Aufgabe 1 (8= Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten:

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1 Aufgabe 1 (8= Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten: Die Zufallsvariable X bezeichne die Note a) Wie groß ist h(x 5)? Kreuzen Sie die richtige Lösung an: 0,12 0,56 0,77 0,34 0,45 0,88 0,23 0,64 0,37 b) Wie groß ist h(3 <X 4)? Kreuzen Sie die richtige Lösung an: 0,26 0,56 0,62 0,77 0,15 0,78 0,85 0,64 0,07 c) Wie hoch ist die durchschnittliche Note? Kreuzen Sie die richtige Lösung an: 1,22 3,31 3,52 3,00 4,35 4,12 3,12 2,18 2,99 d) Wie hoch ist die Mediansnote? Kreuzen Sie die richtige Lösung an: 1,22 3,31 3,52 3,00 4,35 4,12 3,12 2,18 2,99 Aufgabe 2 (7=3+2+2 Punkte) Ein linearer Zusammenhang wird zwischen Einkommen (Y, in Tausend Euro) und Bildungsgrad (X, in Jahre) vermutet. Eine Befragung von 100 Personen lieferte folgende Zahlen: x =12;ȳ =4, 5; d 2 x =20;d 2 y =6, 4 Eine lineare Regression ŷ =â + ˆbx ergab eine Summe von quadrierten Abweichungen 100 i=1 ˆε2 i =120.

2 a) Wie groß ist das Bestimmtheitsmaß R 2? Kreuzen Sie die richtige Lösung an: 0,1675 0,7333 0,2666 0,2585 0,1875 0,8125 0,7415 0,0600 0,9400 b) Bestimmen Sie den Steigungsparameter ˆb. Kreuzen Sie die richtige Lösung an: 0,4312 0,2600 0,3665 0,7114 0,6215 0,5813 0,3745 0,5099 0, c) Bestimmen Sie den Achsenabschnitt â. Kreuzen Sie die richtige Lösung an: -4,5102 7,2569 2,3214-1, ,6188-3,1567 0,0231 0,5099-1,6188 Aufgabe 3 (9=3+3+3 Punkte) Gegeben eine Familie mit zwei Kinder. Nehme an, dass das Geschlecht der Kinder unabhängig und die Wahrscheinlichkeit für Mädchen und Junge gleich groß ist. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie mindestens einen Junge hat? b) Vorausgesetzt das erste Kind ist ein Junge, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Mädchen ist? c) Vorausgesetzt die Familie hat mindestens einen Junge, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie auch ein Mädchen hat?

3 3 Aufgabe 4 (6=3+3 Punkte) Gegeben eine normalverteilte Zufallsvariable X N(µ, σ 2 ). Ferner wissen wir, dass P (X 60) = 0, 1 und P (X 90) = 0, 95. BestimmenSieµ, σ 2. µ: σ 2 : Aufgabe 5 (6=3+3 Punkte) Sei X binomialverteilt mit X Bi(n; p) mit n =72und p = 1 3 a) Bestimmen Sie P (X 28) approximativ mit Hilfe des ZGS ohne Stetigkeitskorrektur. b) Bestimmen Sie P (X 22) approximativ mit Hilfe des ZGS ohne Stetigkeitskorrektur. Aufgabe 6 (8=4+4 Punkte) Gegeben sei die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable X: f(x) = 1(x +1), für 1 <x<1 2 0, sonst. a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. b) Bestimmen Sie die Varianz von X.

4 4 Aufgabe 7 (6=4+2 Punkte) Gegeben sei die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable X: a, für 1 x<0 f(x) = 1 a, für 0 x<1 0, sonst. a) Bestimmen Sie den Momentenschätzer für a. b) Gegeben seien die folgenden Beobachtungen: -1 0,5 0-0,7 0,2. Berechnen Sie die entsprechenden Schätzwerte des Momentenschätzers. Aufgabe 8 (6=(2+2)+2 Punkte) Aus einer laufenden Produktion von Riesen-Weihnachtskerzen werde eine Stichprobe vom Umfang n entnommen, in der das Durchschnittsgewicht x =150g beträgt. Die Gesamtproduktion darf als normalverteilt angenommen werden. a) Die Standardabweichung der Produktion ist als praktisch konstanter Wert σ =28g bekannt. Wie groß ist n, wenn man für das Durchschnittsgewicht ein 90%-Konfidenzintervall mit den Grenzen 143,486 g und 156,514 g erhält? Wie groß wäre n, wenn man für das Durchschnittsgewicht ein 90%-Konfidenzintervall der Länge 6,514 g erhalten würde? b) Der Stichprobenumfang sei n = 50. Wie groß dürfte die Standardabweichung σ höchstens sei, um mit einer statistischen Sicherheit von 95% für das Durchschnittsgewicht ein Konfidenzintervall der Länge 4 gerhaltenzukönnen?

5 5 7,21 8,60 5,42 4,30 14,43 13,1 10,23 6,54 9,02 Aufgabe 9 (6=3+3 Punkte) Bei der Analyse eines Produkts ergaben sich über 8 Wochen hinweg die folgenden Verkaufszahlen (in Tausend Euro), die als normalverteilt angenommen werden können: a) Angenommen dass σ unbekannt ist, kann man mit einem Signifikanzniveau von 5% behaupten, dass die durchschnittlichen Verkaufszahlen über 850 liegen? Formulieren Sie einen geeigneten Test und geben Sie den Wert der Teststatistik an. Wert der Teststatistik: Ablehnungsbereich: Testentscheidung: b) Testen Sie zu einem Signifikanzniveau von 1% die Hypothese, dass die Standardabweichung der Verkaufszahlen σ =40beträgt. Geben Sie den Wert der entsprechenden Teststatistik an und beantworten Sie die Frage, ob die Hypothese angenommen werden kann. Wert der Teststatistik: Ablehnungsbereich: Testentscheidung: Aufgabe 10 (14 Punkte=2 7 Punkte) Für jede der folgenden Teilaufgaben von den vier Alternativen jeder Teilaufgabe ist genau eine richtig, und diese ist anzukreuzen. Im Fall genau eines richtigen Kreuzes gibt es 4 Punkte. In allen anderen Fällen gibt es 0 Punkte. a) Seien A und B zwei stochastisch unabhängige Ereignisse mit P(A) > 0 und P(B) > 0. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? P (A B) =P (A)+P(B) (1 P (Ā)(1 P ( B)). P (A B) =P (B A). P (B A) = P (A B) P (A). P (A B) =P (A)+P (B).

6 6 b) Gegeben sei eine lineare Regression ŷ =â + ˆbx und es ist bekannt, dass ȳ = x =0. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? n i=1 ˆε2 i =0 ˆb =â. R 2 =1. â =0 c) Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? P (X x) =f(x) df (x) dx = F (x). + x2 f(x)dx = + (xf(x)dx)2 + E [ (X E(X)) 2] V ar(x) =E(X) 2 E(X 2 ) d) Welche der folgenden Behauptung ist wahr? Wenn X normalverteilt ist, dann ist E(X) =0. Die Summe der binomialverteilten Zufallsvariablen ist approximativ normalverteilt. Das Gesetz der großen Zahlen gilt nur für unabhängig normalverteilten Zufallsvariablen. Wenn X normalverteilt ist, dann ist f(x) =f( x). e) Welche der folgenden Behauptung ist wahr? Ein Schätzer ist konsistent, wenn sein mittlerer qudratischer Fehler Null ist {MQF = 0}. Der Maximum-Likelihood-Schätzer eines Parameters ist der Wert des Parameters, der den Beobachtungen die größte Wahrscheinlichkeit gibt. Ein effizienter Schätzer ist ein Schätzer mit minimaler Varianz. Der Schätzer eines Parameters nach der Momenten-Methode ist keine Zufallsvariable.

7 7 f) Welche der folgenden Behauptung ist wahr? Je kleiner der Umfang einer Stichprobe, desto schmaler wird das Konfidenzintervall für den Mittelwert µ Je größer der Umfang einer Stichprobe, desto schmaler wird das Konfidenzintervall für die Varianz σ 2. Der Umfang einer Stichprobe hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art bei einem statistischen Test. Der P-Wert gibt die minimale Wahrscheinlichkeit an, unter der die Nullhypothese akzeptiert werden kann g) Das Gewicht der Tierfutterdosen der Firma A sei normalverteilt. Aus 26 Stichproben der Produktion möchte die Firma testen, ob die Varianz des Gewichts eine bestimmte Obergrenze einhält. Was ist der kritische Wert des Tests mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α =0;05? 1,6449 1,7081 5,423 1,96 45,21 3,877 37,652 12,75 14,611