Vorlesung Wirtschaftsmathematik I WS 2007/2008, Wirtschaftingenieurwesen. Kapitel IV: Grundlagen der Linearen Optimierung

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1 Vorlesung Wirtschaftsmathematik I WS 2007/2008, Wirtschaftingenieurwesen Kapitel IV: Grundlagen der Linearen Optimierung Inhaltsverzeichnis Abschnitt Der Simplexalgorithmus Grundlagen Das Simplextableau Simplexiteration Lösung des LOP Sonderfälle des Simplexalgorithmus Die 2-Phasen-Methode Transformation in Standard Form Die zwei Phasen Sensitivitätsanalyse Abhängigkeiten

2 3 Der Simplexalgorithmus 3.1 Grundlagen (a) Der zulässige Bereich Der zulässige Bereich ist eine Teilmenge des R n, wobei n die Anzahl der Strukturvariablen ist. Der zulässige Bereich wird gebildet durch die Restriktionen n a ij x j b i, i = 1,..., m und j=1 die Nichtnegativitätsbedingungen x j 0, j = 1,..., n Die Lösungsmenge jeder dieser Ungleichungen ist ein Halbraum die zugehörige Hyperebene ((n-1)-dimensionaler affiner Raum) löst die zur entsprechenden Ungleichung gehörige Gleichung. Der zulässige Bereich ist (sofern er nicht entartet ist) eine abgeschlossene Menge, d.h. die Randpunkte der Menge gehören zur Menge dazu. (Beispiele) Der zulässige Bereich ist (sofern er nicht entartet ist) eine konvexe Menge, d.h. mit je zwei Punkten, die zu der Menge gehören, gehören auch alle Punkte auf der Verbindungsstrecke dieser beiden Punkte dazu. Die Eckpunkte des zulässigen (nicht entarteten) Bereiches sind gerade die Schnittpunkte von jeweils n Hyperebenen, d.h. genau n der oben genannten m + n Ungleichungen sind als Gleichungen erfüllt. Beispiel: Waschpulver (b) Die Zielfunktion Die Zielfunktion ist eine lineare Funktion, die abhängig ist von den n Strukturvariablen x 1,..., x n. (c) Satz: Eine lineare Funktion über einer konvexen, abgeschlossenen Menge nimmt ihr Maximum und ihr Minimum auf dem Rand dieser Menge an. Das heißt insbesondere, daß wir für die Bestimmung des Maximum bzw. Minimum nur die Eckpunkte der zulässigen Menge untersuchen müssen. 58

3 Beispiel: Z = c 1 x c n x n Min! x j 1, j = 1,..., n x j 0, j = 1,..., n Der zulässige Bereich hat 2 n Eckpunkte: (0,..., 0),..., (1,..., 1) Bemerkung: Es gibt Hyperebenen (bestimmt durch die gegebenen Ungleichungen), die sich nicht schneiden, z.b. x j 0, x j 1. (d) Problem: Wie untersucht man systematisch die Eckpunkte eines zulässigen nicht entarteten Bereiches? Da jeder Eckpunkt Schnittpunkt von n Hyperebenen ist, kann er als Löungsmenge des entsprechenden Gleichungssystems mit n Gleichungen bestimmt werden. Insgesamt erhalten wir aus den m + n Ungleichungen ( ) m+n n mögliche Gleichungssysteme. Wenn m groß ist (z.b. m n) erhalten wir eine exponentielle (in n) Anzahl von Gleichungssystemen. (e) Idee Nicht jedes dieser Gleichungssysteme ist lösbar, s.beispiel. Nicht jede Lösung gibt einen Eckpunkt des zulässigen Bereiches, s. Beispiel Waschpulver. Wir müssen zusätzlich für jede Lösung die Erfüllung der restlichen Ungleichungen überprüfen. Man startet in einem Eckpunkt des zulässigen Bereiches, üblicherweise x 1 = x 2 = = x n = 0 und betrachtet seine n Nachbarecken. Wenn keine der Nachbarecken einen größeren (bzw. kleineren) Zielfunktionswert hat, ist das Verfahren beendet, man hat die Lösung gefunden. Ansonsten wählt man eine Nachbarecke mit einem größeren (bzw. kleineren) Zielfunktionswert und sucht von dort aus weiter. 3.2 Das Simplextableau (a) Die Schlupfvariablen Das Grundproblem Z(x 1,..., x n ) = n c j x j j=1 max 59

4 n a ij x j b i, i = 1,..., m j=1 x 1,..., x n 0 wird in ein äquivalentes Gleichungssytem überführt: n c j x j + Z = 0 j=1 n a ij x j + y i = b i, j=1 x 1,..., x n, y 1,..., y m 0 = 1,..., m Die Variablen y i werdenschlupfvariablen, Leerlaufvariablen (slack variables) genannt. Bemerkung: Die Restriktionen bilden jetzt ein lineares Gleichungssystem in kanonischer Form. Eine Basislösung des LGS ist (b) Das Starttableau Tab. 0 x 1 x 2... x n y 1 a 11 a a 1n b 1 : : : : : y m a m1 a 1m2... a mn b m Z c 1 c 2... c n 0 x 1 = = x n = 0, y i = b i i = 1,..., m. Das Startableau beschreibt die Situation im Startpunkt x 1 = x 2 = x n = 0. In der ersten Zeile stehen die (Namen der) Variablen, die in der aktuellen Basislösung den Wert 0 haben. Die Variablen der ersten Zeile heißen Nichtbasisvariable - NBV. Die erste Spalte enthält aktuell die Bezeichnungen der Schlupfvariablen. Die Variablen der ersten Spalte heißen Basisvariable - BV. Im Innern des Tableaus stehen die technischen Koeffizienten. In der letzten Zeile stehen neben dem Z die Koeffizienten der umgestellten Zielfunktion, sowie in der letzten Spalte der aktuelle Wert der Zielfunktion. 60

5 In der letzten Spalte steht der Wert der entsprechenden Basisvariablen in der Basislösung, hier aktuell die Restriktionswerte b i. technische Bezeichnungen: Die Werte der letzten Zeile (aktuell: c 1,..., c n, 0) werden auch mit a m+1,j, j = 1,..., n + 1 bezeichnet. Die Werte der letzten Spalte (aktuell: b 1,..., b m, 0) werden auch mit a i,n+1, i = 1,..., m + 1 bezeichnet. Beispiel: Waschpulver 3.3 Simplexiteration Eine Simplexiteration entspricht dem Übergang von einer Ecke des zulässigen Bereiches in eine benachbarte Ecke Dabei wird genau eine Nichtbasisvariable (die zugehörige Ungleichung is als Gleichung erfüllt) zu einer Basisvariablen (die zugehörige Ungleichung ist i.a. nicht als Gleichung erfüllt) und umgekehrt. Der Übergang von einer Ecke zu einer benachbarten Ecke erfolgt in 6 Schritten. 1. Wahl der Pivotspalte Pivot: Dreh- und Angelpunkt Wähle die Spalte mit (kleinstem) negativem Wert in der letzten Zeile. Der Spaltenindex sei s, d.h. a m+1,s = min{a m+1,j j = 1,..., n} Falls mehrere Spalten als Pivotspalten in Frage kommen, spricht man von dualer Entartung. Man wählt beliebig einen der Kandidaten aus. Hintergrund: Wenn ich mich von der Startecke in Richtung der entsprechenden wachsenden Nichtbasisvariable bewege, wächst die Zielfunktion am stärksten (verglichen mit den anderen n-1 Möglichkeiten). Die etsprechnede Nichtbasisvariable soll jetzt Basisvariable werden. Eine Basisvariable muß dafür zur Nichtbasisvariable werden 2. Wahl der Pivotzeile Wähle diejenige Zeile, die den kleinsten nichtnegativen Quotienten aus dem Wert der letzten Spalte und dem technischen Koeffizienten der Pivotspalte aufweist. 61

6 Der entsprechende Zeilenindex sei z, d.h. a z,n+1 a zs = min{ a i,n+1 a is i = 1,..., m} a z,n+1 a zs 0 Hintergrund: Man versucht so weit wie möglich in der ausgewählten Richtung zu gehen, aber dabei nicht den zulässigen Bereich zu verlassen. Beispiel Waschpulver Mögliche Entartungen werden später behandelt. 3. Umrechnung des Pivotelements a zs := 1 a zs 4. Umrechnung der restlichen Pivotspalte a is := a is a zs, i = 1,..., m + 1 i z 5. Umrechnung der restlichen Pivotzeile a zj := a zj a zs, j = 1,..., n + 1 j s 6. Umrechnung des restlichen Tableaus a ij := a ij a is a zj a zs i = 1,..., m + 1 i z, j = 1,..., n + 1 j s. oder Umrechnung mit Hilfe der Kellerzeile (s. ATV) Bemerkung: Tritt in der letzten Spalte ein negativer Wert auf, so liegt ein Fehler bei der Wahl des Pivotelementes (zul. Bereich verlassen) oder in der Rechnung vor. 62

7 3.4 Lösung des LOP (a) Abbruchkriterium, Optimalitätskriterium Die Elemente a m+1,..., a m+1,n der letzten Zeile heißen Optimalitätsindikatoren Der Algorithmus endet, wenn alle Optimalitätsindikatoren positiv sind. Die eindeutige Optimallösung wurde gefunden. (b) Beispiel Waschpulver: Zielfunktion: Z = 4x 1 + 3x 2 max! Restriktionen: Maschine A: x 2 6 Maschine B: x 1 + x 2 7 Maschine C: 3x 1 + 2x 2 18 Nichtnegativitätsbedingungen: x 1, x 2 0 Lösung: x 1 = 4, x 2 = 3 (graphisch) nochmal zulässigen Bereich skiziieren Lösung mit Simplex T1 y 3 x 2 y y 2-1/3 1/3 1 x 1 1/3 2/3 6 Z 4/3-1/3 24 T2 y 3 y 2 y x x Z Tableau 1: aktueller Zielfunktionswert: 24 aktuelle Werte: y 3 = x 2 = 0 (NBV), y 1 = 6, y 2 = 1, x 1 = 6 (BV) Restriktion 3 ist als Gleichung erfüllt (y 3 = 0) Tableau 2: Optimalitätsbedingung erfüllt, optimaler Zielfunktionswert: Z max = 25 aktuelle Werte: y 3 = y 2 = 0 (NBV), y 1 = 3, x 2 = 3, x 1 = 4 (BV) Restriktionen 2 und 3 sind als Gleichung erfüllt (c) Basislösungen Eine Basislösung ist eine zulässige Lösung des kanonischen Gleichungssystems (s. 3.1.(a)) mit höchstens m Nicht-Null-Einträgen. Jede Basislösung entspricht einer Ecke des zulässigen Bereiches. 63

8 Eine Basislösung heißt nicht degeneriert wenn sie genau m Nicht-Null-Einträge enthält, sonst heißt sie degeneriert. Ist eine Basislösung degeneriert, so schneiden sich in der zugehörigen Ecke des zulässigen Bereiches mehr als n (Hyper)ebenen. (d) Schattenpreise: Den Schattenpreis einer NBV liest man in der letzten Zeile der zugehörigen Spalte ab. Der Schattenpreis einer Basisvariablen ist 0. (Interpretation später) Variable: x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 Schattenpreis: (e) Angabe der Lösung (am Beispiel): Z max = 25 optimale Basislösung: x = (x 1, x 2 y 1, y 2, y 3 ) T = (4, 3 3, 0, 0) T zugehöriger Vektor der Schattenpreise: = (0, 0 0, 1, 1) T 3.5 Sonderfälle des Simplexalgorithmus (a) Duale Entartung Problem: Bei der Wahl der Pivotspalte kommen mehrere Spalten in Frage, die in der zweiten Zeile alle dieselbe kleinste negative Zahl haben. Lösung: Wähle eine beliebige davon aus. Wirkung: Die Wahl hat zwar möglicherweise Einfluß auf die Anzahl der Iterationsschritte, aber nicht auf die Lösbarkeit und den endgültigen Wert der Zielfunktion. (b) Primale Entartung 1. Art Problem: Bei der Wahl der Pivotzeile kommen mehrere Zeilen mit dem gleichen Wert in Frage. Es schneiden sich mehrere Restriktionen in einer Ecke. Die zugehörige Basislösung ist entartet. Durch entsprechende Austauschschritte ergeben sich eventuell mehrere Vektoren für die Schattenpreise: (1),..., (k) der optimalen Basislösung (s. Sensitivitätsanalyse): Beispiel: Z = 2x 1 + 3x 2 max! 4x 1 + 5x 2 20 x 2 4 i = min{ (j) i, j = 1,..., k} 64

9 x 1, x 2 0 Es kann passieren, daß man bei ungünstiger Wahl der Zeile nach mehreren Schritten zum gleichen Tableau zurückkommt - und das kann sich endlos wiederholen. Das Problem nennt man Kreiseln. Lösung: Es gibt kein einfaches Rezept dagegen. Üblicherweise (insbesondere in der rechentechnischen Umsetzung) wählt man die Zeile zufällig. Damit steigt die Wahrscheinlichkeit, daß man nicht endlos kreiselt. (c) Primale Entartung 2. Art Problem: Es kommt keine Pivotzeile in Frage: Alle entsprechenden Elemente sind negativ oder null. Beispiel: Z = 3x 1 + 2x 2 max! x 2 4 x 1, x 2 0 Das Problem hat keine endliche Lösung: Z max (d) Mehrere Lösungen, Lösungsmenge Problem: Alle Optimalitätsindikatoren sind nichtnegativ, aber es gibt Indikatoren gleich Null: a m+1,j 0 j = 1,..., n und s : a m+1,s = 0 Vorgehensweise: Das Simplexverfahren wird solange mit einer Pivotspalte mit a m+1,s = 0 wiederholt, solange sich neue Basislösungen ergeben. Seien x 1,..., x k die so ermittelten optimalen Lösungen. Lösungsmenge: Die Menge aller Optimallösungen ist dann die Menge der konvexen Linearkombinationen der x l : { } k k L = x R x = λ l x l, λ l = 1 l=1 Spezialfall: a m+1,s = 0 und a is 0 i = 1,..., m d.h. es kommt keine Pivotzeile in Frage (s. Serie 12, 1 (e)). Der zulässige Bereich ist unbeschränkt und Z verläuft parallel zu einer der Restriktionsgleichungen. Sei x 1 die zum Tableau gehörige Basislösung. Die Menge aller Basislösungen ergibt sich dann aus l=1 L = { x x = x 1 λ(a 1s,..., a ns ) T, λ 0} 65

10 4 Die 2-Phasen-Methode Problem: Das LOP liegt häufig nicht in Standard Form vor. Um trotzdem den Simplexalgorithmus anwenden zu können ist eine Transformation des Problems in ein Ersatzproblem in Standard Form nötig. 4.1 Transformation in Standard Form (a) Transformation der Zielfunktion: Falls ein Minimierungsproblem Z = c T x min vorliegt, so erhält man daraus das äquivalente Maximierungsproblem Z = ( c) T x max, indem alle Zielfunktionskoeffizienten mit ( 1) multipliziert werden. (b) Transformation der Restriktionen: Zuerst wird jede Restriktion, deren rechte Seite negativ ist, mit ( 1) multipliziert z.b.: 3x 1 4x 2 5 3x 1 + 4x 2 5; Danach werden in den so entstandenen Restriktionen Schlupfvariable y i 0 und/oder Hilfsschlupfvariable h i 0 eingeführt, um ein Gleichungssystem in kanonischer Form zu erhalten. Problem: Bei Restriktionen mit = oder ist die übliche Startlösung x 1 = = x n = 0 möglicherweise nicht zulässig. Es muß zunächst eine erste zulässige Lösung berechnet und dafür passende Basisvariable gefunden werden. 1. a T i x b i = a T i x + y i = b i (BV : y i ) 2. a T i x = b i = a T i x + h i = b i (BV : h i ) 3. a T i x b i = a T i x y i + h i = b i (BV : h i ) mit a i T = (a i1,..., a in ) (c) Transformation der Variablen: In Abhängigkeit von den vorgegebenen Vorzeichenbeschränkungen werden die Variablen x j gegebenenfalls durch neue, nichtnegative Variable x j, x j substituiert: 1. x j 0 = keine Substitution 2. x j 0 = (x j = x j) = x j 0 3. x j bel. = (x j = x j x j ) = x j, x j 0 Beispiel: (a) 4.2 Die zwei Phasen (a) Phase 1: 66

11 Bestimmung einer zulässigen Basislösung durch Eliminierung der Hilfsschlupfvariablen: Phase-1-Zielfunktion Z1: Bemerkung: Das originale LOP ist lösbar h i = 0 i Zielstellung: i h i min. Daraus ergibt sich als Hilfszielfunktion: Z1 = i h i max Optimalitätsindikatoren für Z1: Stelle sämtliche Restriktionen, die eine Hilfsschlupfvariable h i enthalten nach h i um und setze diese in Z1 ein. Wir erhalten Z1 in Abhängigkeit von den Nichtbasisvariablen. Die entsprechenden Koeffizienten dienen als Optimalitätsindikatoren. Z1 im Tableau: Im Tableau wird eine zusätzliche (letzte) Z1-Zeile mitgeführt. über diese Zeile wird in Phase 1 die Wahl der Pivotspalte gesteuert. Bemerkung: Die Z1-Zeile berechnet sich einfach als die negative Summe aller Zeilen, die Hilfsschlupfvariable enthalten. Iteration in Phase 1: Die Iteration erfolgt wie gewohnt mit dem einzigen Unterschied, daß die Wahl der Pivotspalte auschließlich über die Z1-Zeile gesteuert wird. Spalten die zu einer Hilsschlupfvariable der Nichtbasis gehören werden gestrichen. Ende von Phase 1: Phase 1 endet erfolgreich, wenn keine Hilfsschlupfvariablen mehr in der Basis ist, d.h. h i = 0 i. Die Z1 Zeile enthält dann nur noch Nullen und kann gestrichen werden. Eine zulässige Startlösung für das Originalproblem wurde gefunden. (b) Phase 2: Bestimmung einer optimalen Basislösung Ausgehend vom Endtableau von Phase 1 wird die übliche Simplexiteration durchgeführt. (c) Mögliche Probleme in Phase 1: 67

12 Wird in Phase 1 eine optimale Lösung des Ersatzproblems (Phase-1-Zielfunktion) erreicht, bei der noch mindetsens eine Hilfsschlupfvariable positiv ist, so ist das LOP nicht lösbar - der zulässige Bereich ist leer Wird in Phase 1 eine entartete optimale Lösung des Ersatzproblems gefunden, bei der noch Hilfsschlupfvariablen in der Basis sind, aber Z1 = 0 gilt, so sind noch weitere Austauschschritte auszuführen. Wahl des Pivotelementes: wähle aus einer zu einer Hilfsschlupfvariablen gehörenden Zeile ein Element 0. 68

13 5 Sensitivitätsanalyse 5.1 Abhängigkeiten (a) Bemerkung: Der optimale Zielfunktionswert Z max und die optimale Lösung x eines LOP hängen wesentlich ab von den Koeffizienten c j der Zielfunktion und von den rechten Seiten b i der Restriktionen Aus dem optimalen Tableau der Simplex-Methode kann abgelesen werden, wie stark eine Veränderung jedes einzelnen Koeffizienten b i oder c j den optimalen Zielfunktionswert beeinflusst, und innerhalb welcher Intervalle für die Veränderung dieser Koeffizienten (einzeln!) diese Aussagen gelten. Bezeichnungen: x B : enthält die Werte der Basisvariablen (Spalte n + 1) N : enthält die Schattenpreise der Nichtbasisvariablen (Zeile m + 1) (b) Gültigkeitsbereich des Schattenpreises Wird die Abhängigkeit des optimalen Zielfunktionswertes und der optimalen Lösung bezüglich der Änderung der rechten Seite b i der i-ten Restriktionen untersucht, so heißt dieses Intervall Gültigkeitsbereich des Schattenpreises dieser Restriktion, d.h. der Schattenpreis gilt b i [b (u) i, b (o) i ]. Für LOP in Standard-Maximum-Form gilt für Veränderung der rechten Seite einer Restriktion b i := b i + t Falls die zugehörige Schlupfvariable y i Basisvariable ist (Restriktion ist inaktiv), gilt t [ y i, ): Z max und x B ändern sich nicht. Falls die zugehörige Schlupfvariable y i Nichtbasisvariable ist (Restriktion ist aktiv), gilt t [t 1, t 2 ]: Z max := Z max + t a m+1,i, 69

14 x B = x B + t (a 1i,..., a mi ) T Die Parameter t 1, t 2 bestimmen sich aus der Forderung x B = x B + t (a 1i,..., a mi ) T 0, wobei (a 1i,..., a mi, a m+1,i ) T ist. die zu y i gehörige Spalte des Simplextableaus (c) Stabilitätsbereiche Wird die Abhängigkeit des optimalen Zielfunktionswertes bezüglich der Änderung eines Koeffizienten c j der Zielfunktion untersucht, so heißt dieses Intervall Stabilitätsbereich des Zielfunktionskoeffizienten, d.h. die optimale Lösung gilt c j [c (u) j, c (o) j ]. Für LOP in Standard-Maximum-Form gilt für Veränderung eines Zielfunktionskoeffizienten c j := c j + t Falls x j Nichtbasisvariable ist, gilt t (, a m+1,j ] = (, j ]: Z max und x B ändern sich nicht. j ist der Schattenpreis von x j. Falls x j Basisvariable ist, gilt t [t 1, t 2 ]: x B ändert sich nicht, Z max := Z max + t x j. Die Parameter t 1, t 2 bestimmen sich aus der Forderung N = N + t (a j1,..., a jn ) T 0 wobei (a j1,..., a jn ) ist die zu x j gehörende Zeile des Simplextableaus ist. Für LOP, die nicht in Standard-Maximum-Form gegeben sind, gelten analoge Formeln, wobei speziell die Vorzeichen für die Änderungen neu zu überlegen sind. Bei einer Verschärfung der Restriktionen kann sich der optimale Zielfunktionswert nur verschlechtern, bei einer Abschwächung von Restriktionen kann er sich nur verbessern. 70