Optimale Steuerung Studieren geht über Probieren

Transkript

1 Studieren geht über Probieren Antrittsvorlesung 23. Oktober 2008

2 Danksagungen Hans Josef Pesch Fredi Tröltzsch Karl Kunisch Martin Bernauer Frank Schmidt Gerd Wachsmuth

3 Wegweiser Einmal von A nach B bitte! gewöhnlicher Differentialgleichungen partieller Differentialgleichungen freier Randwertprobleme und Variationsungleichungen

4 Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B

5 Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung?

6 Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1

7 Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 zuerst Idee: F = 1 dann

8 Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T

9 Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T Lösung dist 2 = 1 2 a t2 s

10 Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T Lösung dist 2 = 1 2 F M t2 s

11 Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T Lösung dist 2 = M t2 s t s = M dist, T = 2 M dist

12 Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T Lösung dist 2 = M t2 s t s = M dist, T = 2 M dist M = 2, dist = 10 T = 8.94 s

13 Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T

14 Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T s Kran (0) = A s Last (0) = A

15 Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B

16 Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0

17 Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0 Gewöhnliche Differentialgleichung ṡ Kran 1 s Kran v Kran ṡ Last (t) = α β α β v Kran 1 s Last (t) + v Last β β v Last α = m Last /m Kran, β = g/l F (t) m Kran

18 Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T, F (t) 1 s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0 Gewöhnliche Differentialgleichung ṡ Kran 1 s Kran v Kran ṡ Last (t) = α β α β v Kran 1 s Last (t) + v Last β β v Last α = m Last /m Kran, β = g/l F (t) m Kran

19 Beispiel: Lastkran Zweidimensionale Bewegung Minimiere T, F (t) 1 s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0 ṡ Kran v Kran ṡ Last v Last = 1 α β α β 1 β β s Kran v Kran s Last + v Last F (t) m Kran

20 Beispiel: Lastkran Zweidimensionale Bewegung Minimiere T, F (t) 1 s Kran (0) = A s Last (0) = A v Kran (0) = 0 v Last (0) = 0 s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (T ) = 0 v Last (T ) = 0 ṡ Kran v Kran ṡ Last v Last = 1 α β α β 1 β β s Kran v Kran s Last + v Last F (t) m Kran

21 Beispiel: Lastkran Zweidimensionale Bewegung ṡ Kran v Kran ṡ Last v Last = Minimiere T, F (t) 1 s Kran (0) = A s Kran (T ) = B s Last (0) = A s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0 1 α β α β s Kran v Kran 1 s Last + v Last β β F (t) m Kran

22 Beispiel: Lastkran Zweidimensionale Bewegung s Kran v Kran s Last v Last = Minimiere T, F (t) 1, G(t) 1 s Kran (0) = A s Last (0) = A v Kran (0) = 0 s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = α β α β s Kran α β α β v Kran 1 s Last + 1 v Last β β β β F (t) m Kran G(t) m Kran

23 : Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen

24 : Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen T Minimiere g(x(t )) + f 0 (x(t), u(t), t) dt 0 Zielfunktional

25 : Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen T Minimiere g(x(t )) + f 0 (x(t), u(t), t) dt 0 unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) x(0) = x 0 ψ(x(t)) = 0 Zielfunktional Differentialgleichung Anfangsbedingung Endbedingung

26 : Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen T Minimiere g(x(t )) + f 0 (x(t), u(t), t) dt 0 unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) x(0) = x 0 ψ(x(t)) = 0 u u(t) u Zielfunktional Differentialgleichung Anfangsbedingung Endbedingung Beschränkungen

27 : Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen T Minimiere g(x(t )) + f 0 (x(t), u(t), t) dt 0 unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) x(0) = x 0 ψ(x(t)) = 0 u u(t) u Zielfunktional Differentialgleichung Anfangsbedingung Endbedingung Beschränkungen (unendlich-dimensionale Optimierungsaufgabe)

28 Zwei Lösungsansätze Optimalsteuerungsaufgabe Minimiere g(x(t )) + T 0 f 0 (x(t), u(t), t) dt unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) und Beschränkungen

29 Zwei Lösungsansätze Optimalsteuerungsaufgabe Minimiere g(x(t )) + T 0 f 0 (x(t), u(t), t) dt unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) und Beschränkungen Diskretisierung Optimierungsproblem Minimiere F ( x, u) unter G( x, u) = 0 und H( x, u) 0

30 Zwei Lösungsansätze Optimalsteuerungsaufgabe Minimiere g(x(t )) + T 0 f 0 (x(t), u(t), t) dt unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) und Beschränkungen notwendige Bedingungen Randwertaufgabe λ(t) = f x (x, u) λ(t) f 0,x (x, u) λ(t ) = und Minimumprinzip für u Diskretisierung Optimierungsproblem Minimiere F ( x, u) unter G( x, u) = 0 und H( x, u) 0 [Hestenes 1950], [Pontryagin 1956]

32 Beispiel: Aluminiumguss Illustration: B.Q. Li

33 Beispiel: Aluminiumguss Eigenschaften Konvektionsströmung aufgrund eines Temperaturgradienten unerwünschter Eintrag von Unreinheiten Idee: Dämpfung der Strömung durch Magnetfelder Illustration: B.Q. Li

34 Beispiel: Kristallzüchtung nach Czochralski Eigenschaften Konvektionsströmung freie Oberfläche, Marangoni-Effekt, nicht-lokale Strahlung Ziel: Strömungsbeeinflussung durch Magnetfelder

35 Grundlagen der MHD Magnetohydrodynamik (MHD) beschreibt die Wechselwirkung von elektrisch leitfähigen Fluiden und Magnetfeldern

36 Grundlagen der MHD Magnetohydrodynamik (MHD) beschreibt die Wechselwirkung von elektrisch leitfähigen Fluiden und Magnetfeldern Gewünschte Effekte Rühren, Mischen, Dämpfen, Filtrieren, Formgeben

37 Grundlagen der MHD Magnetohydrodynamik (MHD) beschreibt die Wechselwirkung von elektrisch leitfähigen Fluiden und Magnetfeldern Gewünschte Effekte Rühren, Mischen, Dämpfen, Filtrieren, Formgeben Anwendungsfelder Kristallzüchtung Aluminiumproduktion Stahl- und Aluminiumgießen

38 Grundlagen der MHD Wechselwirkungen Magnetfelder üben eine Lorentzkraft auf bewegte Ladungsträger aus

39 Grundlagen der MHD Wechselwirkungen Magnetfelder üben eine Lorentzkraft auf bewegte Ladungsträger aus (kontaktlose Beeinflussung)

40 Grundlagen der MHD Wechselwirkungen Magnetfelder üben eine Lorentzkraft auf bewegte Ladungsträger aus (kontaktlose Beeinflussung) bewegte Ladungsträger im Magnetfeld induzieren Ströme

41 Grundlagen der MHD Wechselwirkungen Magnetfelder üben eine Lorentzkraft auf bewegte Ladungsträger aus (kontaktlose Beeinflussung) bewegte Ladungsträger im Magnetfeld induzieren Ströme Ströme induzieren Magnetfelder

42 Gleichungen: Stationärer Fall Navier-Stokes-System mit Lorentzkraft ϱ (u )u η u + p = J B u = 0 Geschwindigkeit u in Ω Druck p in Ω Stromdichte J in Ω magnet. Induktion B in R 3

43 Gleichungen: Stationärer Fall Navier-Stokes-System mit Lorentzkraft ϱ (u )u η u + p = J B u = 0 Geschwindigkeit u in Ω Druck p in Ω Ladungserhaltung und Ohmsches Gesetz σ 1 J + φ = u B J = 0 Stromdichte J in Ω elektrisches Potential φ in Ω magnet. Induktion B in R 3

44 Gleichungen: Stationärer Fall Navier-Stokes-System mit Lorentzkraft ϱ (u )u η u + p = J B u = 0 Geschwindigkeit u in Ω Druck p in Ω Ladungserhaltung und Ohmsches Gesetz σ 1 J + φ = u B J = 0 Stromdichte J in Ω elektrisches Potential φ in Ω Keine magnetischen Monopole und Ampèresches Gesetz B = 0 and (µ 1 B) = J magnet. Induktion B in R 3

45 Gleichungen: Stationärer Fall Navier-Stokes-System mit Lorentzkraft ϱ (u )u η u + p = J B u = 0 Geschwindigkeit u in Ω Druck p in Ω Ladungserhaltung und Ohmsches Gesetz σ 1 J + φ = u B J = 0 Stromdichte J in Ω elektrisches Potential φ in Ω Keine magnetischen Monopole und Ampèresches Gesetz B = 0 and (µ 1 B) = J magnet. Induktion B in R 3

46 Gleichungen: Stationärer Fall Navier-Stokes-System mit Lorentzkraft ϱ (u )u η u + p = J B u = 0 u = h Ladungserhaltung und Ohmsches Gesetz σ 1 J + φ = u B J = 0 J n = j φ = φ c Keine magnetischen Monopole und Ampèresches Gesetz B = 0 and (µ 1 B) = J magnet. Induktion B in R 3

47 Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung

48 Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Fluidregion Ω

49 Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Elektroden Fluidregion Ω

50 Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Elektroden Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen)

51 Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Elektroden Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen) einstellbare Größen: Potentialdifferenz, externe Magnetfelder

52 Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Elektroden φ = { φ c Steuerung R 0 Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen) einstellbare Größen: Potentialdifferenz, externe Magnetfelder

53 Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Minimiere 1 2 u u d 2 L 2 (Ω) + γ 2 φ c 2 unter MHD-System Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen) einstellbare Größen: Potentialdifferenz, externe Magnetfelder

54 Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Minimiere 1 2 u u d 2 L 2 (Ω) + γ 2 φ c 2 unter MHD-System φ = φ c an Elektrode 1 φ = 0 an Elektrode 2 J n = 0 sonst Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen) einstellbare Größen: Potentialdifferenz, externe Magnetfelder

55 Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Minimiere 1 2 u u d 2 L 2 (Ω) + γ 2 φ c 2 unter MHD-System φ = φ c an Elektrode 1 φ = 0 an Elektrode 2 J n = 0 sonst Problemdaten Materialdaten für flüssiges Al bei 700 C B 0 = 10 4 (0, 0, x)t, u d = Rotationsströmung

56 Numerische Ergebnisse Optimale Lösung (Potential φ)

57 Numerische Ergebnisse Optimale Lösung (Stromdichte J)

58 Numerische Ergebnisse Optimale Lösung (Geschwindigkeit u)

59 Numerische Ergebnisse Optimale Lösung (Geschwindigkeit u)

61 Das Stefan-Problem

62 Das Stefan-Problem Γ C Γ I (t) Ω(t) D Γ N Wärmeleitungsgleichung ϱ c p y t k y = f y = 0 k y n = u k y n = g y(0) = y 0 in Ω(t) auf Γ I (t) auf Γ C auf Γ N in Ω(0) [Stefan 1889]

63 Das Stefan-Problem Γ C Γ I (t) Ω(t) D Γ N Wärmeleitungsgleichung ϱ c p y t k y = f y = 0 k y n = u k y Stefan-Bedingung n = g y(0) = y 0 in Ω(t) auf Γ I (t) auf Γ C auf Γ N in Ω(0) ϱ λ F n = k y n auf Γ I (t) [Stefan 1889]

64 Optimierung des Phasenverlaufs Ziel: Beeinflussung der Phasengrenze [ Bernauer]

65 Optimierung des Phasenverlaufs Ziel: Beeinflussung der Phasengrenze [ Bernauer] Optimalsteuerungsaufgabe γ T 1 Minimiere φ d Γ I (t) + γ T 2 y y d 2 + γ Ω 1(t) unter Stefan-Problem T 0 Γ C u 2

66 Optimierung des Phasenverlaufs Ziel: Beeinflussung der Phasengrenze Optimalsteuerungsaufgabe γ T 1 Minimiere φ d Γ I (t) + γ T 2 y y d 2 + γ Ω 1(t) unter Stefan-Problem T 0 Γ C u 2

67 Optimierung des Phasenverlaufs Ziel: Beeinflussung der Phasengrenze Optimalsteuerungsaufgabe γ T 1 Minimiere φ d Γ I (t) + γ T 2 y y d 2 + γ Ω 1(t) unter Stefan-Problem T 0 Γ C u 2

68 Optimierung des Phasenverlaufs Ziel: Beeinflussung der Phasengrenze Optimalsteuerungsaufgabe γ T 1 Minimiere φ d Γ I (t) + γ T 2 y y d 2 + γ Ω 1(t) unter Stefan-Problem Herausforderungen für die Mathematik Optimalitätsbedingungen numerische Lösungsverfahren T 0 Γ C u 2

70 Elastische und plastische Verformungen

71 Elastische und plastische Verformungen Elastisches Verhalten Spannung Dehnung

72 Elastische und plastische Verformungen Elastisches Verhalten Spannung Dehnung

73 Elastische und plastische Verformungen Elastisches Verhalten Spannung Dehnung Plastisches Verhalten Spannung Dehnung Material mit Gedächtnis

74 Elastische und plastische Verformungen Elastisches Verhalten Spannung Dehnung Plastisches Verhalten Spannung Dehnung Material mit Gedächtnis

75 Plastische Verformung in der Umformtechnik Tiefziehen Kfz-Blechteile Flugzeugbau Verpackungen

76 Plastische Verformung in der Umformtechnik Tiefziehen Kfz-Blechteile Flugzeugbau Verpackungen Rückfederung (Springback) Abgabe der gespeicherten elastischen Energie nach Wegnahme der Last teilweise Rückfederung von der gewünschten Verformung

77 Ausblick: in der Plastizität Vermeidung unerwünschter Rückfederung Finde eine Lastkurve, sodass die Verformung nach Wegnahme der Last der gewünschten Verformung entspricht.

78 Ausblick: in der Plastizität Vermeidung unerwünschter Rückfederung Finde eine Lastkurve, sodass die Verformung nach Wegnahme der Last der gewünschten Verformung entspricht. Herausforderungen für die Mathematik zeitabhängiges 3D-Problem optimale Steuerung einer Variationsungleichung Mathematical Program with Complementarity Constraints

79 Zusammenfassung... hat vielfältige Anwendungen ist aktuelles Forschungsgebiet

80 Zusammenfassung... hat vielfältige Anwendungen ist aktuelles Forschungsgebiet Ausblick auf aktuelle Herausforderungen Optimalsteuerung von Variationsungleichungen und in Multiphysik-Anwendungen

81 Zusammenfassung... hat vielfältige Anwendungen ist aktuelles Forschungsgebiet Ausblick auf aktuelle Herausforderungen Optimalsteuerung von Variationsungleichungen und in Multiphysik-Anwendungen Kaffee und Kuchen jetzt in der Reichenhainer Straße 41, Raum 638