i Bed. 2.ter Ordn. sind erfüllt. Einziges Nash-GG, da LGS regulär Markräumungspreis: p = a Q = a n n+ (a c) = n+ a + n n+ c Für a > c ist p > n+ c + n n+ c = c D.h. Preis > Grenzkosten: Jede Firma hat Marktmacht Aber lim n p = c. D.h. Preis konvergiert gegen Grenzkosten, wenn Anzahl Firmen wächst. Im Grenzübergang n wie vollkommener Wettbewerb. Spiele ohne Nash-GG (in reinen Strategien) Es gibt viele Spiele, die kein Nash-GG (in reinen Strategien) aufweisen. Z.B. hat das Elfmeter-Spiel kein Nash-GG: Schütze Torwart Links Rechts Links, + +, Rechts +,, + Existenz eines Nash-GG würde hier bedeuten: Beide können vor dem Elfmeter verabreden, wer Gewinner und wer Verlierer ist, ohne dass der verabredete Gewinner befürchten muss, dass der verabredete Verlierer sich beim Elfmeter zum faktischen Gewinner macht. Die Zusage des verabredeten Verlierers wäre unglaubwürdig. Nicht-Existenz eines Nash-GGs hat auch einen Informationsgehalt: Die Spieler haben in diesem Spiel keine Möglichkeit, aus dem Spiel heraus glaubwürdige Verabredungen auf feste Strategien zu treffen. 22 / / 24