Lineare Algebra I - Klausur

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1 Prof. Dr. R. Löwen Wintersemester 2007/2008 Dipl.-Math. H. Kubiak TU Braunschweig Institut für Analysis und Algebra Lineare Algebra I - Klausur Aufgabe 1: Wir betrachten die Menge A = {t (1, 2, 4), t (1, 1, 1), t (3, 2, 1) }. (a) Zeigen Sie: A ist eine Basis des R (b) Bestimmen Sie die duale Basis A zu A. 2.0 (c) Wählen Sie ein f A nach Belieben. Bestimmen Sie f( e 1 ). 1.0 Die duale Basis berechnen wir durch Invertieren einer Matrix. Für die Elemente der dualen Basis {f 1, f 2, f 3 } gilt f 1 (α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 ) = α 1 2α 2 + α 3 f 2 (α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 ) = 6α 1 13α 2 + 8α 3 f 3 (α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 ) = 2α 1 + 5α 2 3α 3 Beim Invertieren der Matrix oben erkennt man, dass A eine Basis ist. f 1 ( e 1 ) = 1, f 2 ( e 1 ) = 6, f 3 ( e 1 ) = 2

2 Aufgabe 2: 3.0 Es seien U, V zweidimensionale Unterräume des R 4. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen: (1) U V = {0} (2) U + V = R 4 (3) U V = R 4 (1) (2): Die Dimensionsformel ergibt dim(u+v ) = dim(u)+dim(v ) dim(u V ) = = 4. Aus U + V R 4 folgt nun U + V = R 4. (2) (1): Die Dimensionsformel ergibt dim(u V ) = dim(u)+dim(v ) dim(u+v ) = = 0. Direkt nach Denition gilt: (1) (2) (3)

3 Aufgabe 3: 2.0 Es seien G eine Gruppe und U, V G Untergruppen. Für jedes Element g G existiere eine eindeutige Darstellung g = uv mit u U, v V. Bestimmen Sie U V. Wir zeigen U V = {e}. U V {e}: Das neutrale Element e ist in jeder Untergruppe enthalten, also auch in U und V. U V {e}: Sei a U V. Es gilt ea = a = ae. Wegen der eindeutigen Darstellung folgt, dass die ersten Faktoren übereinstimmen (und dass die zweiten Faktoren übereinstimmen). Demnach gilt a = e.

4 Aufgabe 4: 4.0 Es seien G eine Gruppe und A G ein abelscher Normalteiler. Für g G, a A denieren wir ϕ g (a) = gag 1. Zeigen Sie: Durch ga ϕ g ist ein Homomorphismus von G/A nach Perm(A) gegeben. Für alle g G, a A gilt ϕ g (a) = gag 1 A wegen A G. Demnach gilt ϕ g : A A. Es gilt ϕ gh = ϕ g ϕ h, denn für a A gilt ϕ gh (a) = gha(gh) 1 = ghah 1 g 1 = ϕ g (hah 1 ) = ϕ g (ϕ h (a)). Es gilt ϕ 1 g = ϕ g 1, denn ϕ g ϕ g 1 = ϕ gg 1 = ϕ e = id. Demnach ist ϕ g bijektiv und nach dem bereits gezeigten gilt ϕ g Perm(A). ga ϕ g ist wohldeniert: Sei g 1 A = g 2 A, also existiert ein b A mit g 2 = g 1 b. Dann gilt für alle a A die Gleichungskette ϕ g1 (a) = g 1 ag1 1 = g 1 bb 1 ag1 1 = g 1 bab 1 g1 1 = g 1 ba(g 1 b) 1 = g 2 ag2 1 = ϕ g2 (a). Dies bedeutet ϕ g1 = ϕ g2.

5 Aufgabe 5: Es sei V ein R-Vektorraum von endlicher Dimension. Wir denieren eine Abbildung ϕ : V V K, ( x, f) f( x). (a) Ist die Abbildung ϕ linear? 2.0 (b) Für ein bestimmtes x V sei bekannt, dass für jedes f V die Gleichung ϕ( x, f) = 0 gilt. Zeigen Sie: x = Anmerkung: V V ist ein R-Vektorraum mit den Verknüpfungen ( x, f)+( y, g) = ( x+ y, f +g) und r( x, f) = (r x, rf). ϕ ist nicht linear. Sei { b 1,..., b n } eine Basis von V und f 1,..., f n die duale Basis. Dann gilt ϕ(( b 1, f 2 ) + ( b 2, f 1 )) = ϕ(( b 1 + b 2, f 2 + f 1 )) = (f 1 + f 2 )( b 1 + b 2 ) = f 1 ( b 1 + b 2 ) + f 2 ( b 1 + b 2 ) = f 1 ( b 1 ) + f 1 ( b 2 ) + f 2 ( b 1 ) + f 2 ( b 2 ) = = 2 0 = = f 2 ( b 1 ) + f 1 ( b 2 ) = ϕ( b 1, f 2 ) + ϕ( b 2, f 1 ) Wieder sei { b 1,..., b n } eine Basis von V und f 1,..., f n die duale Basis. Es gibt Koezienten α i R mit x = n i=1 α i b i. Dann gilt α j = n i=1 α if j ( b i ) = f j ( n i=1 α i b i ) = 0.

6 Aufgabe 6: ( a b Es sei ϕ : C R 2 2, a + bi b a ). (a) Zeigen Sie: Die Abbildung ϕ ist ein Ring-Homomorphismus. 1.0 (b) Zeigen Sie: Für jedes z C gilt ϕ(z 1 ) = (ϕ(z)) (c) Zeigen Sie: Für jedes z C gilt ϕ(z) = t (ϕ(z)). 0.5 (d) Wir setzen B := ϕ(z) mit zz = 1. Zeigen Sie: B 1 = t B. 2.0 ( ) ( ) a b c d ϕ(a + bi) + ϕ(c + di) = + b a d c ( ) a + c b d = = ϕ(a + c + (b + d)i) = ϕ((a + bi) + (c + di)) b + d a + c ( ) ( ) a b c d ϕ(a + bi)ϕ(c + di) = b a d c ( ) ac bd ad bc = = ϕ(ac bd + (ad + bc)i) = ϕ((a + bi)(c + di)) ad + bc ac bd E 2 = ϕ(1) = ϕ(zz 1 ) = ϕ(z)ϕ(z 1 ) ( ) a b ϕ(a + bi) = ϕ(a bi) = b a ( a b = t b a ) = t ϕ(a + bi). Nach Voraussetzung gilt z 1 = z. Dies setzen wir in den Homomorphismus ein und erhalten B 1 = ϕ(z 1 ) = ϕ(z) = t B.

7 Aufgabe 7: V = {a sin +b cos : a, b R} ist ein R-Vektorraum und die Menge A = {sin, cos} ist eine Basis von V. (Das brauchen Sie nicht zu zeigen.) Für t R und f V denieren wir f t durch f t (x) := f(x + t). (a) Zeigen Sie: Durch ϕ t (f) := f t ist eine lineare Abbildung V V deniert. 2.0 (b) Bestimmen Sie die Matrix der Abbildung ϕ t bezüglich der Basis A. 2.0 Hinweis: Für alle r, s R gelten die Additionstheoreme sin(r + s) = sin(r) cos(s) + cos(r) sin(s) und cos(r + s) = cos(r) cos(s) sin(r) sin(s). Seien f, g V, α, β R. Dann gilt für alle x R die Gleichung ϕ t (αf + βg)(x) = (αf + βg) t (x) = (αf + βg)(x + t) = (αf)(x + t) + (βg)(x + t) = αf(x + t) + βg(x + t) = αf t (x) + βg t (x) = (αϕ t (f) + βϕ t (g))(x). Demnach ist ϕ t linear. ϕ t (sin)(x) = sin(x + t) = cos(t) sin(x) + sin(t) cos(x). ϕ t (cos)(x) = cos(x + t) = sin(t) sin(x) + cos(t) cos(x). ( ) cos(t) sin(t) Als Matrix erhalten wir. sin(t) cos(t)

8 Aufgabe 8: Es seien A = R4 4 und x = R4. (a) Berechnen Sie A x. 0.5 (b) Bestimmen Sie eine Basis von R 4, die aus Eigenvektoren besteht. 4.0 (c) Bestimmen Sie eine Matrix T GL 4 R derart, dass T 1 AT eine Diagonalmatrix ist. 0.5 (d) Bestimmen Sie T 1 AT. 0.5 (e) Bestimmen Sie det(a). 0.5 A x = 3 x. Ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist t (1, 0, 0, 0). Mit der Information, dass 3 ein Eigenwert ist, berechnet man verhältnismäÿig einfach det(a λe) = (λ + 1)(λ 3)(λ + 3) 2. Durch eine Rechnung ermittelt man: Zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert 3 sind t ( 3, 1, 1, 0) und t ( 3, 1, 0, 1) Eine Transformationsmatrix mit der gewünschten Eigenschaft ist T = Wir erhalten T 1 AT = diag( 1, 3, 3, 3). det(a) = 27.